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精品解析：广东省广州市广东实验中学2024届高三上学期大湾区数学冲刺卷1（新高考1卷）
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注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
（2024上·全国·高一专题练习）
1. 若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
（2020·全国·校联考三模）
2. 若复数满足，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
（2024·全国·模拟预测）
3. 已知在平行四边形中，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）
4. 已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
（2023·四川达州·统考一模）
5. 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
（2024上·重庆·高一重庆市第二十九中学校校考阶段练习）
6. 已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中学校考期中）
7. 正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
（2023·上海崇明·统考一模）
8. 若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中学校考期末）
9. （多选）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A. 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）
10. 已知函数，且对恒成立，则（ ）
A
B. 的图象关于点对称
C. 若方程在上有2个实数解，则
D. 的图象与直线恰有5个交点
（2024·全国·模拟预测）
11. 已知双曲线C：一条渐近线与直线垂直，焦距为，P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A，B，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为B. 双曲线的离心率为
C. 的面积为定值D. 的最小值为
（2023上·江苏南通·高三统考期中）
12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数恒有个极值点
B. 当时，曲线在点处的切线方程为
C. 若函数有个零点，则
D. 若过点存在条直线与曲线相切，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
（2024上·北京·高三阶段练习）
13. 写出一个正整数，使得的展开式中存在常数项：__________．
（2023·上海普陀·统考一模）
14. 若数列满足，（，），则的最小值是______.
（2024·湖南株洲·统考一模）
15. 已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）
16. 已知函数，若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
（2024上·北京·高三阶段练习）
17. 在中，．
（1）求C；
（2）若，求的最小值．
（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）
18. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
（2023上·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）
19. 如图，已知垂直于梯形所在平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（2024·湖南株洲·统考一模）
20. 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
（1）当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
（2）当时，
①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点Q的坐标为，求证：为定值.
（2023·四川南充·统考一模）
22. 设函数（e为自然对数底数），函数与函数的图象关于直线对称．
（1）设函数，若时，恒成立，求m的取值范围；
（2）证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数．
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．测试范围：高考全部内容
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第I卷（选择题）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
（2024上·全国·高一专题练习）
1. 若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A B.
C. D.
（2020·全国·校联考三模）
2. 若复数满足，，则复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
（2024·全国·模拟预测）
3. 已知在平行四边形中，，，，，则（ ）
A. B.
C. D.
（2023上·重庆黔江·高二重庆市黔江中学校校考阶段练习）
4. 已知点,直线与轴相交于点,则△中边上的高所在直线的方程是（ ）
A. B.
C. D.
（2023·四川达州·统考一模）
5. 设条件甲：“事件A与事件B是对立事件”，结论乙：“概率满足P（A）＋P（B）＝1”，则甲是乙的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
（2024上·重庆·高一重庆市第二十九中学校校考阶段练习）
6. 已知函数，若函数有三个不同的零点,，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
（2023上·上海崇明·高二上海市崇明中学校考期中）
7. 正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（ ）
A. B. C. D.
（2023·上海崇明·统考一模）
8. 若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
（2023上·江西吉安·高一江西省遂川中学校考期末）
9. （多选）“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民该关键词的搜索次数越多，对与该关键词相关的信息关注度也越高．如图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．
根据该走势图，下列结论正确的是（ ）
A. 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B. 这半年中，网民对与该关键词相关的信息关注度不断减弱
C. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年10月份的方差大于11月份的方差
D. 从网民对该关键词的搜索指数来看，2018年12月份的平均值大于2019年1月份的平均值
（2023上·河北石家庄·高三校联考期末）
10. 已知函数，且对恒成立，则（ ）
A
B. 的图象关于点对称
C. 若方程在上有2个实数解，则
D. 的图象与直线恰有5个交点
（2024·全国·模拟预测）
11. 已知双曲线C：一条渐近线与直线垂直，焦距为，P是双曲线右支上任意一点，过点P分别作两条渐近线的平行线，与另外一条渐近线分别相交于点A，B，O是坐标原点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 双曲线的方程为B. 双曲线的离心率为
C. 的面积为定值D. 的最小值为
（2023上·江苏南通·高三统考期中）
12. 已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A. 函数恒有个极值点
B. 当时，曲线在点处的切线方程为
C. 若函数有个零点，则
D. 若过点存在条直线与曲线相切，则
第II卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
（2024上·北京·高三阶段练习）
13. 写出一个正整数，使得的展开式中存在常数项：__________．
（2023·上海普陀·统考一模）
14. 若数列满足，（，），则的最小值是______.
（2024·湖南株洲·统考一模）
15. 已知为等腰三角形，其中，点D为边AC上一点，.以点B、D为焦点的椭圆E经过点A与C，则椭圆E的离心率的值为______.
（2023上·天津南开·高一南开中学校考期中）
16. 已知函数，若集合中恰有3个元素，且它们的和为0，则实数的取值集合是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
（2024上·北京·高三阶段练习）
17. 在中，．
（1）求C；
（2）若，求的最小值．
（2024上·河北邢台·高二河北省博野中学校联考期末）
18. 已知等比数列的前项和为，公比.
（1）求；
（2）若在与之间插入3个数，使这5个数组成一个等差数列，试问在这5个数中是否存在3个数可以构成等比数列？若存在，找出这3个数；若不存在，请说明理由.
（2023上·重庆·高二重庆市杨家坪中学校考阶段练习）
19. 如图，已知垂直于梯形所在平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值.
（2024·湖南株洲·统考一模）
20. 品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分.
（1）当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列；
（2）当时，
①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率；
②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由.
（2023上·上海浦东新·高二上海市进才中学校考阶段练习）
21. 已知椭圆的离心率为，椭圆的一个顶点与两个焦点构成的三角形面积为2. 已知直线与椭圆C交于A，B两点，且与x轴，y轴交于M，N两点.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若，求k的值；
（3）若点Q的坐标为，求证：为定值.
（2023·四川南充·统考一模）
22. 设函数（e为自然对数底数），函数与函数的图象关于直线对称．
（1）设函数，若时，恒成立，求m的取值范围；
（2）证明：与有且仅有两条公切线，且图象上两切点横坐标互为相反数．
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