2023届广东省广州市大湾区高三上学期1月第一次联合模拟数学试题

广州市大湾区2023届高三上学期1月第一次联合模拟

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的市（县、区）、学校、姓名、班级、座位号和准考证号填写在答题卡上，并填涂10位准考证号（考号）．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，则（    ）

A．    B．    C．    D．

2．复数z满足（i为虚数单位），则复数（    ）

A．    B．    C．    D．

3．为深入推进“五育”并举，促进学生身心全面和谐发展，某校于上周六举办跳绳比赛．现通过简单随机抽样获得了22名学生在1分钟内的跳绳个数如下（单位：个）：

69   77   92   98   99   100   102   103   115   116   116

122   123   124   127   128   129   134   140   142   143   159

估计该校学生在1分钟内跳绳个数的第65百分位数为（    ）

A．124    B．125.5    C．127    D．127.5

4．图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高，日影长．图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A处的水平面．已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（参考数据：）（    ）

A．    B．    C．    D．

5．函数的图象可能为（    ）

A．    B．    C．    D．

6．已知F为双曲线：的左焦点，P为其右支上一点，点，则周长的最小值为（    ）

A．    B．    C．    D．

7．与正三棱锥6条棱都相切的球称为正三棱锥的棱切球．若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为3，则此正三棱锥的棱切球半径为（    ）

A．    B．    C．    D．

8．设数列的前n项和为，且．若对任意的正整数n，都有成立，则满足等式的所有正整数n为（    ）

A．1或3    B．2或3    C．1或4    D．2或4

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知圆，直线，则（    ）

A．直线l过定点

B．直线l与圆C可能相离

C．圆C被y轴截得的弦长为

D．圆C被直线l截得的弦长最短时，直线l的方程为

10．函数的部分图象如图所示，，则下列选项中正确的有（    ）

A．的最小正周期为

B．是奇函数

C．的单调递增区间为

D．

11．随着春节的临近，小王和小张等4位同学准备互相送祝福．他们每人写了一个祝福的贺卡，这四张贺卡收齐后让每人从中随机抽取一张作为收到的新春祝福，则

A．小王和小张恰好互换了贺卡的概率为

B．己知小王抽到的是小张写的贺卡的条件下，小张抽到小王写的贺卡的概率为

C．恰有一个人抽到自己写的贺卡的概率为

D．每个人抽到的贺卡都不是自己写的概率为

12．已知正数a，b满足等式，则下列不等式中可能成立的有（    ）

A．    B．    C．    D．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若函数为奇函数，则______________．

14．的展开式中的系数为_____________（用数字作答）．

15．若，则______________．

16．设A，B是平面直角坐标系中关于y轴对称的两点，且．若存在，使得与垂直，且，则的最小值为________________．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（10分）己知等差数列的各项均为正数．若分别从下表的第一、二、三列中各取一个数，依次作为，且，中任何两个数都不在同一行．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为．求证：．

18．（12分）如图，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

已知．

（1）求角A；

（2）若D为线段延长线上一点，且，求．

19．（12分）如图，三棱柱中，侧面为矩形，且，D为的中点，．

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成的夹角的余弦值．

20．（12分）在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列．现连续发射信号n次，每次发射信号“0”和“1”是等可能的．记发射信号1的次数为X．

（1）当时，求；

（2）已知切比雪夫不等式：对于任一随机变量y，若其数学期望和方差均存布，则对任意正实数a，有．根据该不等式可以对事件“”的概率作出下限估计．为了至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，试估计信号发射次数n的最小值．

21．（12分）设抛物线，过点P的直线分别与抛物线相切于A，B两点，且点A在x轴下方，点B在x轴上方．

（1）当点P的坐标为时，求；

（2）点C在抛物线上，且在x轴下方，直线交x轴于点N．直线交x轴于点M，且，若的重心在x轴上，求的最大值．

22．（12分）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）设a，b是两个不相等的正数，且，证明：．

数学参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1    14．    15．    16．

四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．解答：（1）由题可得

故

（2）且，

故

．

∴

．

18．解：（1）由条件及正弦定理可得

即

故

则有

又

故有，

或（舍去），

或（舍去）．

则，又

所以．

（2）设，在和中，由正弦定理可得

，

∴

∴

∴

∴

19．解：（1）连接交于点O，连接

∵为三棱柱

∴为平行四边形，点O为的中点

又∵D为的中点

∴

又∵平面，平面

∴平面．

（2）解法1：

∵

∴面

∵面

∴

∴

∵

∴,即

以A为坐标原点，分别为x，y，z建立空间直角坐标系，

∴,

∵,,

∴面，即平面的一个法向量为

设平面的法向量为，则即

令

设平面与平面所成夹角为，

∴

∴平面与平面所成夹角的余弦值是．

解法2：设点E为的中点，点F为的中点，

连接交于点Q，连接，

设点P为的中点，连接．

∵点E为的中点，点D为的中点

∴且，点Q为的中点

∵为矩形，∴

又∵，∴平面

∴

∴在中，，可得

∴为等腰直角三角形，其中

而点Q为的中点，∴且

∵点P为的中点，点F为的中点

∴且

∴

又∵在中，，点E为的中点

∴

∴在中，，且点P为的中点

∴且

∴即为平面与平面所成的夹角

∴在中，

∴

20．解：（1）由已知，

所以

；

（2）由已知，所以，

若，则，即，

即．

由切比雪夫不等式，

要使得至少有的把握使发射信号“1”的频率在0.4与0.6之间，则，

解得，所以估计信号发射次数n的最小值为1250．

21．解：（1）令，

∵，∴，∴，∴

∴

又∵

∴

∴

同理可得．

∴，

∴．

（2）令，由条件知．

∴

∵，∴

∴

∴当时，取得最大值．

22．解：（1）证明：（1）的定义域为

，令，得：．

当x变化时的关系如下表：

在上单调递减；在上单调递增．

（2）证明：要证，

只需证：

根据，只需证：

不妨设，由得：；

两边取指数，，化简得：

令：，则，根据（1）得

在上单调递减；在上单调递增（如下图所示），

由于在上单调递减，在上单调递增，要使且，则必有，即

由得：．

要证，只需证：，

由于在上单调递增，要证：，

只需证：，

又，只需证：，

只需证：，

只需证：，

只需证：

只需证：，即证，

令

只需证：，

，

令，

在上单调递减，

所以，

所以

所以在上单调递减，所以

所以

所以：．