三年广东中考数学模拟题分类汇总之二次函数

这是一份三年广东中考数学模拟题分类汇总之二次函数，共36页。
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
2．（2023•江山市模拟）已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．22或﹣3B．3或﹣3C．22或−22D．22或3
3．（2023•上城区模拟）已知抛物线y=49（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＜12，则y1＞y2＞0B．若12＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜12，则y1＞0＞y2D．若12＜x1＜2，则y2＞0＞y1
4．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
5．（2022•宁波模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，3），下列说法错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．抛物线向下平移c个单位后，一定不经过（﹣2，0）
D．a＝﹣1
6．（2022•宁波模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（−2，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
7．（2022•上城区二模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
9．（2021•萧山区二模）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜14B．0＜c＜14C．﹣1＜c＜14D．﹣1＜c＜0
10．（2021•温州模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（32，32），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c−34（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．2≤m≤4C．2≤m＜72D．−92≤m≤72
二．填空题（共6小题）
11．（2023•江山市模拟）若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 ．
12．（2023•鹿城区校级三模）如图1，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，EF，GH都与x轴垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O与B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD═ ，以及EFAB= ．
13．（2022•上城区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（4，0），则关于x的一元二次方程a（x﹣
1）2+c＝b﹣bx的解是 ．
14．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 ．
15．（2021•越城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为 ．
16．（2021•衢州四模）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为 ．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•金东区三模）如图，一次函数y=−bax+b(a＞0，b＞0)与坐标轴交于A，B两点，以A为顶点的抛物线过点B，过点B作y轴的垂线交该抛物线另一点于点D，以AB，AD为边构造▱ABCD，延长BC交抛物线于点E．
​
（1）若a＝b＝2，如图1．
①求该抛物线的表达式．
②求点E的坐标．
（2）如图2，请问BEAB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18．（2023•衢江区三模）小王计划建造一个150平方米的矩形大棚种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题
（1）【种植计划】小王在调查某类水果时发现：当每平方米种植4株时，平均产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25kg．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？大棚最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．
（2）【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以围40米，为了节约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图1所示．已知外墙长为12米，如果节约材料，则与墙垂直一面的长度为多少？
（3）【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图2是大棚顶部建好后的侧面图，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日照灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度．
​
19．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．
20．（2022•椒江区二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
21．（2021•湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为4.5，求该二次函数的表达式；
（3）若a＞0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥5时．均满足y1≤y2，请直接写出t的取值范围．
22．（2021•浙江模拟）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ，请求出m的值；
（3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME=35，求旋转中心点R的坐标．
三年广东中考数学模拟题分类汇总之二次函数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023•瓯海区二模）将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为（ ）
A．y＝3（x﹣1）2+2B．y＝3（x+1）2﹣2
C．y＝3（x+1）2+2D．y＝3（x﹣1）2﹣2
【考点】二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．
【解答】解：将抛物线y＝3x2先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的表达式为：y＝3（x+1）2﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
2．（2023•江山市模拟）已知二次函数y＝x2﹣ax，当﹣1≤x≤2时，y的最小值为﹣2，则a的值为（ ）
A．22或﹣3B．3或﹣3C．22或−22D．22或3
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】先根据解析式求出二次函数的对称轴为直线x=a2，然后分三种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣ax，
∴对称轴为直线x=a2，开口向上，
①当a2≤−1时，a≤﹣2，
此时函数在x＝﹣1处取得最小值为﹣2，
∴1+a＝﹣2，
解得a＝﹣3，
②当﹣1＜a2＜2时，﹣2＜a＜4，
此时函数的最小值在顶点处，即x=a2，y＝﹣2，
∴a24−a•a2=−2，
解得a＝22或﹣22（舍去），
③当a2≥2时，a≥4，
此时函数在x＝2处取得最小值为﹣2，
∴4﹣2a＝﹣2，
解得a＝3（舍去）．
综上a的值为﹣3或22．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，对对称轴进行分类讨论是解题关键．
3．（2023•上城区模拟）已知抛物线y=49（x﹣2）2﹣1上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2）满足x2﹣x1＝3，则下列结论正确的是（ ）
A．若x1＜12，则y1＞y2＞0B．若12＜x1＜2，则y2＞y1＞0
C．若x1＜12，则y1＞0＞y2D．若12＜x1＜2，则y2＞0＞y1
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线的开口方向及对称轴，将x=12代入解析式可得y的值，通过抛物线的对称性及x2﹣x1＝3求解．
【解答】解：∵y=49（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝2，
当x1=12时，x2＝3+12=72，
∴x1+x22=2，即点P，Q关于对称轴对称，此时y1＝y2，
将x=12代入y=49（x﹣2）2﹣1得y＝0，
当x1＜12时，当x2＞12时，y1＞0＞y2，
当x2＜12时，y1＞y2＞0，故选项A，C不符合题意，
∵x2﹣x1＝3，
∴x2＝x1+3，
∵y=49（x﹣2）2﹣1，
∴y1=49（x1﹣2）2﹣1，y2=49（x1+1）2﹣1，
当12＜x1＜2时，−32＜x1﹣2＜0，32＜x1+1＜3，
∴﹣1＜49（x1﹣2）2﹣1＜0，0＜49（x1+1）2﹣1＜3，
∴y2＞0＞y1．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
4．（2023•衢江区三模）在平面直角坐标系中，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A，B两点，已知A（a，b），B（c，a），且a＜c，则下列说法正确的是（ ）
A．当ac＞0且a+c＝1时，p有最小值
B．当ac＞0且a+c＝1时，p有最大值
C．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最小值
D．当ac＜0且c﹣a＝1时，p有最大值
【考点】二次函数的最值；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】设直线y＝kx+p，联立直线与抛物线解析式得出a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，进而根据a＜c，得出B（c，a）在y＝x的下方，得出0＜c≤1，则0＜a≤1，即可得出ac＞0，进而结合选项，进行判断即可求解．
【解答】解：依题意，过点P（0，p）的直线AB交抛物线y＝x2于A（a，b），B（c，a）两点，设直线y＝kx+p，
联立y=kx+py=x2
即x2﹣kx﹣p＝0，
∴a，c是方程x2﹣kx﹣p＝0的两根，
即ac＝﹣p，a+c＝k，
∵a＜c，
∴B（c，a）在y＝x的下方，
联立y=xy=x2，
解得：x=0y=0或x=1y=1，
∴0＜c≤1，
∵B（c，a）在抛物线上，则a＝c2，
∴0＜a≤1，
∴ac＞0，
当ac＞0且a+c＝1，
∴x2﹣x﹣p＝0，
∴p＝x2﹣x有最小值，
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数与二次函数交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2022•宁波模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣1，3），下列说法错误的是（ ）
A．abc＞0
B．4ac﹣b2＜0
C．抛物线向下平移c个单位后，一定不经过（﹣2，0）
D．a＝﹣1
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与几何变换．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，图象上点的坐标特征，平移的规律结合图象，逐一判断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴b＝2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以A正确，不合题意；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，所以B正确，不合题意；
∵抛物线与y轴的交点为（0，2），
∴抛物线向下平移2个单位后，经过原点，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴此时，一定经过点（﹣2，0），所以C错误，符合题意；
∵设抛物线为y＝a（x+1）2+3，代入点（0，2）得，2＝a+3，
解得a＝﹣1，所以D正确，不合题意；
故选：C．
【点评】主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与x则的交点，数形结合是解题的关键．
6．（2022•宁波模拟）一次函数y＝kx+b（k≠0）与二次函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．ax2+2ax﹣b＞kx﹣c时，n＜x＜m
B．当x≥0时，ax2+2ax+c≤c
C．若（−2，y1）在二次函数y＝ax2+2ax+c图象上，则y1＜c
D．﹣ac+bk＞0
【考点】二次函数与不等式（组）；二次函数图象与系数的关系．
【专题】二次函数图象及其性质；用函数的观点看方程（组）或不等式；数感；推理能力；应用意识．
【答案】C
【分析】A选项将ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，根据图象求解判断为对；
B选项当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax﹣b的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），即可求解判断为对；
C选项抛物线的对称轴是直线x=−2a2a=−1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜−2＜−1，所以，y1＞c，可判断为错；
D选项因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，即可判断为对．
【解答】解：A选项，对于ax2+2ax﹣b＞kx﹣c，移项可得，ax2+2ax+c＞kx+b，对应于图中即是抛物线在直线上方的部分，由图可知，两个曲线交点的x坐标为x＝n和x＝m，所以，n＜x＜m，所以A正确；
B选项，当x≥0时，抛物线最高点（即ax2+2ax+c的最大值）为抛物线与y的交点，此点为（0，c），所以，当x≥0时，ax2+2ax+c≤c，所以B正确；
C选项，在抛物线中，有对称轴公式可知，抛物线的对称轴是直线x=−2a2a=−1，所以在抛物线上与点（0，c）关于对称轴x＝﹣1对称的点是（﹣2，c），但是﹣2＜−2＜−1，所以，y1＞c，所以C错误；
D选项，因为抛物线开口向下，且与y轴交点在正半轴，所以，a＜0，c＞0，因为直线经过二、四象限，且与y轴交于负半轴，所以k＜0，b＜0，所以，﹣ac+bk＞0，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数图象与系数的关系等知识点，熟练掌握二次函数图象与系数关系以及结合不等式运算是解决问题的关键．
7．（2022•上城区二模）函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则选项中函数y＝a（x﹣b）2+c的图象正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【考点】二次函数的图象．
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；应用意识．
【答案】B
【分析】先根据y＝ax2+bx+c的图象得到a、b、c的正负情况，然后即可得到函数y＝a（x﹣b）2+c的图象的开口方向，顶点坐标解顶点坐标所在的位置，从而可以判断哪个选项中图象符合题意．
【解答】解：由y＝ax2+bx+c的图象可得，
a＜0，b＞0，c＞0，
∵函数y＝a（x﹣b）2+c，
∴该函数的图象开口向下，顶点坐标为（b，c），且该函数图象的顶点在第一象限，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，求出a、b、c的正负情况，利用二次函数的性质解答．
8．（2022•淳安县一模）已知二次函数y＝ax2﹣bx（a≠0），经过点P（m，2）．当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t．则如下四个值中有可能为m的是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】由当y≥﹣1时，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t可得抛物线对称轴为直线x＝﹣2，从而可得b与a的关系，将P（m，2）代入解析式，用含m代数式表示a，进而求解．
【解答】解：当y≥﹣1时，ax2﹣bx≥﹣1，x的取值范围为x≤t﹣1或x≥﹣3﹣t，
∴（t﹣1，﹣1），（﹣3﹣t，﹣1）为抛物线上的点，
∴抛物线对称轴为直线x=t−1−3−t2=−2，
∴b2a=−2，
∴b＝﹣4a，
∴y＝ax2+4ax＝a（x+2）2﹣4a，
当a＞0时，﹣4a≤﹣1，
解得a≥14，
将（m，2）代入解析式得am2+4am＝2，
∴a=2m2+4m≥14，
∴0＜m2+4m≤8，
∴4＜（m+2）2≤12，
∴﹣2﹣23≤m＜﹣4或0＜m≤﹣2+23，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象上点的坐标特征．
9．（2021•萧山区二模）对于一个函数，当自变量x取a时，其函数值y等于2a，我们称a为这个函数的二倍数．若二次函数y＝x2+x+c（c为常数）有两个不相等且小于1的二倍数，则c的取值范围是（ ）
A．c＜14B．0＜c＜14C．﹣1＜c＜14D．﹣1＜c＜0
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】新定义；二次函数图象及其性质；应用意识．
【答案】B
【分析】由函数的二倍数概念得出x1、x2是方程x2+x+c＝2x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+x+c有两个相异的二倍数点x1、x2是方程x2+x+c＝2x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2﹣x+c＝0，
由x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2﹣x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2﹣x+c＝c＞0②，
联立①②并解得：0＜c＜14，
故选：B．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握二倍数的概念，并据此得出关于c的不等式．
10．（2021•温州模拟）在平面直角坐标系中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点．已知二次函数y＝ax2+4x+c（a≠0）的图象上有且只有一个完美点（32，32），且当0≤x≤m时，函数y＝ax2+4x+c−34（a≠0）的最小值为﹣3，最大值为1，则m的取值范围是（ ）
A．﹣1≤m≤0B．2≤m≤4C．2≤m＜72D．−92≤m≤72
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．
【专题】代数综合题；数形结合；二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】B
【分析】由完美点的概念可得：ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，由只有一个完美点可得判别式Δ＝9﹣4ac＝0，得方程根为32，从而求得a＝﹣1，c=−94，所以函数y＝ax2+4x+c−34=−x2+4x﹣3，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得x的取值范围．
【解答】解：令ax2+4x+c＝x，即ax2+3x+c＝0，
由题意可得，图象上有且只有一个完美点，
∴式△＝9﹣4ac＝0，则4ac＝9．
又方程根为x=−b2a=−32a=32，
∴a＝﹣1，c=−94．
∴函数y＝ax2+4x+c−34=−x2+4x﹣3，
该二次函数图象如图所示，顶点坐标为（2，1），
与y轴交点为（0，﹣3），根据对称规律，
点（4，﹣3）也是该二次函数图象上的点．
在x＝2左侧，y随x的增大而增大；在x＝2右侧，y随x的增大而减小；且当0≤x≤m 时，函数y＝﹣x2+4x﹣3的最大值为1，最小值为﹣3，则2≤m≤4．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
二．填空题（共6小题）
11．（2023•江山市模拟）若二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上有三个不同的点A（x1，4）、B（x1+x2，n）、C（x2，4），则n的值为 5 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】将点A与C代入二次函数表达式，由韦达定理即可求解；
【解答】解：∵A（x1，4）、C（x2，4）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴2（x+1）2+3＝4，
∴2x2+4x+1＝0，
根据根与系数的关系得，x1+x2＝﹣2，
∵B（x1+x2，n）在二次函数y＝2（x+1）2+3的图象上，
∴n＝2（﹣2+1）2+3＝5，
故答案为5．
【点评】本题考查二次函数上点的特征，韦达定理；能够建立一元二次方程，利用根与系数的关系是解题的关键．
12．（2023•鹿城区校级三模）如图1，为世界最大跨度铁路拱桥——贵州北盘江特大桥．如图2，已知拱桥曲线呈抛物线，主桥底部跨度OA＝400m，以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点E为抛物线最高点，立柱AB，CD，EF，GH都与x轴垂直，BN∥OA，HF＝40m，BC＝120m，若F，G，O与B，D，O均三点共线．则立柱比HGCD═ 23 ，以及EFAB= 16 ．
【考点】二次函数的应用．
【专题】数形结合；待定系数法；二次函数的应用；几何直观；推理能力；应用意识．
【答案】HGCD=23；EFAB=16．
【分析】根据已知条件抛物线过原点及A（400，0）利用交点式写出抛物线的解析式y＝ax（x﹣400），
易得顶点E（200，﹣40000a），由于BN∥x轴且H、F、C、B皆在BN上，故他们纵坐标相同；
根据BC＝120m，HF＝40m，且FE为对称轴，AB⊥x轴，得B横坐标为400，
进而推出H、F、C点横坐标分别为160、200、280，
因为HG∥EF∥DC∥AB∥y且GD在抛物线上，可得G（160，﹣38400a）、D（280，﹣33600a），
再根据直线OG过原点，求得OG解析式为y＝﹣240ax，由于F在OG上，可求得F纵坐标﹣48000a，
则H、C、B纵坐标均为﹣48000a，表示出HG、EF、CD、AB的长度，进而求比值即可．
【解答】解：根据题意，可知二次函数图象过A（400，0）．O（0，0），
故设抛物线为y＝ax（x﹣400）（a＜0），
∵E为抛物线顶点；
∴E（200，﹣40000a），
∵AB⊥x轴，
∴B点横坐标为400，
∵BN∥x轴，
∴H、F、C、B纵坐标相同，设为n，
∵FE∥HG∥CD∥AB∥y轴，BC＝120m，HF＝40m，
∴H（160，n）、F（200，n）、C（280，n）；
∵HG∥y轴，故H、G横坐标相同，
∴G在抛物线上，
∴G（160，﹣38400a），
同理可得D（280，﹣33600a），
设直线OG：y＝kx，
则﹣38400a＝k×160，
解得：k＝﹣240a
yOG＝﹣240ax，
∵F，G，O三点共线，且F横坐标为200，
∴yF＝﹣48000a，即n＝﹣48000a，
∴H（160，﹣48000a）、C（280，﹣48000a）、B（400，﹣48000a），
∴HG＝﹣48000a﹣（﹣38400a）＝﹣9600a，
CD＝﹣4800a﹣（﹣33600a）＝﹣14400a，
AB＝﹣48000a；
∵E（200，﹣40000a），F（200，﹣48000a ），
∴EF＝﹣48000a﹣（﹣40000a）＝﹣8000a，
∴HGCD=−9600a−14400a=23，
EFAB=−8000a−48000a=16．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及正比例函数在实际生活中的综合应用，关键是求出E、F、H、G、D、C、B、A点的坐标，表示出HG、CD、AB、EF的长度，（均用含a的代数式表示），进而求比即可．
13．（2022•上城区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣3，0），B（4，0），则关于x的一元二次方程a（x﹣
1）2+c＝b﹣bx的解是 x1＝﹣2，x2＝5 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】x1＝﹣2，x2＝5
【分析】由于抛物线y＝ax2+bx+c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c，由于方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4得到对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，从而得到一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解．
【解答】解：关于x的一元二次方程a（x﹣1）2+c＝b﹣bx变形为a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，
因为抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（4，0），
所以方程ax2+bx+c的解为x1＝﹣3，x2＝4，
对于方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0，则x﹣1＝﹣3或x﹣1＝4，解得x＝﹣2或x＝5，
所以一元二方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝5．
故答案为：x1＝﹣2，x2＝5．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
14．（2022•吴兴区校级二模）如图，在平面直角坐标系中，点A（2，4）在抛物线y＝a（x﹣4）2上，过点A作x轴的平行线，交抛物线于另一点B，点C，D在线段AB上，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于F，E两点．当四边形CDEF为正方形时，线段CD的长为 25−2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；正方形的性质．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】25−2．
【分析】通过待定系数法求出函数解析式，然后设点C横坐标为m，则CD＝CE＝2m，从而得出点E坐标为（m，4﹣2m），将点坐标代入解析式求解．
【解答】解：把A（2，4）代入y＝a（x﹣4）2中得4＝4a，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣4）2，
设点C横坐标为m，则CD＝CF＝8﹣2m，
∴点F坐标为（m，2m﹣4），
∴（m﹣4）2＝2m﹣4，
解得m＝5+5（舍去）或m＝5−5．
∴CD＝25−2．
故答案为：25−2．
【点评】本题考查二次函数与正方形的结合，解题关键是熟练掌握二次函数与正方形的性质．
15．（2021•越城区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，点D在边AC上的一动点，过点D作DE∥AB交边BC于点E，过点B作BF⊥BC交DE的延长线于点F，分别以DE，EF为对角线画矩形CDGE和矩形HEBF，则在D从A到C的运动过程中，当矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为 52 ．
【考点】二次函数的最值；勾股定理；矩形的性质．
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用勾股定理求得AC＝3，设DC＝x，则AD＝3﹣x，利用平行线分线段成比例定理求得CE=4x3进而求得BE＝4−4x3，然后根据S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF得到S阴=83x2﹣8x+12，根据二次函数的性质即可求得CD，进而求得BE和BF，然后根据勾股定理求得即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，BA＝5，
∴AC=AB2−BC2=3，
设DC＝x，则AD＝3﹣x，
∵DF∥AB，
∴DCAC=CEBC，即x3=CE4，
∴CE=4x3
∴BE＝4−4x3，
∵矩形CDGE和矩形HEBF，
∴AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴BF＝AD＝3﹣x，
则S阴＝S矩形CDGE+S矩形HEBF＝DC•CE+BE•BF＝x•43x+（3﹣x）（4−43x）=83x2﹣8x+12，
∵83＞0，∴当x=−−82×83=32时，有最小值，
∴DC=32，有最小值，
∴BE＝4−43×32=2，BF＝3−32=32，
∴EF=BE2+BF2=52，
即矩形CDGE和矩形HEBF的面积和最小时，则EF的长度为52
故答案为52．
【点评】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，表示出线段的长度是解题的关键．
16．（2021•衢州四模）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y＝﹣2x2﹣8x+m上的点，则y1、y2、y3的大小关系为 y3＜y1＜y2 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】求出抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=−−82×(−2)=−2，
∵a＝﹣2＜0，
∴x＝﹣2时，函数值最大，
又∵﹣1到﹣2的距离比﹣4到﹣2的距离小，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为y3＜y1＜y2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
17．（2023•金东区三模）如图，一次函数y=−bax+b(a＞0，b＞0)与坐标轴交于A，B两点，以A为顶点的抛物线过点B，过点B作y轴的垂线交该抛物线另一点于点D，以AB，AD为边构造▱ABCD，延长BC交抛物线于点E．
​
（1）若a＝b＝2，如图1．
①求该抛物线的表达式．
②求点E的坐标．
（2）如图2，请问BEAB是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【专题】函数的综合应用；推理能力．
【答案】（1）①y=12(x−2)2；
②E（6，8）；
（2）是定值，3．
【分析】（1）①将a，b的值代入一次函数解析式，可求出点A，B的坐标，利用待定系数法可得出结论；
②由抛物线的对称性可得点D的坐标，根据平行四边形的性质可求出点C的坐标，进而求出直线BE的表达式，联立直线和抛物线的解析式即可得出结论；
（2）根据待定系数法可求出A，B的坐标，进而可表达AB的根据对称性可得出点D的坐标，根据菱形的性质可得出点C的坐标，进而求出直线BE的解析式，联立可求出点E的坐标，进而求出BE的长度，求比值即可得出结论．
【解答】解：（1）当a＝b＝2时，一次函数为y＝﹣x+2，
令x＝0，则y＝2；令y＝0，则x＝2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴设抛物线的表达式为：y＝m（x﹣2）2，
将B（0，2）代入可得，4m＝2，
解得m=12；
∴抛物线的解析式为：y=12(x−2)2；
②由抛物线的对称性可得，D（4，2），
由平行四边形的性质可知，C（2，4），
∴直线BE的解析式为：y＝x+2，
令y=12(x−2)2=x+2，
解得x＝0（舍）或x＝6，
∴E（6，8）；
（2）是定值，理由如下：
对于y=−bax+b(a＞0，b＞0)，
令x＝0，则y＝b；令y＝0，则x＝a，
∴A（a，0），B（0，b），
∴设抛物线的表达式为：y＝m（x﹣a）2，AB=a2+b2，
将B（0，b）代入可得，a2m＝b，
解得m=ba2；
∴抛物线的解析式为：y=ba2（x﹣a）2；
由抛物线的对称性可得，D（2a，b），
由平行四边形的性质可知，C（a，2b），
∴直线BE的解析式为：y=bax+b，
令y=ba2（x﹣a）2=bax+b，
解得x＝0（舍）或x＝3a，
∴E（3a，4b）；
∴BE=(3a)2+(4b−b)2=3a2+b2，
∴BEAB=3a2+b2a2+b2=3．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，抛物线的对称性，二次函数图象与一次函数图象交点问题等相关知识，表达出点C的坐标是解题关键．
18．（2023•衢江区三模）小王计划建造一个150平方米的矩形大棚种植各类水果，整个过程中有以下几个需要解决的重要问题
（1）【种植计划】小王在调查某类水果时发现：当每平方米种植4株时，平均产量为2kg；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减小0.25kg．那么，每平方米计划种植多少株时，能获得最大的产量？大棚最大产量是多少？请自行设函数变量，解决问题．
（2）【场地规划】小王挑选了房屋侧面的空地作为大棚场地．用来侧面加固的材料一共可以围40米，为了节约材料，小王打算让大棚其中一面靠房屋外墙，如图1所示．已知外墙长为12米，如果节约材料，则与墙垂直一面的长度为多少？
（3）【顶棚设计】在确定矩形场地规划的情况下，如图2是大棚顶部建好后的侧面图，相关数据如图，顶棚曲线满足抛物线形状，小王需要给内部两侧距离中心线2米的点A，点B处安装日照灯，试建立合适的坐标系，计算日照灯的安装高度．
​
【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）每平方米计划种植6株时，能获得最大的产量；大棚最大产量是1350kg；
（2）与墙垂直一面的长度为12.5米；
（3）灯安装的高度约为3.76米．
【分析】（1）设每平方米种植增加a株，则产量每株减少0.25akg，据此列方程解答即可；
（2）根据矩形的面积即可求出垂直墙面一边的长度；据此列式解答；
（3）设二次函数的解析式为 y＝ax2+k，先根据图2得数据求出解析式，再将x＝2代入即可求得答案．
【解答】解：（1）设每平方米种植增加x株，则产量每株减少0.25xkg；产量为wkg，则
w＝（4+a）（2﹣0.25a）=−14（a﹣2）2+9，
∴当a＝2时，即每平方米种植4+2＝6（株），产量w最大，最大值为9kg；
∴大棚最大产量为：150×9＝1350（kg），
答：平方米计划种植6株时，能获得最大的产量；大棚最大产量是1350kg；
（2）设与墙垂直一面的长度为多少m米，
根据题意得12×m＝150平方米，
解方程得m＝12.5米，
∵12.5×2+12＝37＜40
∴与墙垂直一面的长度为12.5米；
（3）直角坐标系建立如下图所示，
设二次函数的图象解析式为：y＝ax2+k，
由题意可得，抛物线过点（0，4），
∵外墙长为12米，
∴抛物线过点（6，1.8），
4=k1.8=36a+k
解得：a=−11180k=4，
∴y=−11180x2+4，
当x＝2米时，y=−11180×4+4≈3.76（株），
答：灯安装的高度约为3.76米．
【点评】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的二次函数解析式．
19．（2022•鹿城区校级模拟）某商店决定购进A，B两种“冰墩墩”纪念品进行销售．已知每件A种纪念品比每件B种纪念品的进价高30元．用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同．
（1）求A，B两种纪念品每件的进价分别是多少元？
（2）该商场通过市场调查，整理出A型纪念品的售价与数量的关系如表，
①当x为何值时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为多少？
②该商场购进A，B型纪念品共200件，其中A型纪念品的件数小于B型纪念品的件数，但不小于50件．若B型纪念品的售价为m（m＞30）元/件时，商场将A，B型纪念品均全部售出后获得的最大利润为2800元，求m的值．
【考点】二次函数的应用；分式方程的应用．
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；
（2）①当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元；②m＝32．
【分析】（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，根据用1000元购进A种纪念品的数量和用400元购进B种纪念品的数量相同，列出分式方程，进行求解即可；
（2）①设利润为w，根据图表，利用总利润等于单件利润乘以销售数量，列出函数关系式，根据函数的性质，求出最值即可；②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，进而得到A型纪念品的最大利润，设总利润为y，求出函数关系式，根据函数的性质，求出当y＝2800时，m的值即可．
【解答】解：（1）设B纪念品每件的进价是x元，则A纪念品每件的进价是（x+30）元，由题意，得：
1000x+30=400x，
解得：x＝20，
经检验：x＝20是原方程的解；
当x＝20时：x+30＝20+30＝50；
∴A，B两种纪念品每件的进价分别是50元和20元；
（2）①设利润为w，由表格，得：
当50≤x≤60时，w＝（x﹣50）×100＝100x﹣5000，
∵k＝100＞0，
∴w随着x的增大而增大，
∴当售价为：60元时，利润最大为：100×60﹣5000＝1000元；
当60＜x≤80，w＝（x﹣50）（400﹣5x）＝﹣5x2+650x﹣20000＝﹣5（x﹣652）+1125，
∵a＝﹣5＜0，
∴当x＝65时，利润最大为：1125元；
综上：当x＝65时，售出A纪念品所获利润最大，最大利润为1125元．
②设该商场购进A型纪念品a件，则购进B型纪念品（200﹣a）件，由题意，得：
50≤a＜200﹣a，
解得：50≤a＜100，
∵50≤400﹣5x＜100，
∴60＜x≤70，
设A，B型纪念品均全部售出后获得的总利润为：y，
则：y＝（x﹣50）（400﹣5x）+（m﹣20）（200﹣400+5x），
整理，得：y＝﹣5x2+（550+5m）x﹣16000﹣200m，
∵﹣5＜0，对称轴x＝55+12m＞70，
∵当x＝70时，y有最大值，最大值为：y＝﹣5×4900+（550+5m）×70﹣16000﹣200m＝2800，
∴m＝32，
【点评】本题考查分式方程的应用，一次函数的应用，二次函数的应用．根据题意，正确的列出分式方程和函数表示式，利用函数的性质，求最值，是解题的关键．
20．（2022•椒江区二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB＝28m，AB＝8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离＝水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如表：
（1）根据表中数据预测足球落地时，s＝ 30 m；
（2）求h关于s的函数解析式；
（3）守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．
①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．
【考点】二次函数的应用．
【专题】二次函数的应用；应用意识．
【答案】（1）30；
（2）h=−145（s﹣15）2+5=−145s2+23s．
（3）①不成功，理由见解答部分；
②此过程守门员的最小速度为359m/s．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入（12，4.8）可求出参数，由此可解答；
（3）①根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可；
②根据路程先算出当足球在守门员正上方时的时间，进而求出对应的s，再代入求出h，比较即可．
【解答】解：（1）由表格可知，s＝9时和s＝21时，h相等，s＝12时，s＝18时，h相等，
抛物线关于s＝15对称，
∵当s＝0时，h＝0，
∴s＝30时，h＝0，
故答案为：30．
（2）由（1）知，抛物线关于s＝15对称，设h＝a（s﹣15）2+5，
把（12，4.8）代入上述解析式，
∴a（12﹣15）2+5＝4.8，解得a=−145，
∴h=−145（s﹣15）2+5=−145s2+23s．
（3）①不成功，理由如下：
若守门员选择面对足球后退，设ts时，足球位于守门员正上方，
则球的水平距离为15t＝28﹣（8﹣2.5t），
解得t＝1.6，
∴s＝15×1.6＝24m，
∴h=−145（24﹣15）2+5＝3.2m，
∵3.2＞2.5，
∴若守门员选择面对足球后退，则守门不成功；
②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，设守门员的速度为vm/s，且ts时，足球位于守门员正上方，
则有15t＝28﹣（8﹣vt），解得t=2015−vs，
∴s＝15•2015−v=30015−vm，
代入上述解析式可得，h=−145•（30015−v）2+23•30015−v=1.8，
解得v=359或v＝85．
∴此过程守门员的最小速度为359m/s．
【点评】本题主要考查了二次函数的实际应用，解答二次函数的应用问题中，读懂题意是关键，同时要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
21．（2021•湖州一模）已知二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a为常数，且a≠0）．
（1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标；
（2）当0≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为4.5，求该二次函数的表达式；
（3）若a＞0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t﹣1≤x1≤t+1，x2≥5时．均满足y1≤y2，请直接写出t的取值范围．
【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式．
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】（1）（﹣1，0），（3，0）；
（2）a＞0时，y＝0.5x2﹣x﹣1.5，a＜0时，y＝﹣0.5x2+x+1.5；
（3）﹣2≤t≤4．
【分析】（1）取y＝0，得出关于x的一元二次方程，求出x即可得出抛物线与x轴的交点坐标；
（2）分a＞0和a＜0两种情况讨论，分别用含a的式子表示出最大值和最小值，列出关于a的方程，求出a即可；
（3）求出x＝5时对应的y的值，找到满足条件的t的范围．
【解答】解：（1）取y＝0，得ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得x＝﹣1或x＝3，
∴该二次函数图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）；
（2）∵y＝ax2﹣2ax﹣3a的顶点坐标为（1，﹣4a），
①当a＞0时，在0≤x≤4中，最大值是当x＝4时y的值，即5a，
最小值是当x＝1时y的值，即﹣4a，
∴5a﹣（﹣4a）＝4.5，
∴a＝0.5，
∴该二次函数的解析式为y＝0.5x2﹣x﹣1.5，
②当a＜0时，在0≤x≤4中，最大值是当x＝1时y的值，即﹣4a，
最小值是当x＝4时y的值，即5a，
∴﹣4a﹣5a＝4.5，
∴a＝﹣0.5，
∴该二次函数的表达式为y＝﹣0.5x2+x+1.5；
（3）由（2）知抛物线的对称轴为x＝1，
当x＝5时，y＝a×52﹣2a×5﹣3a＝12a，
∴y1＜12a，
由抛物线的对称性知x＝﹣3时，y＝12a，
又∵a＞0，
∴﹣3≤t﹣1，t+1≤5，
∴﹣2≤t≤4．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要会求抛物线与x轴的交点坐标，熟记抛物线的对称轴的公式，增减性等基本性质．
22．（2021•浙江模拟）二次函数y＝ax2+bx﹣3的图象交x轴于点A（﹣1，0），点B（3，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为点M．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图1，点P是抛物线上的一点，设点P的横坐标为m（m＞3），点Q在对称轴上，且AQ⊥PQ，若AQ＝2PQ，请求出m的值；
（3）如图2，将抛物线绕x轴正半轴上一点R旋转180°得到新抛物线C1交x轴于D、E两点，点A的对应点为点E，点B的对应点为点D．若sin∠BME=35，求旋转中心点R的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【专题】代数几何综合题；图形的相似；数据分析观念．
【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）m＝4；（3）点R的坐标为（4，0）．
【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）证明△AMQ∽△QNP，则AMQN=MQNP=AQQP=2，即可求解；
（3）在Rt△HEM中，tan∠BME=34，MB＝25，则tan∠BME=34=HEMH=2xx+25，解得x=65，在Rt△BHE中，BE=BH2+HE2=5x＝6，故点E的坐标为（9，0），进而求解．
【解答】解：（1）将A（﹣1，0），点B（3，0），代入函数解析式得：a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴这个二次函数的表达式是y＝x2﹣2x﹣3；
（2）过点Q作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线与点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠NQP+∠MQA＝90°，∠MQA+∠QAM＝90°，
∴∠NQP＝∠QAM，
∵∠AMQ＝∠QNP＝90°，
∴△AMQ∽△QNP，
∴AMQN=MQNP=AQQP=2，
设点Q的坐标为（1，t），点P的坐标为（m，m2﹣2m﹣3），
则AM＝t，QN＝m﹣1，MQ＝2，NP＝t﹣m2+2m+3，
即tm−1=2t−m2+2m+3=2，
解得m＝0（舍去）或4，
故m＝4；
（3）过点E作EH⊥MB交MB的延长线于点H，
由抛物线的表达式知，点M（1，﹣4），BM＝25，
则tan∠OBM=OMOB=2＝tan∠HBE，
∵sin∠BME=35，故tan∠BME=34，
故设BH＝x，则HE＝2x，
在Rt△HEM中，tan∠BME=34，MB＝25，
则tan∠BME=34=HEMH=2xx+25，解得x=65，
在Rt△BHE中，BE=BH2+HE2=5x＝6，
故点E的坐标为（9，0），
由旋转的定义知，点R是点A、E的中点，
则xR=12（9﹣1）＝4，
故点R的坐标为（4，0）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、直角三角形的性质、图形的旋转、解直角三角形等，综合性强，难度适中。售价x（元/件）
50≤x≤60
60＜x≤80
销售量（件）
100
400﹣5x
s/m
…
9
12
15
18
21
…
h/m
…
4.2
4.8
5
4.8
4.2
…
售价x（元/件）
50≤x≤60
60＜x≤80
销售量（件）
100
400﹣5x
s/m
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4.2
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5
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