北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质综合训练题

这是一份北师大版 (2019)选择性必修 第一册2.2 双曲线的简单几何性质综合训练题，共6页。

1．双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的焦点坐标是( )
A．F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0) B．F1(0，－eq \r(3))，F2(0，eq \r(3))
C．F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0) D．F1(0，－eq \r(5))，F2(0，eq \r(5))
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
4．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为x＋3y＝0，则该双曲线的离心率是( )
A.eq \f(\r(10),3) B.eq \r(2) C.eq \f(\r(7),3) D.eq \r(5)
5．设7A．(±4,0) B．(±3,0)
C．(0，±5) D．(0，±4)
6．[多选题]已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5,0)，F2(5,0)，则能使双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1的是( )
A．离心率为eq \f(5,4)
B．双曲线过点5，eq \f(9,4)
C．渐近线方程为3x±4y＝0
D．实轴长为4
7．已知双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0)，且焦距与虚轴长之比为54，则双曲线的标准方程是________．
8．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的其中一条渐近线方程为y＝2x，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线方程为________．
9．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________；b＝________.
10．求适合下列条件的双曲线的标准方程．
(1)虚轴长为12，离心率为eq \f(5,4)；
(2)两顶点间的距离为6，渐近线方程为y＝±eq \f(3,2)x；
(3)求与双曲线x2－2y2＝2有公共渐近线，且过点M(2，－2)的双曲线方程．
[提能力]
11．[多选题]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin ∠F1PF2＝eq \f(\r(15),4)，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是( )
A．e＝eq \r(6) B．e＝2 C．b＝eq \r(5)a D．b＝eq \r(3)a
12．[多选题]双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1的右焦点为F，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，则下列说法正确的是( )
A．双曲线C的离心率为eq \f(\r(6),2)
B．若PO⊥PF，则△PFO的面积为eq \r(2)
C．|PF|的最小值为2
D．双曲线eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1与C的渐近线相同
13．过双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M，N两点，以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点B，则双曲线的离心率等于________．
14．已知F1、F2是双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的两个焦点，点A(x0,4)(x0>0)在双曲线C上，且△F1AF2的面积为20，则双曲线C的离心率e＝________.
15．设双曲线中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为eq \f(\r(5),2)，已知点P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程．
[培优生]
16．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1，F2，其中F1为左焦点．点P为两曲线在第一象限的交点，e1，e2分别为曲线C1，C2的离心率，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e2－e1的取值范围为________．
课时作业(十六)
1．解析：根据题意，双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1，其中a＝2，b＝1，其焦点在x轴上，则c＝eq \r(5)，
则双曲线的焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0).
故选C.
答案：C
2．解析：由双曲线方程得b＝1，由离心率得eq \f(c,a)＝2，结合c2＝a2＋b2，解得a＝eq \f(\r(3),3)，c＝eq \f(2\r(3),3)，故实轴长2a＝eq \f(2\r(3),3).故选D.
答案：D
3．解析：∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，则C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.故选C.
答案：C
4．解析：∵eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为：y＝±eq \f(b,a)x，∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,3)，即a＝3b，∴c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(10)b，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(10),3)，故选A.
答案：A
5．解析：∵70，7－m<0，所以，双曲线的标准方程为eq \f(x2,16－m)－eq \f(y2,m－7)＝1，
所以该双曲线的焦点在x轴上，且a2＝16－m，b2＝m－7，则c＝eq \r(a2＋b2)＝3，
因此该双曲线的焦点坐标为(±3，0).
故选B.
答案：B
6．解析：双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0).
可得c＝5，如果离心率为eq \f(5,4).可得a＝4，则b＝3，所以，双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，所以A正确；
c＝5，双曲线过点(5，eq \f(9,4))，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(25＝a2＋b2,\f(25,a2)－\f(81,16b2)＝1))解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，所以B正确；
c＝5，渐近线方程为3x±4y＝0，可得eq \f(b,a)＝eq \f(3,4)，a2＋b2＝25，
解得a＝4，b＝3，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1，所以C正确；
c＝5，实轴长为4，可得a＝2，b＝eq \r(21)，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,21)＝1，所以D不正确；
故选ABC.
答案：ABC
7．解析：双曲线的中心在原点，一个顶点的坐标为(3，0)，则焦点在x轴上，且a＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4，即c∶b＝5∶4.
又c2＝a2＋b2，解得c＝5，b＝4，
所以双曲线的标准方程是eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1.
答案：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1
8．解析：由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＝2,b＝2))⇒a＝1，∴双曲线的方程为x2－eq \f(y2,4)＝1.
答案：x2－eq \f(y2,4)＝1
9．解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知eq \f(b,a)＝2，由c＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
答案：1 2
10．解析：(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1或eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0).
由题意，知2b＝12，eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，且c2＝a2＋b2，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1或eq \f(y2,64)－eq \f(x2,36)＝1.
(2)设以y＝±eq \f(3,2)x为渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0).
当λ>0时，a2＝4λ，∴2a＝2·eq \r(4λ)＝6.∴λ＝eq \f(9,4).
当λ<0时，a2＝－9λ，
∴2a＝2eq \r(－9λ)＝6.∴λ＝－1.
∴双曲线的方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,\f(81,4))＝1或eq \f(y2,9)－eq \f(x2,4)＝1.
(3)设与双曲线eq \f(x2,2)－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程为eq \f(x2,2)－y2＝k(k≠0).
将点M(2，－2)的坐标代入，得k＝eq \f(22,2)－(－2)2＝－2.
∴双曲线的标准方程为eq \f(y2,2)－eq \f(x2,4)＝1.
11．解析：由双曲线定义可知：|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，
由sin∠F1PF2＝eq \f(\r(15),4)，可得cs∠F1PF2＝±eq \f(1,4)，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：eq \f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a)＝±eq \f(1,4)，
解得：eq \f(c2,a2)＝4或eq \f(c2,a2)＝6.
∴e＝eq \f(c,a)＝2或eq \r(6).
∴c＝2a或c＝eq \r(6)a
又∵c2＝a2＋b2，
∴b＝eq \r(3)a或b＝eq \r(5)a.
故选ABCD.
答案：ABCD
12．解析：选项A，因为a＝2，b＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(a2＋b2)＝eq \r(6)，则离心率为e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(6),2)，故A正确；选项B，若PO⊥PF，又点P在双曲线C的一条渐近线上，不妨设在y＝eq \f(\r(2),2)x上，即eq \r(2)x－2y＝0，点F(eq \r(6)，0)到渐近线的距离为d＝eq \f(|\r(2)×\r(6)|,\r(6))＝eq \r(2)，则|PO|＝eq \r(（\r(6)）2－（\r(2)）2)＝2，所以△PFO的面积为S＝eq \f(1,2)×2×eq \r(2)＝eq \r(2)，故B正确；选项C，|PF|的最小值就是点F到渐近线的距离d＝eq \r(2)，故C错误；选项D，它们的渐近线都是y＝±eq \f(\r(2),2)x，渐近线相同，故D正确．故选ABD.
答案：ABD
13．解析：因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，设双曲线的左焦点为F1，所以F1是圆心，半径|MF1|＝|F1B|＝a＋c.由左焦点F1(－c，0)，知点M(－c，a＋c)，将点M的坐标代入双曲线方程得eq \f(（－c）2,a2)－eq \f(（a＋c）2,b2)＝1，从而a2(a＋c)2＝b4，开方得a(a＋c)＝b2，可得c2－ac－2a2＝0，即e2－e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去).
答案：2
14．解析：因为△F1AF2的面积为20，所以eq \f(1,2)·|F1F2|·4＝eq \f(1,2)·(2eq \r(9＋b2))·4＝20⇒b2＝16，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,9)⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(16,9))＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
15．解析：设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)，因为离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝2b，所以所求双曲线方程为eq \f(y2,4)－x2＝b2.
设O(x，y)为双曲线上一点，依题意
|PQ|＝eq \r(x2＋（y－5）2)＝eq \r(\f(5,4)（y－4）2＋5－b2)，
其中y≥2b，若2b≤4，当y＝4时，|PQ|最小＝2.
从而，5－b2＝4，即b2＝1.
双曲线方程为eq \f(y2,4)－x2＝1.
若2b>4，当y＝2b时，|PQ|最小＝2，从而eq \f(5,4)(2b－4)2＋5－b2＝4，所以b＝eq \f(7,2)或b＝eq \f(3,2)(与b>2矛盾).
所以双曲线方程为eq \f(y2,49)－eq \f(4x2,49)＝1.
故所求双曲线方程为eq \f(y2,4)－x2＝1或eq \f(y2,49)－eq \f(4x2,49)＝1.
16．解析：设双曲线的焦距为2c，
则依题意，有|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2a－2c＝2m＋2c，e1＝eq \f(c,a)，e2＝eq \f(c,m).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2a－2c>|PF2|＝2c，,|PF2|＋|F1F2|＝4c>|PF1|＝2a－2c，))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>2c，,a<3c，))于是，eq \f(1,3)又e2＝eq \f(c,m)＝eq \f(c,a－2c)＝eq \f(e1,1－2e1).
∴e2－e1＝eq \f(e1,1－2e1)－e1.
设1－2e1＝t，则t∈(0，eq \f(1,3))，
e2－e1＝eq \f(e1,1－2e1)－e1＝eq \f(1－t,2t)－eq \f(1－t,2)＝eq \f(1,2)(t＋eq \f(1,t))－1.
由f(t)＝eq \f(1,2)(t＋eq \f(1,t))－1，t∈(0，eq \f(1,3))为减函数，得其值域为(eq \f(2,3)，＋∞).
∴e2－e1的取值范围为(eq \f(2,3)，＋∞).
答案：(eq \f(2,3)，＋∞)