2023-2024学年江苏省南通市崇川区、通州区高二上学期11月期中联考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年江苏省南通市崇川区、通州区高二上学期11月期中联考数学试题含答案，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据空间点关于平面对称的性质，直接写出答案即可.
【详解】点关于平面对称的点的坐标为.
故选：B.
2．直线的一个方向向量是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．
【详解】直线可化成斜截式方程，
所以直线的斜率为，
由直线方向向量与斜率的关系，即直线的方向向量为,则斜率为,
所以选项中可以是直线的方向向量，即正确.
故选：.
3．已知在三棱锥中，M，N分别是AB和PC的中点．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据向量的线性运算法则求解．
【详解】因为，M，N分别是PC和AB的中点，
所以，
故选：C．
4．已知椭圆C：的焦点在y轴上，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆焦点所在轴，列出关于k的不等式求解即可.
【详解】因为椭圆的焦点在y轴上，所以有，解得.
故选：A
5．圆C：关于直线对称圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】将圆的方程化为标准方程，得出圆心、半径.根据已知求出对称点的坐标，即可得出答案.
【详解】将圆的方程化为标准方程可得，，
所以，圆心，半径.
设，
由已知可得，，解得，
所以，圆的圆心为，半径，
所以，圆的方程为.
故选：D.
6．中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体为上、下底面均为扇环形的柱体（扇环是指圆环被扇形截得的部分）．现有一个如图所示的曲池，其中底面，底面扇环所对的圆心角为，扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立空间直角坐标系，以向量法去求解异面直线与所成角的余弦值.
【详解】设上底面圆心为，下底面圆心为，连接，，
在下底面作，
以为原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图：
因为扇环对应的两个圆的半径之比为1：2，，所以，得，
则即，即，
，，，， ，，
.
所以，
又异面直线所成角的范围为，故异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
7．已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值．
【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上，
，，
，当是的延长线椭圆的交点时，取等号，
所以的最大值为，
故选：B．
8．已知圆O：，，是圆O上两点，满足，，则（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】利用，是圆O上两点，建立方程组，两式相加并进行配方，解出即可.
【详解】因为，是圆O：上两点，
所以，将两式相加，
又因为,
所以，
即，解得,
故选：D.
二、多选题
9．对于直线l：，下列说法正确的是（ ）
A．l的斜率一定存在B．l恒过定点
C．时，l的倾斜角为60°D．时，l不经过第二象限
【答案】ABD
【分析】由直线方程进行判断．
【详解】直线方程为，斜率为，一定存在，A正确；
，所以直线过点，B正确；
时斜率为，倾斜角为，C错误；
时，直线方程为，即，斜率是2，为正，与坐标轴的交点分别是和，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，D正确
故选：ABD．
10．下列结论正确的是（ ）
A．若向量，，，则，，共面
B．若直线l的方向向量为，平面的法向量，则
C．若向量，，则在上的投影向量为
D．若空间三点，，，则点C到直线AB的距离为3
【答案】AC
【分析】根据向量共面定理可判断A项；根据直线方向向量和平面法向量垂直，即可判断B项；由投影向量的求法可判断C项；根据在上的投影结合勾股定理可判断D项.
【详解】A中，，所以，，共面，故A正确；
B中，，所以，所以，所以B错误；
C中，在上的投影向量为，故C正确；
D中，，，所以，
，，
所以在上的投影为，
所以点C到直线AB的距离为，所以D错误.
故选：AC
11．已知点P在圆C：上，直线l：与x轴、y轴分别交于A，B两点，则（ ）
A．点P到直线l的距离大于1
B．点P到直线l的距离小于7
C．当∠PAB最大时，
D．以BC为直径的圆与圆C的公共弦所在直线的方程为
【答案】BCD
【分析】利用圆心到直线的距离确定圆上的点到直线距离的最大值和最小值判断AB，利用切线长判断C，由两圆方程相减得公共弦所在直线方程判断D．
【详解】由已知圆心为，半径为4，圆心到直线的距离为，直线与圆相交，因此点P到直线l的距离为0，A错；
点P到直线l的距离最大距离为，B正确；
由已知，
当与圆相切时，最大，为过点的切线长，C正确；
以为直径的圆的方程为，即，
圆方程与此方程相减得，即为公共弦所在直线方程，D正确，
故选：BCD．
12．已知双曲线C：（，）的一条渐近线的方程为，，是C的左、右焦点，是C上一点，连结交C于点B，则（ ）
A．C的离心率为B．
C．的周长为D．的内切圆半径为
【答案】ABD
【分析】根据渐近线方程和点A的坐标求出双曲线的标准方程，再根据双曲线的性质逐项分析.
【详解】对于A选项：由渐近线方程可知，，离心率,即，故A正确；
对于B选项：由点A在双曲线上得，且，解得,即，,又，,故B正确；
对于C选项：,,，周长为，故C错误；
对于D选项：设，则，，在中，,，设的周长为l，内切圆半径为r，由三角形面积公式：，代入可得，故D正确.
故选:ABD
三、填空题
13．已知直线：和直线：垂直，则 ．
【答案】/0.5
【分析】根据两直线垂直的条件，列式计算，即得答案.
【详解】由题意知直线：和直线：，
故，
故答案为：
14．已知椭圆E以矩形的两个顶点A，B为焦点，且经过C，D两点．若，则E的离心率为 ．
【答案】
【分析】画出图形，设，，则椭圆的定义可知：，从而可得出答案.
【详解】设矩形的边长，，
故，由椭圆的定义可知：，
所以，所以.
故答案为：.

15．写出满足下列两个条件的一个双曲线C的方程： .
①焦距为；②直线与C的一支有2个公共点.
【答案】（或），其中（答案不唯一）
【分析】根据焦距设双曲线方程，联立双曲线与直线方程得到一元二次方程，再利用根的分布得到不等式组，解之即可.
【详解】当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
因为焦距为，所以，则，
要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的右支有2个公共点，
联立方程，消去，得，
则即，解得；
当双曲线的焦点在轴上时，设双曲线C的方程为，
因为焦距为，所以，则，
要使直线与C的一支有2个公共点，则直线与C的下支有2个公共点，
联立方程，消去，得，
则即，解得；
综上，满足题意的双曲线C的方程为：（或），其中.
故答案为：（或），其中.（答案不唯一）
四、双空题
16．已知正四棱柱中，，．若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为 ；若P是侧面上的一个动点（含边界），且，则点P形成的轨迹长度为 ．
【答案】
【分析】（1）利用线面垂直关系，将转化为，可得点P形成的轨迹为四分之一圆弧；
（2）先求点轨迹方程，再求出圆心角，最后求出弧长即可.
【详解】如图所示，
连接.
在正四棱柱中，平面，
由平面，则，
又底面是正方形，故，
又且平面，
所以平面，而平面，
所以，在直角中，，
则，又P是侧面上的一个动点，
故点P形成的轨迹是以为圆心，为半径的四分之一圆弧，
所以其长度为；
如图所示，
在侧面内以为原点，为轴，为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则设，
由，得，
化简得，
又因为P是侧面上的一个动点，
则点P形成的轨迹是以为圆心，为半径的一段圆弧，
如图所示，
，
因为，所以，即圆心角为，
则弧长为，
故答案为：；
五、解答题
17．已知三角形的三个顶点是，，，边BC上的高所在直线为l．
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l关于点B对称的直线的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）应用两点式求斜率，再由直线垂直得，应用点斜式写出直线l的方程；
（2）由直线平行设直线的方程为，根据已知及点线距离公式列方程求参数，即可得直线的方程．
【详解】（1）因为点，，所以，
因为，所以，且直线l经过点，
所以直线l的方程为，即．
（2）设直线的方程为，
由点到直线l和直线的距离相等，
所以，解得，
所以直线的方程为．
18．已知圆，点．
(1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程；
(2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设的方程为，利用圆心到直线的距离为，求出，即可得解；
（2）设圆的方程为，依题意圆心在直线上，从而得到方程组，解得即可.
【详解】（1）圆即，
圆心为，半径，
若直线的斜率不存在，则的方程为，
将代入圆的方程，解得或，
所以，符合条件；
若直线的斜率存在，设的方程为，
即．
因为，所以圆心到直线的距离为，
所以， 解得，所以直线的方程为，
综上，直线的方程为或.
（2）设圆的方程为．
因为圆经过点，且与圆相切于点，
所以圆心在直线上，
所以，解得，
所以圆的方程为．
19．如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，．E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点．
(1)证明：；
(2)当时，求直线BF与平面DEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）通过BA，BC，两两垂直，建立空间直角坐标系，验证，即可证明;
（2）先求出平面DEF的法向量为，再利用线面角公式即可计算.
【详解】（1）（1）因为直三棱柱中，，
所以BA，BC，两两垂直，
以点B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为侧面为正方形，，
E，F分别为AC和的中点，D为棱上的点，
所以，，，，
设，则．
由，
得，即．
（2）（2）当时，则，，．
设平面DEF的法向量为，
则由即取．
设直线BF与平面DEF所成角为，
则，
即直线BF与平面DEF所成角的正弦值为．
20．已知椭圆C：的右焦点为F，斜率不为0的直线l与C交于A，B两点．
(1)若是线段AB的中点，求直线l的方程；
(2)若直线l经过点（点A在点B，Q之间），直线BF与C的另一个交点为D，求证：点A，D关于x轴对称．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用点差法，利用，，代入椭圆，然后相减整理即可得出斜率;
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，只需证明即可.
【详解】（1）设，，
则两式相减，得，
即．
因为是线段AB的中点，所以，，
所以直线l的斜率，
所以直线l的方程为，即．
（2）根据椭圆的对称性，欲证点A，D关于x轴对称，
只需证，即证．
设直线AB的方程为，
由消x得，
所以，．
所以．
因为，
所以，即点A，D关于x轴对称．

21．如图，在四棱锥中，平面，，，，，是的中点，点在线段上．
(1)当是中点时，求点到平面的距离；
(2)当二面角的正弦值为时，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用点到平面距离的向量公式求解；
（2）设，求平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
【详解】（1）因为平面，平面，所以，．
在平面内作，又，所以两两垂直，
以B为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
因为，，，N是中点，
则，，，，，，
，，．
设平面的法向量，
则即取．
所以点N到平面的距离．
（2）因为M是的中点，所以，设，
则，，．
设平面的法向量，
则即取．
设平面的法向量，
则即取．
设二面角的大小为，则．
设，因为二面角的正弦值为，
所以，解得，此时，
所以．
22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：，点，以线段FG为直径的圆与圆O相切，记动点G的轨迹为W．
(1)求W的方程；
(2)设点M在x轴上，点，在W上是否存在两点A，B，使得当A，B，N三点共线时，是以AB为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点M的坐标和直线AB的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)答案见解析.
【分析】（1）结合题意，通过相切可判断动点G的轨迹为双曲线，进而求出方程;
（2）利用是以AB为斜边的等腰直角三角形得到：，，找到的关系，并求出，进而得到相应的直线.
【详解】（1）设，以线段FG为直径的圆的圆心为点C，圆C与圆O相切于点H，
则．因为C为FG的中点，O为的中点，
所以，．
当圆C与圆O内切时，；
当圆C与圆O外切时，，
所以为定值．
又因为，所以动点G的轨迹是以，F为焦点的双曲线．
设它的方程是（，），
则，，即，所以W的方程为．
（2）假设存在符合题意的点A，B，
由A，B，N三点共线，知直线AB斜率存在．
设直线AB的方程为，，，
由消去y并整理，得，
则解得，且，
，
设线段AB的中点为，
则，．
设点，则，．
连结TM，则，
即，即，整理得．
由，
得，
即，
即，
所以，
整理，得，解得，
显然满足条件，且．
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为；
当时，点M的坐标为，直线AB的方程为．
所以存在满足题意的两点A，B，此时，直线AB的方程为；
或，直线AB的方程为．