2024届江苏省南通市如东高级中学高三上学期期中学情检测数学试题含答案

2024届江苏省南通市如东高级中学高三上学期期中学情检测数学试题一、单选题1．已知，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】先化简集合N，再利用集合的交集运算求解.【详解】解：由，得或，则或，又，所以，故选：B2．已知，则（    ）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再求其模.【详解】因为，所以.故选：A3．已知，是两个不共线的向量，，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，设，由待定系数法代入计算，即可得到结果.【详解】因为，是两个不共线的向量，设，则，即，解得，所以.故选：C4．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.某条鲑鱼想把游速提高，则它的耗氧量的单位数与原来的耗氧量的单位数之比是（    ）A．3 B．9 C．27 D．81【答案】D【分析】设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为，由求解.【详解】解：设鲑鱼原来的游速为耗氧量的单位数为，现在的游速为耗氧量的单位数为，由题意得：，即，所以，故选：D5．已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，可得，恒成立，结合给定单调性列式求解即得.【详解】依题意，，恒成立，即，恒成立，则，函数有意义，则，解得或，显然函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，从而函数在上单调递增，所以实数的取值范围是.故选：D6．已知，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】结合已知条件、平方关系先算出的值，再由二倍角公式、两角差的正弦公式计算即可得解.【详解】由题意，解得或（舍去），从而，，所以.故选：C.7．某单位建造一间背面靠墙的小房，地面面积为，房屋正面每平方米的造价为1200元（包含门窗），房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5800元.如果墙高为，且不计房屋背面和地面的费用，则最低总造价是（    ）A．57600元 B．63400元 C．69200元 D．元【答案】B【分析】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，由题意得出，然后根据题意得出关于的函数表达式，利用基本不等式可求出的最小值.【详解】设房屋的正面边长为，侧面边长为，总造价为元，则，即，所以.当时，即当时，有最小值，最低总造价为元.故选：B8．已知椭圆：的焦点分别为，，点在上，点在轴上，且满足，，则的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，先根据，得，，代入椭圆方程可得，进而解方程可得.【详解】如图，：的图象，则，，其中，设，，则，，，，因，得，故，得，由得，得即，得由，得，又，，化简得，又椭圆离心率，所以，得.故选：D二、多选题9．已知数列都是等比数列，则下列数列中一定是等比数列的是（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用等比数列的定义可判断选项；取，，可判断选项；取 ，，可判断选项.【详解】设等比数列、的公比分别为、，其中，，对任意的，，，对于选项，，即数列为等比数列，满足条件；对于选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，但对任意的，，故数列不是等比数列，不满足条件；对于选项，，故为等比数列，满足条件.对于选项，不妨取，，则数列、都是等比数列，但当时，，故数列不是等比数列，不满足条件；故选：.10．双曲线的左、右焦点分别为，.过作其中一条渐近线的垂线，垂足为.已知，直线的斜率为，则（    ）A． B．C．双曲线的方程为 D．【答案】ACD【分析】根据点到线的距离公式可得，可判断；设，根据渐近线的性质，结合直角三角形中各边关系可得，再根据直线的斜率为列式化简求得,,后，即可判断.【详解】因为，不妨设渐近线方程为，即，所以，所以，故正确；设，因为且，所以，因为，所以，所以，所以，所以，所以，解得，所以，则离心率，故错误，所以双曲线方程为：，故正确，，故正确.故选：.11．已知正三棱柱的各棱长都为1，为的中点，则（    ）A．直线与直线为异面直线B．平面C．二面角的正弦值为D．若棱柱的各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为【答案】ABD【分析】连接、交于点，连接，即可证明，从而得到平面，即可判断A、B，建立空间中直角坐标系，利用空间向量法判断C，求出外接圆的半径，即可求出正三棱柱外接球的半径，即可判断D.【详解】连接、交于点，连接，则为的中点，又为的中点，所以，平面，平面，所以平面，故B正确；又，平面，所以与不平行且无公共点，所以直线与直线为异面直线，故A正确；取的中点，连接，则，又平面，则平面，又，如图建立空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，取，又平面的法向量可以为，设二面角为，显然为锐二面角，则，所以，即二面角的正弦值为，故C错误；外接圆的半径，所以正三棱柱外接球的半径，所以该球的表面积，故D正确.故选：ABD12．设定义在上的函数的导函数为，若与均为偶函数，则下列说法一定正确的是（    ）A．的图象关于对称 B．2为的一个周期C．的图象关于对称 D．为偶函数【答案】ABC【分析】根据为偶函数可得的图象关于对称，，可判断A；与由为偶函数可得的图象关于对称，，进而得到，可判断B；分析可得，可判断C；分析可得，进而可得，可判断D.【详解】因为为偶函数，则的图象关于对称，则，故A正确；因为为偶函数，则的图象关于对称，则，所以，即，所以2为的一个周期，故B正确；因为2为的一个周期，则，又，所以，所以，即，所以的图象关于对称，故C正确；由，得，所以，则为奇函数，故D错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：关于函数的对称性，周期性总结如下：（1）若，则函数关于对称；（2）若，则函数关于对称；（3）若，则函数的周期为；（4）若，则函数的周期为．三、填空题13．已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，母线长为，则该圆台的体积是 .【答案】/【分析】根据给定条件，求出圆台的高，再利用圆台体积公式计算得解.【详解】依题意，圆台的高，所以圆台的体积为.故答案为：14．已知直线与：交于，两点，写出满足“三角形面积为2”的的一个值 .【答案】1(或-1)【分析】由直线所过定点也在上，则，由面积可知点在到轴的距离为2，可求坐标，代入直线方程求的值.【详解】直线过定点，点也在上，故可设，，三角形面积为2，则点到轴的距离为2，点在上，则有或，代入直线方程解得或.故答案为：1(或-1)15．已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 .【答案】【分析】时，，依题意有，解出即可.【详解】函数的零点，即方程的根，当时，有，方程在区间有且仅有3个根，则，解得，即的取值范围是故答案为：.四、双空题16．如图所示，某小区有一半径为，圆心角为的扇形空地.现欲对该地块进行改造，从弧上一点向引垂线段，从点向引垂线段.在三角形三边修建步行道，则步行道长度的最大值是 .在三角形内修建花圃，则花圃面积的最大值是 .  【答案】 【分析】设，利用锐角三角函数表示出，再利用辅助角公式求解即得；求出的面积函数式，利用导数求出最大值即得.【详解】依题意，设，则，因此的周长，显然，于是当，即时，取等号，所以步行道长度的最大值是；由于，得，因此的面积，令，求导得，而，则当时，，函数递增，当时，，函数递减，于是当，即时，，所以花圃面积的最大值.故答案为：；【点睛】思路点睛：涉及图形上的点变化引起的线段长度、图形面积等问题，若点的运动与某角的变化相关，可以设此角为自变量，借助三角函数解决.五、解答题17．设正项数列的前项和为，，.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）已知与的关系，分，求即可；（2）先求出，再利用裂项相消法求和即可.【详解】（1）因为，当时，，所以（舍）或.当时，，，两式相减得：，,，因为是正项数列，所以，，即，所以是以为首项，为公差的等差数列.所以.（2）由（1）可知，是以为首项，为公差的等差数列，所以.所以..18．在中，，.(1)求；(2)若，为的中点，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意得，结合题意可得，利用两角差的正弦公式即可得到，从而得解；（2）依题意可得，在中利用余弦定理求出，再由面积公式计算可得.【详解】（1）在中，，，则，，，即，即，则，又，则；（2）因为，，所以，所以，在中，即，解得（负值舍去），所以.19．某集团下属公司在2023年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.(1)求；(2)若第（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知可得，，，利用构造法可得；（2）由已知，根据函数的单调性解不等式.【详解】（1）由已知可得，且，，则，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，；（2）由（1）得，所以，，即，，设，，且单调递增，又，，所以的解集为，所以的最小值为.20．如图，三棱锥中，所有棱长均为6，，分别是，的中点，在上，在上，且有.(1)证明：直线，，相交于一点；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）连接、，首先证明且，则与相交，设交点为，即可证明平面，同理可得平面，即可得到，从而得证.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得.【详解】（1）连接、，因为，分别是，的中点，所以且又，所以且，所以且，所以，，，四点共面，与相交，设交点为.因为，平面，所以平面，同理可得平面， 因为平面平面，所以，所以直线，，相交于一点.（2）因为三棱锥中所有棱长均为6，连接，则平面，故平面，而平面，故平面平面，在平面内过作直线垂直于，因为平面平面，则平面，以所在的直线为，以直线为轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，因为在上且，所以，所以，则，平面的法向量可以为，所以，则直线与平面所成角的正弦值为.21．设，.(1)求的最小值；(2)若，，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值；（2）设，，求出函数的导函数，令，，求出，再分、、三种情况讨论，即可得到的单调性，从而得解.【详解】（1），，解得，即函数的定义域为，又，令，得，即，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增．时取得极小值即最小值，即．（2）设，，则，又，则，令，，则，当时，所以在上单调递减，所以，即，所以在上单调递减，则，即，当时，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，则，即，不符合题意，故舍去；当时，在区间上，所以在上单调递增，所以，即，所以在上单调递增，则，即，不符合题意，故舍去；综上可得.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．22．在平面直角坐标系中，直线与抛物线相切.(1)求的值；(2)若点为的焦点，点为的准线上一点.过点的两条直线，分别与相切，直线与，分别相交于，，求证：.【答案】(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）联立直线方程与抛物线方程得到，根据直线与抛物线相切可知，进而求出p的值.（2）分别联立与，的方程得到A，B两点坐标，再设过点的直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据直线与抛物线相切及韦达定理，得到，最后利用证明.【详解】（1）因为直线与抛物线相切，所以，解得或（舍），故的值为2.（2）证明：由（1）可知，焦点，准线方程为.设准线上一点，因为过点的两条直线，分别与相切，所以直线，斜率均不为零，故设过点的两条直线，的方程分别为，.，即A点坐标为同理，B点坐标为.所以，.联立，可得因为，与相切，所以，即，且为方程的两根，根据韦达定理，则有.所以所以，即.【点睛】关键点点睛：第二小问的解题关键是分别联立与，的方程得到A，B两点坐标，再设过点的直线的方程为，将直线与抛物线方程联立方程组，根据直线与抛物线相切，得到一元二次方程，再利用韦达定理，并借助来证明.