专题08 截长补短类压轴题真题分类-2022-2023学年八年级数学上册重难点题型期末复习热点题型（人教版）

这是一份专题08 截长补短类压轴题真题分类-2022-2023学年八年级数学上册重难点题型期末复习热点题型（人教版），文件包含专题08截长补短类压轴题真题分类原卷版2022-2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题人教版docx、专题08截长补短类压轴题真题分类解析版2022-2023学年八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题人教版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。

类型：作高截长、等边三角形中作平行线截长、在长边上硬截一段等于其中一条短边，基本覆盖了各名校系常考的截长补短压轴题的主流考法。适合于培训机构的老师给学生作专题复习培训时使用或者尖子生冲刺压轴题高分时刷题使用。
题型一：作高截长
1.（雅礼）图1，已知Rt△ABC，∠B＝90°，以AC边作正方形ACMD，过点D作AB边上的高DE，交AB于E点。
⑴试证明：△DAE≌△ACB；
⑵若△ABC为锐角三角形(如图2)，则以AC、BC边作正方形ACMD和正方形BCNG，分别过点D、G作AB边上的垂线DE、GF，交AB于E、F两点，试比较线段GF＋DE与线段AB的大小，并说明理由。
解：(1)证明：∵四边形ACMD是正方形，AD=CA，∠DAC=90°，∵∠B=∠E=90°，∴∠DAE+∠CAB=90°，∠ACB+∠CAB=90°，∴∠DAE=∠ACB，∴△DAE≌△ACB（AAS）；
(2)GF+DE=AB.证明：过点C作CH⊥AB于点H，同理(1)可得：△DAE≌△ACH，△GBF≌△BCH，
∴DE=AH，GF=BH，∴GF+DE=BH+CH=AB.
2.(师大博才)如图，，，，，垂足为F.
(1)求证：；
(2)求∠FAE的度数；
(3)求证：.(提示：可过A作CD的垂线段)
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，在△BAC和△DAE中，，∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．
题型二：等边三角形中作平行线截长
3.(广益)如图1，已知△ABC和△EFC都是等边三角形，且点E在线段AB上.
(1)过点E作交AC于点G，试判断△AEG的形状并说明理由；
(2)求证：；
(3)如图2，若点D在射线CA上，且，求证：.
【解答】（1）证明：∵△ABC和△EFC都是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝∠ECF＝60°，AC＝BC，CE＝FC，∴∠ACE＝∠BCF，在△ACE与△FCB中，，∴△ACE≌△FCB（SAS），∴∠A＝∠CBF＝60°，∵∠ABC＝60°，∴∠A+∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠A+∠ABF＝180°，∴AC∥BF；
（2）解：△AEG是等边三角形，理由如下：如图1所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∵EG∥BC，∴∠AEG＝∠ABC＝60°，∠AGE＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEG＝∠AGE＝60°，∴△AEG是等边三角形；
（3）证明：如图2，过E作EM∥BC交AC于M，则∠AEM＝∠ABC＝60°，∠AME＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AEM＝∠AME＝60°，∴△AEM是等边三角形，
∴AE＝EM＝AM，∴∠DAE＝∠EMC＝120°，∵DE＝CE，∴∠D＝∠MCE，在△ADE和△MCE中，，∴△ADE≌△MCE（AAS），∴AD＝CM，∴AC＝AM+CM，由（1）得△ACE≌△FCB，
∴BF＝AE，∴BF＝AM，∴AC＝BF+AD，∴AB＝AD+BF．

4.(北雅)已知：△ABC为等边三角形，点E为射线AC上一点，点D为射线CB上一点，.
(1)如图1，当E在AC的延长线上且时，求证；
(2)如图2，当E在AC的延长线上时，等于AE吗？请说明理由；
(3)如图3，当D在线段CB的延长线上，E在线段AC上时，请直接写出AB、BD、AE的数量关系，并证明.
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°，∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠E，∵∠ACD＝∠CDE+∠E＝60°，∴∠E＝30°，∵DA＝DE，∴∠DAC＝∠E＝30°，
∵∠BAC＝60°，∴∠DAB＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BD＝DC；
（2）结论：AB+BD＝AE，理由如下：如图2，在AB上取BH＝BD，连接DH，
∵BH＝BD，∠B＝60°，∴△BDH为等边三角形，AB﹣BH＝BC﹣BD，即AH＝DC，
∴∠BHD＝60°，BD＝DH，∵AD＝DE，∴∠E＝∠CAD，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠ACB﹣∠E，即∠BAD＝∠CDE，∵∠BHD＝60°，∠ACB＝60°，∴180°﹣∠BHD＝180°﹣∠ACB，即∠AHD＝∠DCE，在△AHD和△DCE，，∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH＝CE，
∴BD＝CE，∴AE＝AC+CE＝AB+BD；
（3）AB＝BD+AE；如图3，在AB上取AF＝AE，连接DF，
∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝∠ABC＝60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE＝∠FEA＝∠AFE＝60°，∴EF∥BC，∴∠EDB＝∠DEF，∵AD＝DE，∴∠DEA＝∠DAE，∴∠DEF＝∠DAF，
在△AFD和△EFD中，，∴△AFD≌△EFD（SSS），∴∠ADF＝∠EDF，∠DAF＝∠DEF，
∴∠FDB＝∠EDF+∠EDB，∠DFB＝∠DAF+∠ADF，∵∠EDB＝∠DEF，∴∠FDB＝∠DFB，∴DB＝BF，∵AB＝AF+FB，∴AB＝BD+AE．

5.（长雅）如图,△ABC是边长为6的等边三角形,P是AC边上一动点,由A向C运动(与A. C不重合),Q是CB延长线上一动点,与点P同时以2厘米/每秒的相同速度由B向CB延长线方向运动(Q不与B重合)，过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D. 设运动时间为t秒。
(1)用含t的式子表示：AP=______，AE=______，BE=______.
(2)当∠BQD=30∘时，求AP的长；
(3)在运动过程中线段ED的长是否发生变化?如果不变，求出线段ED的长；如果发生改变，请说明理由。
【解答】解：（1）∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠A＝60°，根据题意得：AP＝2tcm，
∵PE⊥AB，∴AE＝AP•cs60°＝t（cm），∴BE＝AB﹣AE＝6﹣t（cm）；
故答案为：2tcm，tcm，（6﹣t）cm；
（2）∵∠C＝60°，∠BQD＝30°，∴△PCQ是直角三角形，∴PC＝QC，
根据题意得：BQ＝2tcm，则CQ＝BC+BQ＝6+2t（cm），PC＝AC﹣AP＝6﹣2t（cm），
∴6﹣2t＝（6+2t），解得：t＝1，∴AP＝2；
（3）当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．理由如下：作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，连接QE，PF，又∵PE⊥AB于E，∴∠DFQ＝∠AEP＝90°，∵点P、Q速度相同，∴AP＝BQ，
∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠FBQ＝60°，在△APE和△BQF中，∵∠AEP＝∠BFQ＝90°，
∴∠APE＝∠BQF，∴在△APE和△BQF中，，∴△APE≌△BQF（AAS），
∴AE＝BF，PE＝QF且PE∥QF，∴四边形PEQF是平行四边形，∴DE＝EF，∵EF＝BE+BF＝BE+AE＝AB，∴DE＝AB，又∵等边△ABC的边长为6，∴DE＝3，∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变．
题型三：在长边上硬截一段等于其中一条短边
6. 如图1，分别过线段AB的端点A、B作直线AM、BN，且AM∥BN，∠MAB、∠NBA的角平分线交于点C，过点C的直线l分别交AM、BN于点D、E．
（1）求证：△ABC是直角三角形；
（2）在图1中，当直线l⊥AM时，线段AD、BE、AB之间有怎样的数量关系？证明你的猜想；
（3）当直线l绕点C旋转到与AM不垂直时，在如图2、3两种情况下，（2）中的三条线段之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．
【解答】（1）证明：AM∥BN，∴∠MAB+∠ABN＝180°，∵AC平分∠MAB，BC平分∠ABN，
∴∠CAB＝∠MAB，∠ABC＝∠ABN，∴∠CAB+∠ACB＝（∠MAB+∠ABN）＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，∴△ABC是直角三角形．
（2）AD+BE＝AB，证明：延长AC交BE于Q，∵AC平分∠MAB，∴∠MAC＝∠BAC，
∵AM∥BN，∴∠MAC＝∠AQB，∴∠BAC＝∠AQB，∴AB＝BQ，∵BC平分∠ABQ，
∴AC＝CQ，∵AM∥BN，∴＝＝，∴AD＝EQ，∴AD+BE＝AB．
（3）成立，证明：如图2，延长AC交BE于Q，∵AC平分∠MAB，∴∠MAC＝∠BAC，
∵AM∥BN，∴∠MAC＝∠AQB，∴∠BAC＝∠AQB，∴AB＝BQ，∵BC平分∠ABQ，
∴AC＝CQ，∵AM∥BN，∴＝＝，∴AD＝EQ，∴AD+BE＝AB．
7．（2021春•雨花区校级期末）已知AM∥BN，AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
（1）求∠AEB的度数．
（2）如图2，过点E的直线交射线AM于点C，交射线BN于点D，求证：AC+BD＝AB；
（3）如图3，过点E的直线交射线AM的反向延长线于点C，交射线BN于点D，AB＝5，AC＝3，S△ABE﹣S△ACE＝2，求△BDE的面积．
【解答】解：（1）∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，
∴∠BAE＝BAM，∠ABE＝∠ABN，∴∠BAE+∠ABE＝（∠BAM+∠ABN）＝90°，
∴∠AEB＝90°；
（2）在AB上截取AF＝AC，连接EF，在△ACE与△AFE中，，∴△ACE≌△AFE，
∴∠AEC＝∠AEF，∵∠AEB＝90°，∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，∴∠FEB＝∠DEB，
在△BFE与△BDE中，，∴△BFE≌△BDE，∴BF＝BD，∵AB＝AF+BF，
∴AC+BD＝AB；
（3）延长AE交BD于F，∵∠AEB＝90°，∴BE⊥AF，BE平分∠ABN，∴AB＝BF＝5，AE＝EF，
∵AM∥BN，∴∠C＝∠EDF，
在△ACE与△FDE中，，∴△ACE≌△FDE，∴DF＝AC＝3，
∵BF＝5，∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，∵S△ABE﹣S△ACE＝2，∴5x﹣3x＝2，
∴x＝1，∴△BDE的面积＝8．
8. （中雅）已知为等边三角形，取的边、中点、，连接，如图1，易证为等边三角形，将绕点顺时针旋转，设旋转的角度，其中.
（1）如图2，当时，连接、，求证：；
（2）在旋转过程中，当超过一定角度时，如图3，连接、会交于一点，记交点为点，交于点，交于点，连接，请问是否会平分？如果是，求出，如果不是，请说明理由；
（3）在第（2）问的条件下，试猜想线段、和之间的数量关系，并说明理由.
【解答】证明：（1）∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE；
（2）不存在，理由如下：如图3，过点B作BN⊥AD于N，过点B作BH⊥CE于H，
∵△ABC，△DBE都是等边三角形，∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE，S△ABD＝S△CBE，∠BAD＝∠BCE，∴×AD×BN＝×CE×BH，∴BN＝BH，又∵BF＝BF，∴Rt△BFN≌Rt△BFH（HL），∴∠AFB＝∠EFB，∵∠BAD＝∠BCE，∠CPF＝∠APB，∴∠AFC＝∠ABC＝60°，∴∠AFB＝∠EFB＝60°，∴∠CFB＝∠DFB＝120°，当BF平分∠CBD时，则∠CBF＝∠DBF，∴∠BCF＝180°﹣∠CBF﹣∠CFB＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝∠ADB，∴∠DAB＝∠ADB，∴AB＝DB，与题干DB＝BC＝AB相矛盾，∴BF不会平分∠CBD；
（3）AF＝CF+BF，理由如下：如图4，在AF上截取MF＝BF，连接BM，
∵∠AFB＝60°，MF＝FB，∴△MFB是等边三角形，∴MB＝BF，∠MBF＝∠ABC＝60°，∴∠ABM＝∠CBF，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴AM＝CF，
∵AF＝AM+MF，∴AF＝CF+BF．
9．（2021秋•天心区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF．
（1）求证：AC＝AE；
（2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°；
（3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAE，∵DE⊥BA，∴∠DEA＝∠DEB＝90°，
∵∠C＝90°，∴∠C＝∠DEA＝90°，在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC＝AE；
（2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α，∵∠C＝∠DEA＝90°，∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α，则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC，在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示：
在△FAD和△MAD中，，∴△FAD≌△MAD（SAS），∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM，
∵BD＝DF，∴BD＝MD，在Rt△MDE和Rt△BDE中，∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL），
∴∠DME＝∠B，∵∠DAC＝∠DAE＝α，∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM，
在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC，在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME，∴∠DFC＝∠DME，
∴∠DFC＝∠B，∵∠C＝90°，在△ABC中，∠B＝90°﹣2α，∴∠DFC＝90°﹣2α，
∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α，∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α，∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°；
（3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5，∴AM＝1.5，∵AB＝9.5，∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8，
由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE，∴ME＝BE，∴，即BM的长为4．
10．（雅实）如图1，△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，点P在线段BC上（不与B，C重合），以AP为腰长作等腰直角△PAQ，QE⊥AB于E．
（1）求证：△PAB≌△AQE；
（2）连接CQ交AB于M，若PC＝2PB，求的值；
（3）如图2，过Q作QF⊥AQ交AB的延长线于点F，过P点作DP⊥AP交AC于D，连接DF，当点P在线段BC上运动时（不与B，C重合），式子的值会变化吗？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．
【解答】（1）证明：∵△ACB为等腰三角形，∠ABC＝90°，△PAQ是等腰直角三角形，QE⊥AB于E．
∴AP＝AQ，∠ABP＝∠QEA＝90°，∠QAE+∠BAP＝∠BAP+∠APB＝90°，∴∠QAE＝∠APB，
在△PAB和△AQE中，，∴△PAB≌△AQE（AAS）；
（2）解：∵△PAB≌△AQE，∴AE＝PB，∵AB＝CB，∴QE＝CB．在△QEM和△CBM中，
，∴△QEM≌△CBM（AAS），∴ME＝MB，∵AB＝CB，AE＝PB，PC＝2PB，
∴BE＝PC，∵PC＝2PB，∴PC＝2MB，∴＝2；
（3）解：式子的值不会变化，理由如下：过A作HA⊥AC交QF于点H，如图2所示：
∵QA⊥AP，HA⊥AC，AP⊥PD，∴∠QAH+∠HAP＝∠HAP+∠PAD＝90°，∠AQH＝∠APD＝90°，
∴∠QAH＝∠PAD，∵△PAQ为等腰直角三角形，∴AQ＝AP，在△AQH和△APD中，
，∴△AQH≌△APD（ASA），∴AH＝AD，QH＝PD，∵HA⊥AC，∠BAC＝45°，
∴∠HAF＝∠DAF，在△AHF和△ADF中，，∴△AHF≌△ADF（SAS），∴HF＝DF，
∴＝＝＝1．
11．(长郡)（1）如图1，已知∠EOF＝120°，OM平分∠EOF，A是OM上一点，∠BAC＝60°，且与OF、OE分别相交于点B、C，求证：AB＝AC；
（2）如图2，在如上的（1）中，当∠BAC绕点A逆时针旋转使得点B落在OF的反向延长线上时，（1）中的结论是否还成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由；
（3）如图3，已知∠AOC＝∠BOC＝∠BAC＝60°，求证：①△ABC是等边三角形； ②OC＝OA+OB．
【解答】（1）证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，则∠AHO＝∠AGO＝90°，∵∠EOF＝120°，∴∠HAG＝60°＝∠BAC，∴∠HAG﹣∠BAH＝∠BAC﹣∠BAH，∴∠BAG＝∠CAH，∵OM平分∠EOF，AG⊥OF，AH⊥OE，∴AG＝AH，在△BAG和△CAH中，∵，
∴△BAG≌△CAH（ASA），∴AB＝AC；
（2）结论还成立，证明：过A作AG⊥OF于G，AH⊥OE于H，与（1）证法类似根据ASA证△BAG≌△CAH（ASA），则AB＝AC；
（3）证明：①如图，∠FOA＝180°﹣120°＝60°，∠FOC＝60°+60°＝120°，即OM平分∠COF，
由（2）知：AC＝AB，∵∠CAB＝60°，∴△ABC是等边三角形；
②在OC上截取BO＝ON，连接BN，∵∠COB＝60°，∴△BON是等边三角形，∴ON＝OB，∠OBN＝60°，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°＝∠NBO，∴都减去∠ABN得：∠ABO＝∠CBN，
在△AOB和△CNB中∵，∴△AOB≌△CNB（SAS），∴NC＝OA，
∴OC＝ON+CN＝OB+OA，即OC＝OA+OB．

题型四：补短类
12．（2020•天心区开学）把两个全等的直角三角板的斜边重合，组成一个四边形ACBD以D为顶点作∠MDN，交边AC、BC于M、N．
（1）若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM、MN、BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论；
（2）当∠ACD+∠MDN＝90°时，AM、MN、BN三条线段之间有何数量关系？证明你的结论；
（3）如图③，在（2）的条件下，若将M、N改在CA、BC的延长线上，完成图3，其余条件不变，则AM、MN、BN之间有何数量关系（直接写出结论，不必证明）
【解答】（1）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，
∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°，在△DAM和△DBE中，
∴△DAM≌△DBE，∴∠BDE＝∠MDA，DM＝DE，∵∠MDN＝∠ADC＝60°，∴∠ADM＝∠NDC，
∴∠BDE＝∠NDC，∴∠MDN＝∠NDE，在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，
∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，∴AM+BN＝MN．
（2）AM+BN＝MN，证明：延长CB到E，使BE＝AM，连接DE，由（1）知：△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠MDA＝∠CDN，DM＝DE，∵∠MDN+∠ACD＝90°，∠ACD+∠ADC＝90°，
∴∠NDM＝∠ADC＝∠CDB，∴∠ADM＝∠CDN＝∠BDE，∵∠CDM＝∠NDB，∴∠MDN＝∠NDE，
在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BE+BN＝AM+BN，
∴AM+BN＝MN．
（3）BN﹣AM＝MN，证明：在CB截取BE＝AM，连接DE，∵∠CDA+∠ACD＝90°，∠MDN+∠ACD＝90°，∴∠MDN＝∠CDA，∵∠ADN＝∠ADN，∴∠MDA＝∠CDN，∵∠B＝∠CAD＝90°，
∴∠B＝∠DAM＝90°，在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE，
∴∠BDE＝∠ADM＝∠CDN，DM＝DE，∵∠ADC＝∠BDC＝∠MDN，∴∠MDN＝∠EDN，
在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN，∴MN＝NE，∵NE＝BN﹣BE＝BN﹣AM，∴BN﹣AM＝MN．
13.如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C分别在x轴上，CD平分∠ACB与y轴交于D点，∠CAO=90°-∠BDO．
（1）求证：AC=BC；
（2）如图2，点C的坐标为（4，0），点E为AC上一点，且∠DEA=∠DBO，求BC+EC的长；
（3）在（1）中，过D作DF⊥AC于F点，点H为FC上一动点，点G为OC上一动点，（如图3），当H在FC上移动、点G点在OC上移动时，始终满足∠GDH=∠GDO+∠FDH，试判断FH、GH、OG这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明．
【解答】解：（1）∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，在△ACD和△BCD中，，
∴△ACD≌△BCD（AAS），∴AC＝BC；
（2）如图2，过点D作DM⊥AC于M，∵CD平分∠ACB，OD⊥BC，∴DO＝DM，
在△BOD和△AMD中，，∴△BOD≌△AMD（AAS），∴OB＝AM，
在Rt△DOC和Rt△DMC中，，∴Rt△DOC≌Rt△DMC（HL），∴OC＝MC，
∵∠CAO＝∠DBO，∠DEA＝∠DBO，∴∠DAE＝∠DEA，∵DM⊥AC，∴AM＝EM，
∴OB＝EM，∵C（4，0），∴OC＝4，∴BC+CE＝OB+OC+MC﹣EM＝2OC＝8；
（3）GH＝OG+FH；证明：如图3，在GO的延长线上取一点N，使ON＝FH，
∵CD平分∠ACO，DF⊥AC，OD⊥OC，∴DO＝DF，在△DON和△DFH中，，
∴△DON≌△DFH（SAS），∴DN＝DH，∠ODN＝∠FDH，∵∠GDH＝∠GDO+∠FDH，
∴∠GDH＝∠GDO+∠ODN＝∠GDN，在△DGN和△DGH中，，∴△DGN≌△DGH（SAS），∴GH＝GN，∵ON＝FH，∴GH＝GN＝OG+ON＝OG+FH．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/10/19 10:42:05；用户：李昊；邮箱：2819221653@qq.cm；学号：
14
1414.（雅礼）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想．
(3)当三角尺在(2)的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜想是否仍然成立(不用说明理由).
【解答】解：（1）猜想：BF＝CG．理由：∵BF⊥AC，CG⊥AB，∴S△ABC＝AC•BF＝AB•CG．
∵AB＝AC，∴BF＝CG；
（2）猜想：DE+DF＝CG．理由：如图2，连接AD．∵DF⊥AC，DE⊥AB，CG⊥AB，
∴S△ACD＝AC•DF，S△ABD＝AB•DE，S△ABC＝AB•CG．∵S△ACD+S△ABD＝S△ABC，
∴AC•DF+AB•DE＝AB•CG．∵AB＝AC，∴DF+DE＝CG．
（3）DF+DE＝CG．
截长：在较长的线段上截取另外两条较短的线段。
补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破。
如图所示，在BF上截取BM=DF，易证△BMC≌△DFC（SAS），则MC=FC=FG，∠BCM=∠DCF，
可得△MCF为等腰直角三角形，又可证∠CFE=45°，∠CFG=90°，
∠CFG=∠MCF，FG∥CM，可得四边形CGFM为平行四边形，则CG=MF，于是BF=BM+MF=DF+CG.
如图所示，延长GC至N，使CN=DF，易证△CDF≌△BCN（SAS），
可得CF=FG=BN，∠DFC=∠BNC=135°，
又知∠FGC=45°，可证BN∥FG，于是四边形BFGN为平行四边形，得BF=NG，
所以BF=NG=NC+CG=DF+CG.