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阶段性检测2.3（难）（范围：集合至复数）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用）
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这是一份阶段性检测2.3（难）（范围：集合至复数）-备战2024年高考数学一轮复习高分突破（新高考通用），文件包含阶段性检测23难范围集合至复数解析版docx、阶段性检测23难范围集合至复数考试版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则实数m的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式可得集合A，根据可得在上恒成立，结合二次函数的单调性即可求得答案.
【详解】解不等式，即，
即，
又，，
故在上恒成立，
即在上恒成立，而在上单调递减，
故，故，
即实数m的取值范围为，
故选：B
2．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
【详解】由题，所以为实数，即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故选：A
3．在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设，根据题意计算可得，再由共线可求出的值.
【详解】方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设，则，
由共线可知，，，故，
故选：C．
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用对数的运算法则把化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】，，，
因为在定义域上是增函数，且，故.
故选：C.
5．已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果.
【详解】因为函数定义域为，且，
所以函数为偶函数，
则，
因为，则，即，
所以，
所以可以转化为，
则，
所以，
故选：B.
6．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用为奇函数排除；利用时，，排除C，从而可求解.
【详解】因为定义域为，
对于AB，，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；
对于C，时，，所以，
所以，故C不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.
故选：D.
7．如图，函数 的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的图象与直线的位置关系，利用重心坐标公式可求得，再利用周期公式以及即可求得，代入计算可得.
【详解】根据题意可知，点是的一个对称中心，
又直线交的图象于点，利用对称性可知两点关于点对称；
不妨设，
由重心坐标公式可得，又，即可得；
由最小正周期公式可得，解得，即；
将代入可得，又，所以；
即，
所以.
故选：C
8．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，进而得到在上单调递减，由为奇函数得到在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.
【详解】因为为奇函数，所以，
对任意正数恒有，即，
故在上恒成立，
故在恒成立，
故在上单调递减，
定义域为R，又，故为奇函数，
所以在上单调递减，又的图象连续不断，
故在R上单调递减，
变形得到，
所以，解得，解得.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9． ，若将图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出函数图象平移后所得图象对应的函数解析式，再利用余弦函数零点问题求出范围作答.
【详解】依题意，函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为
而，当时，，若函数在上有且只有两个零点，
则，解得，则选项BD不满足，AC满足.
故选：AC
10．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】选项A：根据对数运算相关知识即可解决；选项B：根据对数运算相关知识进行适当放缩即可解决；选项C：根据对数运算相关知识即可解决；选项D：根据对数运算相关知识及基本不等式进行放缩即可解决；
【详解】选项A：，A错误．
因为，，所以，
选项B：因为，
，则
有，所以，B正确．
选项C：，C正确．
选项D：，D正确．
故选：BCD.
11．设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有6个解
【答案】ABD
【分析】对于A，由复数与共轭复数的概念即可判定；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方计算即可；对于D，由复数的运算计算即可.
【详解】对于A，若是实数，则，显然，
若，则显然是实数，故A正确；
对于B，由复数的几何意义可知在复平面中以原点为圆心的单位圆上，即该圆上一点到的距离，如图所示，显然最大值为3，故B正确；
对于C，由复数的乘方可知此时，故C错误；
对于D，，
若，
若或，即或或或或或共六组解，故D正确.
故选：ABD
12．已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，其中，则动点O的轨迹经过的重心
D．若，其中，则动点O的轨迹经过的垂心
【答案】ABC
【分析】根据向量的加减法法则计算。结合三角形的重心、外心、垂心等定义解析并判断.
【详解】选项A:
, 所以同理所以O 是 的垂心，故选项A正确；
选项B:
因为所以即所以AO 是 的角平分线，同理可得，CO 是 的角平分线,
,所以，选项B正确；
选项C:
作于，由于
设BC的中点为D，
即所以AO与AD 共线，
则动点O的轨迹经过的重心,选项C正确；
选项D:
设BC的中点为E，
所以 所以，则动点O在中垂线上，即动点O的轨迹经过的外心.故选项D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合X的“聚点”．用Z表示整数集，则下列集合：
①；
②；
③；
④整数集Z，
其中以0为“聚点”的集合有 ．
【答案】①②③
【分析】根据“聚点”的定义可判断定义的集合.
【详解】对于①，对任意的，取，则，
故①是以0为“聚点”的集合.
对于②，对任意的，必有，
对任意的，当且时，总有，
故②是以0为“聚点”的集合.
对于③，对于任意的，当且时，总有，
故③是以0为“聚点”的集合.
故答案为：①②③.
14．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可.
【详解】当时，，设切点为，，
又
故过的切线方程为,
将代入可得,
解得或4，均大于0，满足要求；
当时，，设切点为，
又，
故过的切线方程为
将代入，可得
解得或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
15．在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 .
【答案】（满足或的其中一值）
【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.
【详解】由题意可得，，
所以，，同理可得，
则
，
所以，或，
解得或，
故答案为：（满足或的其中一值）.
16．已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，当且仅当取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，，且|ω|＝，求ω.
【答案】ω＝±（7－i）．
【分析】根据已知，利用复数的一般形式、纯虚数的概念、复数的模长公式、复数的四则运算求解.
【详解】设z＝a＋bi（a，b∈R），
则（1＋3i）z＝（1＋3i）（a＋bi）＝a－3b＋（3a＋b）i，
由题意得a－3b＝0，3a≠－b，
因为，
又|ω|＝，所以，解得，
将a＝3b代入上式，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，
故ω＝．
18．已知两个不共线的向量，，它们的夹角为，且，，为实数.
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用给定的垂直关系，结合数量积的运算律求出，再利用平方关系计算作答.
（2）利用数量积的运算律把表示为的函数，再由函数求最小值作答.
【详解】（1）因为，，与垂直，
则，
解得，又，所以.
（2）因为，，，则，
于是，
当且仅当时取等号，所以时，取得最小值.
19．已知函数的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若函数，当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定A，利用特殊点确定，再利用结合函数的周期求得，即可求得的解析式；
（2）由（1）可得表达式，结合两角和的正弦公式以及二倍角公式化简，并换元结合二次函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由图知：，则，
又，故，又，∴，
，可得，
∴，又，则，
∴当时，，
综上：.
（2）由题设，，
又，
令，
∴， 则，则，
∴且，
又在上递增，
则函数在上递增，
∴.
20．已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)设函数，若函数只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义运算求解；
（2）根据题意可得方程只有一个根，令，可知方程只有一个正根，分类讨论，结合二次方程的根或二次函数的零点运算求解.
【详解】（1）若函数是偶函数，则，
即，可得，整理得，
因为不恒为0，可得，解得.
（2）由（1）可知：，
若函数只有一个零点，
等价于方程只有一个根，
等价于方程只有一个根，整理得，
令，等价于方程只有一个正根，
当，即时，则方程的解为，不合题意；
当，即时，则，
可知方程有两个不相等的实数根，设为，
且，所以方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当，即时，令，可知开口向下，且，
若只有一个正零点，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
21．记钝角的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简整理得到，结合求出，从而得到；
（2）由（1）知，分与两种情况，利用正弦定理得到，由基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由已知得，，
即，
即，
即．
若，则，
因为，故．
从而．
（2）由得，
若，则，即，与为钝角三角形矛盾．
因此，得，故．
所以
．
当且仅当时，的最小值为．
22．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；
（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.
【详解】（1）定义域为，，
①当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
②当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）记，
由（1）知，当时，，
则，则，
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，对恒成立，
则在单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查导数的同构问题.要善于通过转化的方法，将原式的形式统一，进而进行换元，进而将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合导数与函数关系求得答案.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知，，若，则实数m的取值范围（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】解不等式可得集合A，根据可得在上恒成立，结合二次函数的单调性即可求得答案.
【详解】解不等式，即，
即，
又，，
故在上恒成立，
即在上恒成立，而在上单调递减，
故，故，
即实数m的取值范围为，
故选：B
2．已知a，b均为实数，复数：，其中i为虚数单位，若，则a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由复数为实数及不等关系列不等式，解一元二次不等式即可.
【详解】由题，所以为实数，即，
则有，解得，即a的取值范围为.
故选：A
3．在中，点，分别是，边上的中点，线段，交于点D，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由三角形重心的性质求解；方法二：设，根据题意计算可得，再由共线可求出的值.
【详解】方法一：可由三角形重心的性质知：
方法二：设，则，
由共线可知，，，故，
故选：C．
4．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用对数的运算法则把化成同底的对数，然后利用对数函数的单调性即可求解.
【详解】，，，
因为在定义域上是增函数，且，故.
故选：C.
5．已知函数（且），若，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据条件判断函数为偶函数，同时，再利用单调性即可求出结果.
【详解】因为函数定义域为，且，
所以函数为偶函数，
则，
因为，则，即，
所以，
所以可以转化为，
则，
所以，
故选：B.
6．函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用为奇函数排除；利用时，，排除C，从而可求解.
【详解】因为定义域为，
对于AB，，
所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故都不正确；
对于C，时，，所以，
所以，故C不正确；
对于D，符合函数图象关于原点对称，也符合时，，故D正确.
故选：D.
7．如图，函数 的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据函数的图象与直线的位置关系，利用重心坐标公式可求得，再利用周期公式以及即可求得，代入计算可得.
【详解】根据题意可知，点是的一个对称中心，
又直线交的图象于点，利用对称性可知两点关于点对称；
不妨设，
由重心坐标公式可得，又，即可得；
由最小正周期公式可得，解得，即；
将代入可得，又，所以；
即，
所以.
故选：C
8．定义在上的奇函数的图象连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的奇偶性得到在上恒成立，进而得到在上单调递减，由为奇函数得到在R上单调递减，从而由单调性解不等式，求出解集.
【详解】因为为奇函数，所以，
对任意正数恒有，即，
故在上恒成立，
故在恒成立，
故在上单调递减，
定义域为R，又，故为奇函数，
所以在上单调递减，又的图象连续不断，
故在R上单调递减，
变形得到，
所以，解得，解得.
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9． ，若将图象向左平移个单位长度后在上有且只有两个零点，则的取值可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据给定条件，求出函数图象平移后所得图象对应的函数解析式，再利用余弦函数零点问题求出范围作答.
【详解】依题意，函数图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为
而，当时，，若函数在上有且只有两个零点，
则，解得，则选项BD不满足，AC满足.
故选：AC
10．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BCD
【分析】选项A：根据对数运算相关知识即可解决；选项B：根据对数运算相关知识进行适当放缩即可解决；选项C：根据对数运算相关知识即可解决；选项D：根据对数运算相关知识及基本不等式进行放缩即可解决；
【详解】选项A：，A错误．
因为，，所以，
选项B：因为，
，则
有，所以，B正确．
选项C：，C正确．
选项D：，D正确．
故选：BCD.
11．设复数（）（i为虚数单位），则下列说法正确的是（ ）
A．“”的充要条件是“”
B．若，则的最大值为3
C．若，，则
D．方程在复数集中有6个解
【答案】ABD
【分析】对于A，由复数与共轭复数的概念即可判定；对于B，由复数的几何意义即可判断；对于C，由复数的乘方计算即可；对于D，由复数的运算计算即可.
【详解】对于A，若是实数，则，显然，
若，则显然是实数，故A正确；
对于B，由复数的几何意义可知在复平面中以原点为圆心的单位圆上，即该圆上一点到的距离，如图所示，显然最大值为3，故B正确；
对于C，由复数的乘方可知此时，故C错误；
对于D，，
若，
若或，即或或或或或共六组解，故D正确.
故选：ABD
12．已知点O在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若且，则
B．若且，则
C．若，其中，则动点O的轨迹经过的重心
D．若，其中，则动点O的轨迹经过的垂心
【答案】ABC
【分析】根据向量的加减法法则计算。结合三角形的重心、外心、垂心等定义解析并判断.
【详解】选项A:
, 所以同理所以O 是 的垂心，故选项A正确；
选项B:
因为所以即所以AO 是 的角平分线，同理可得，CO 是 的角平分线,
,所以，选项B正确；
选项C:
作于，由于
设BC的中点为D，
即所以AO与AD 共线，
则动点O的轨迹经过的重心,选项C正确；
选项D:
设BC的中点为E，
所以 所以，则动点O在中垂线上，即动点O的轨迹经过的外心.故选项D错误.
故选：ABC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设集合X是实数集R的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，称为集合X的“聚点”．用Z表示整数集，则下列集合：
①；
②；
③；
④整数集Z，
其中以0为“聚点”的集合有 ．
【答案】①②③
【分析】根据“聚点”的定义可判断定义的集合.
【详解】对于①，对任意的，取，则，
故①是以0为“聚点”的集合.
对于②，对任意的，必有，
对任意的，当且时，总有，
故②是以0为“聚点”的集合.
对于③，对于任意的，当且时，总有，
故③是以0为“聚点”的集合.
故答案为：①②③.
14．已知函数过点作曲线的切线，则切线的条数为 ．
【答案】2
【分析】分与两种情况，设出切点，写出切线方程，把点代入切线方程，求出相应答案即可.
【详解】当时，，设切点为，，
又
故过的切线方程为,
将代入可得,
解得或4，均大于0，满足要求；
当时，，设切点为，
又，
故过的切线方程为
将代入，可得
解得或4，均大于0，不合要求，舍去．
故答案为：2．
15．在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 .
【答案】（满足或的其中一值）
【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解.
【详解】由题意可得，，
所以，，同理可得，
则
，
所以，或，
解得或，
故答案为：（满足或的其中一值）.
16．已知的内角对应的边分别是，内角的角平分线交边于点，且.若，则面积的最小值是 .
【答案】
【分析】利用正弦定理及两角和正弦公式可得，然后利用三角形面积公式及基本不等式即得.
【详解】∵，
∴，
即，
又，，
∴，即，又，
∴，
由题可知，，
所以，即，
又，即，当且仅当取等号，
所以，
即面积的最小值是.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．已知z，ω为复数，（1＋3i）z为纯虚数，，且|ω|＝，求ω.
【答案】ω＝±（7－i）．
【分析】根据已知，利用复数的一般形式、纯虚数的概念、复数的模长公式、复数的四则运算求解.
【详解】设z＝a＋bi（a，b∈R），
则（1＋3i）z＝（1＋3i）（a＋bi）＝a－3b＋（3a＋b）i，
由题意得a－3b＝0，3a≠－b，
因为，
又|ω|＝，所以，解得，
将a＝3b代入上式，解得a＝15，b＝5或a＝－15，b＝－5，
故ω＝．
18．已知两个不共线的向量，，它们的夹角为，且，，为实数.
(1)若与垂直，求；
(2)若，求的最小值及对应的的值.
【答案】(1)；
(2)，.
【分析】（1）利用给定的垂直关系，结合数量积的运算律求出，再利用平方关系计算作答.
（2）利用数量积的运算律把表示为的函数，再由函数求最小值作答.
【详解】（1）因为，，与垂直，
则，
解得，又，所以.
（2）因为，，，则，
于是，
当且仅当时取等号，所以时，取得最小值.
19．已知函数的图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若函数，当时，求的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数图象确定A，利用特殊点确定，再利用结合函数的周期求得，即可求得的解析式；
（2）由（1）可得表达式，结合两角和的正弦公式以及二倍角公式化简，并换元结合二次函数的单调性，即可求得答案.
【详解】（1）由图知：，则，
又，故，又，∴，
，可得，
∴，又，则，
∴当时，，
综上：.
（2）由题设，，
又，
令，
∴， 则，则，
∴且，
又在上递增，
则函数在上递增，
∴.
20．已知函数是偶函数．
(1)求实数的值；
(2)设函数，若函数只有一个零点，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据偶函数的定义运算求解；
（2）根据题意可得方程只有一个根，令，可知方程只有一个正根，分类讨论，结合二次方程的根或二次函数的零点运算求解.
【详解】（1）若函数是偶函数，则，
即，可得，整理得，
因为不恒为0，可得，解得.
（2）由（1）可知：，
若函数只有一个零点，
等价于方程只有一个根，
等价于方程只有一个根，整理得，
令，等价于方程只有一个正根，
当，即时，则方程的解为，不合题意；
当，即时，则，
可知方程有两个不相等的实数根，设为，
且，所以方程有一个正根和一个负根，符合题意；
当，即时，令，可知开口向下，且，
若只有一个正零点，则，解得；
综上所述：实数的取值范围为.
21．记钝角的内角的对边分别为，已知．
(1)若，求；
(2)求的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）化简整理得到，结合求出，从而得到；
（2）由（1）知，分与两种情况，利用正弦定理得到，由基本不等式求出最小值.
【详解】（1）由已知得，，
即，
即，
即．
若，则，
因为，故．
从而．
（2）由得，
若，则，即，与为钝角三角形矛盾．
因此，得，故．
所以
．
当且仅当时，的最小值为．
22．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求得函数定义域为，，通过分类讨论即可得到答案；
（2）首先得到的范围，将原式转化为对恒成立，即对恒成立，通过导数研究函数最值即可得到答案.
【详解】（1）定义域为，，
①当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
②当时，令，得，此时单调递增，
令，得，此时单调递减；
综上所述，当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增，在单调递减.
（2）记，
由（1）知，当时，，
则，则，
当时，恒成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
则，即对恒成立，
令，对恒成立，
则在单调递增，所以，
所以，即实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题考查导数的同构问题.要善于通过转化的方法，将原式的形式统一，进而进行换元，进而将恒成立问题转化为求函数的最值问题，结合导数与函数关系求得答案.
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