第四章 三角恒等变换（B卷·能力提升练）-2023-2024学年高一数学分层专题训练（北师大版必修第二册）

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（时间：120 分钟，满分：150 分）
单项选择题（本题共8 小题，每小题5 分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合要求的。）
1．已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（ ）
A．1B．-1C．17D．-17
2．若tanα=3，则sin2α=（ ）
A．-35B．35C．-45D．45
3．若sin(π3－α)＝14，则cs(π3＋2α)等于（ ）
A．－78B．－14C．14D．78
4．函数y=sin2x+π4+sin2x-π4的最小值为（ ）
A．2B．-2C．-2D．3
5．函数f(x)=2cs2x-3csx，其中x∈0,π4的值域为（ ）
A．-98,+∞B．-98,-1C．1-322,-1D．-98,1-322
6．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，该比值为m=5-12≈0.618，这是公认的最能引起美感的比例．我国著名数学家华罗庚以此引入并优化了现如今广泛应用于国内各个领域的“0.618优选法”．黄金分割比m=5-12≈0.618，它还可以近似表示为2sin18°，则3sin12°+msin78°的值近似等于（ ）
A．12B．1C．2D．3
7．（2023春·重庆渝中·高一重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知e1，e2是两个不共线的向量，a=e1-e2，b=tanθe1+2e2，若a与b共线，则sin2θ-7π6=（ ）
A．43+310B．43-310
C．2+35D．2-35
8．已知直线x=π12是函数fx=3sin2x+φ+cs2x+φ（0<φ<π）图象的一条对称轴，将函数fx的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数gx的图象，则函数gx在-π4,π6上的最小值为（ ）
A．12B．-1C．-2D．-3
多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）
9．已知sinαcsα=18，且π4<α<π2，则下列结果正确的是（ ）
A．sinα+csα=52B．csα-sinα=32
C．csα-sinα=-32D．tanα=4+15
10．已知csα=35，csα+β=-1213，则csβ的值可能为（ ）
A．-5665B．-2065C．-1665D．1565
11．若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列结论中正确的是（ ）
A．若A>B，则sinA>sinB
B．若acsB-bcsA=c，则△ABC为直角三角形
C．若acsA=bcsB，则△ABC为等腰三角形
D．若cs2A2=c+b2c，则△ABC为直角三角形
12．（2023·湖南邵阳·统考二模）若函数fx=2csωxcsωx-sinωx-1ω>0的最小正周期为π，则（ ）
A．f-π24=-62B．fx在π2,3π4上单调递增
C．fx在0,5π2内有5个零点D．fx在-π4,π4上的值域为-1,1
填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知α为第二象限角，且csα=-55，则2sinα-π4cs2α-sin2α=______．
14．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）若0<α<π2，0<β<π2，cs(α+β)=35，sinβ-π4=513，则csα+π4=______
15．（2023春·湖南长沙·高一湖南师大附中校考阶段练习）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a≠b,c=3，sinA=35,cs2A-cs2B=3sinAcsA-32sin2B，则△ABC的面积是__________.
16．（2023春·全国·高一校联考开学考试）若函数fx=sinωx23csωx-2sinωx+1-3ω>0在0,5π6上有四个零点，则实数ω的取值范围是______．
解答题（本题共6小题，共70分。）
17．（2023春·江苏连云港·高一校考阶段练习）已知sinα=35,csβ=1213,α∈π2,π,β∈0,π2，求值：
(1)sinα+β；
(2)csα-β.
18．已知sinα+csα=-15．
（Ⅰ）求sinα⋅csα的值；
（Ⅱ）若π2<α<π，求1sinα+1cs(π-α)的值．
19．已知函数fx=sin2x+π6-cs2x+1，x∈R.
（1）若x∈0,π2，求函数fx的值域；
（2）已知α为锐角且fα=43，求sin2α+π6的值.
20．（2023春·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）如图，以Ox为始边作角α与β0<β<α<π，它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为-35,45．
(1)求sin2α+cs2α+11+tanα的值；
(2)已知OP⊥OQ，求tanα+β．
21．（2023秋·广东·高一统考期末）已知函数f(x)=3sin2x+2cs2x+m在区间0,π2上的最大值为3．
(1)求使fx≥0成立的x的取值集合；
(2)将函数fx图象上所有的点向下平移1个单位长度，再向右平移一个单位长度，得到函数gx的图象，若x1,x2∈-π6,π2，且gx1=gx2，求gx1+x22的值．
22．（2023春·上海浦东新·高一华师大二附中校考阶段练习）将一块圆心角为120°，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法（如图所示），让矩形一边在扇形的一条半径OA（图1），或让矩形一边与弦AB平行（图2），对于图1和图2，均记∠MOA=θ．
(1)对于图1，请写出矩形面积S1关于θ的函数解析式；
(2)对于图2，请写出矩形面积S2关于θ的函数解析式；（提示：∠OQM=120°）
(3)试求出S1的最大值和S2的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？