2023-2024学年北京市育英学校高二下学期期中练习数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年北京市育英学校高二下学期期中练习数学试题（含答案），共10页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知数列an满足an+1=an+2，且a1=2，那么a3=( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
2.函数y=x+csx的导数为( )
A. y′=1+sinxB. y′=1−sinxC. y′=x+sinxD. y′=x−sinx
3.《第二十条》、《热辣滚烫》、《飞驰人生2》三部贺岁片引爆了2024年春节电影市场．某电影院同时段播放这三部电影，小李和他的三位同学每人只能选择看其中的一场电影，则不同的选择方案有( )
A. 43种B. 34种C. A43种D. C43种
4.记等差数列an的前n项和为Sn.若a5=7，a10=2，则S14=( )
A. 49B. 63C. 70D. 126
5.若100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，则至少有1件次品的不同取法的种数是( )
A. C61C942B. C61C992C. C1003−C942D. C 1003−C943
6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率小于零
B. 函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增
C. 函数f(x)在x=1处取得极大值
D. 函数f(x)在区间(−3,3)内至多有两个零点
7.由1,2,3,4,5,6组成没有重复数字，且1，3不相邻的六位数的个数是( )
A. 240B. 288C. 360D. 480
8.已知Sn为数列an的前n项和，a1=−2，an+1=Sn，那么a5=( )
A. −4B. −8C. −16D. −32
9.已知函数f(x)=aex−lnx在(1,2)上是单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. 1e,+∞B. 12e2,+∞C. 1e,+∞D. 12e2,+∞
10.若数列an为等比数列，则“a3≥1”是“a1+a5≥2”的( )
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
11.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光､蓝色光､绿色光中的一种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有( )
A. 60种B. 68种C. 82种D. 108种
12.已知函数f(x)=ex−e−x，下列命题正确的是( )
①f(x)是奇函数；
②f(x)在R上是增函数；
③方程f(x)=x2+2x有且仅有1个实数根；
④如果对任意x∈0,+∞，都有fx>kx，那么k的最大值为2．
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
13.设函数fx的导函数为f′x，若f′x0=a，则limℎ→0fx0+2ℎ−fx0ℎ= ．
14.曲线y=−x2+7x+lnx在点1,6处的切线的斜率为 ．
15.已知数列an的前n项和为Sn，且a1=1，an+1−an=2n，则Sn= ．
16.在等比数列an中，a1+a3=10，a2+a4=−5，则其前5项的和S5的值为 ．
17.一个圆桌有八个座位，编号为1至8.现有四个学生和四个家长入座，要求学生坐在偶数位．家长与其孩子相邻．满足要求的坐法共有 种．
18.设数列{an}满足“a1>a2，an19.如图：某城市有纵向道路和横向道路若干条，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有 条.(用数字作答)
20.随着自然语言大模型技术的飞速发展，CℎatGPT等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用fx=11+e−x作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输x的x满足fx+1−fxb则提示“可能出现梯度爆炸”，其中a表示梯度消失阈值，b表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：
①fx是R上的增函数；
②当b=e时，∃x∈R，输入x会提示“可能出现梯度爆炸”；
③当a=e−5时，∀x≥5，输入x会提示“可能出现梯度消失”；
④∀a>0,∃x∈R，输入x会提示“可能出现梯度消失”．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题12分)
已知函数fx=x2−5x+alnx在x=2时取得极值．
(1)求实数a；
(2)若x∈14,4，求fx的单调区间和极值．
22.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，CD⊥平面ADP，AB/​/CD，CD=2AB=4，▵ADP是等边三角形，E为DP的中点．

(1)证明：AE⊥平面PDC；
(2)若PA=6，求平面PBC与平面ABE夹角的余弦值．
23.(本小题12分)
已知Sn为等差数列an的前n项和，Tn为等比数列bn的前n项和，a1=b1=1，a2+b2=2．
(1)若b4=8，求a3的值；
(2)从以下三个条件中选择一个条件作为已知，使得bn单调递增，求出bn的通项公式以及Tn．
条件①：a5=3；条件②：a3+b3=3；条件③：S3=9．
注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
24.(本小题12分)
已知函数fx=axlnx−12x2+1−ax．
(1)当a=1时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
(2)当a<0时，求fx的极值；
(3)当12≤a≤1时，判断fx零点个数，并说明理由．
25.(本小题12分)
对于数列an，如果存在正整数T，使得对任意nn∈N∗，都有an+T=an，那么数列an就叫做周期数列，T叫做这个数列的周期.若周期数列bn，cn满足：存在正整数k，对每一个ii≤k,i∈N∗，都有bi=ci，我们称数列bn和cn为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列.如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①an=sinnπ；②bn=1,n=1,3,n=2,bn−1−bn−2,n≥3.
(2)若an和bn是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：k≤6；
(3)若an和bn是“同根数列”，且周期的最小值分别是m+2和m+4m∈N∗，求k的最大值．
答案
1.C
2.B
3.B
4.B
5.D
6.D
7.D
8.C
9.C
10.C
11.D
12.B
13.2a
14.6
15.2n+1−n−2
16.112/5.5
17.48
18.an=n+3n(答案不唯一)
19.66
20.①③④
21.解：(1)因为f′(x)=2x−5+ax，由题意得f′(2)=0，
即4−5+a2=0，解得a=2;
(2)由(1)得f′(x)=(2x−1)(x−2)x，x∈(14,4)，
由f′(x)>0，得14即f(x)的单调递增区间为(14,12)，(2,4)，单调递减区间为(12,2)，
所以f(x)的极大值为f(12)=−94−2ln2，极小值为f(2)=−6+2ln2.
22.解：(1)证明：由于▵ADP是等边三角形，E为DP的中点，
所以AE⊥PD，
又因为CD⊥平面ADP，AE⊂平面ADP，所以CD⊥AE，
又CD，PD⊂平面PDC，且CD∩PD=D，
所以AE⊥平面PDC；
(2)取PC的中点F，连接EF,BF，则由E是PD的中点，知EF是三角形PCD的中位线，故EF/​/CD，
因为CD⊥平面ADP，所以EF⊥平面ADP，
而EA，EP⊂平面ADP，故EF⊥EA，EF⊥EP，
故EA,EF,EP三线两两相互垂直，
以E为坐标原点，EP,EA,EF的方向分别为x,y,z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系E−xyz，

则由CD=4，AB=2，EF=12CD=2，EP=ED=12PD=12PA=3，
EA= PA2−EP2= 36−9=3 3，知P3,0,0，B0,3 3,2，C−3,0,4，
所以PB=−3,3 3,2，PC=−6,0,4 ，
设平面PBC的法向量为m=x,y,z，则
m⋅PB=0m⋅PC=0，即−3x+3 3y+2z=0−6x+4z=0,
令x=2，则y=0，z=3，故m=2,0,3 ，
显然平面ABE的一个法向量为n=1,0,0 ，
而cs m,n=m⋅n|m|·|n|=2 13×1=2 1313，
故平面PBC与平面ABE夹角的余弦值为2 1313．

23.(1)因为bn为等比数列，b1=1，b4=8，
设bn的公比为q，则b4=b1q3=8．
解得q=2.所以b2=2．
因为a2+b2=2，所以a2=0．
因为an为等差数列，a1=1，所以公差d=a2−a1=−1，
所以a3=−1．
(2)若选择条件①
因为an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a2+b2=2，a5=3，
设an的公差为d=a5−a15−1=12，所以a2=32，b2=12所以bn不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件①．
若选择条件②
因为an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a2+b2=2，a3+b3=3，
设an的公差为d，bn的公比为q，
则a1+d+a1q=2,a1+2d+a1q2=3.即d+q=1,2d+q2=2.
解得q=2或q=0(舍)，故条件②符合题意，
所以bn=b1qn−1=2n−1，Tn=b1−bnq1−q=2n−1．
若选择条件③
因为an为等差数列，bn为等比数列，a1=b1=1，a2+b2=2，S3=3a1+a32=9，
所以a3=6，设an的公差d=a3−a13−1=52，所以a2=72，b2=−32所以bn不是递增数列，故不符题意，所以不能选条件③．
24.(1)当a=1时fx=xlnx−12x2，则f1=−12，f′x=lnx+1−x，
所以f′1=0，
所以曲线y=fx在点1,f1处的切线方程为y=−12．
(2)函数fx的定义域为0,+∞，且f′x=alnx+a−x+1−a=alnx−x+1，
令gx=f′x=alnx−x+1，则g′x=ax−1=a−xx，
因为a<0，所以g′x<0恒成立，所以gx在0,+∞上单调递减，
即f′x在0,+∞上单调递减，
又f′1=0，
所以当00，当x>1时f′x<0，
则fx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以fx在x=1处取得极大值fx极大值=12−a，无极小值．
(3)令fx=0，即axlnx−12x2+1−ax=0，
因为x>0，所以alnx−12x+1−a=0，
令Fx=alnx−12x+1−a，
所以判断fx的零点个数，即判断Fx的零点个数，
又F′x=ax−12=2a−x2x，12≤a≤1，
所以当00，当x>2a时F′x<0，
所以Fx在0,2a上单调递增，在2a,+∞上单调递减，
所以Fxmax=F2a=aln2a−2a+1，
令Hx=x2lnx−x+1，x∈1,2，
则H′x=12lnx−12，因为x∈1,2，所以H′x≤12ln2−12=12ln2−1<0，
所以Hx在1,2上单调递减，
所以Hx≤H1=0，
所以F2a≤0，当且仅当a=12时等号成立，
所以当a=12时Fx有一个零点，即fx有一个零点，
当12综上可得当a=12时fx有一个零点，当12
25.(1){an},{b n}均是周期数列，理由如下：
因为an+1=sin(n+1)π=0=sinnπ=an，
所以数列{an}是周期数列，其周期为1(或任意正整数)．
因为bn+3=bn+2−bn+1=bn+1−bn−bn+1=−bn，
所以bn+6=−bn+3=bn．
所以数列{bn}是周期数列，其周期为6(或6的正整数倍)．
(2)假设k≤6不成立，则有k≥7，即对于1≤i≤7，都有ai=bi．
因为a7=a1,b7=b2=a2，所以a1=a2．
又因为a6=a3,b6=b1=a1，所以a1=a3．
所以a1=a2=a3，
所以an+1=an，即T=1，与{an}周期的最小值是3矛盾．
所以k≤6．
(3)当m是奇数时，首先证明k≥2m+5不存在数列满足条件．
假设k≥2m+5，即对于1≤i≤2m+5，都有ai=bi．
因为am+t=bm+t(5≤t≤m+4)，
所以at−2=bt−4=at−4(5≤t≤m+4)，
即a1=a3=a5=⋯=am+2，及a2=a4=a6=⋯=am+1．
又t=m+5时，a1=a2(m+2)+1=b2m+5=bm+1=am+1，
所以an+1=an，即T=1，与{an}的周期最小值是m+2矛盾．
其次证明k=2m+4存在数列满足条件．
取a(m+2)l+i=1,i=2k−1(1≤k≤m+32)2,i=2k(1≤k≤m+12)(l∈N)
及b(m+4)l+i=1,i=2k−1(1≤k≤m+32)2,i=2k(1≤k≤m+12)1,i=m+32,i=m+4(l∈N),
对于1≤i≤2m+4，都有ai=bi．
当m是偶数时，首先证明k≥2m+4时不存在数列满足条件．
假设k≥2m+4，即对于1≤i≤2m+4，都有ai=bi．
因为am+t=bm+t(5≤t≤m+3)，
所以at−2=bt−4=at−4(5≤t≤m+3)，
即a1=a3=a5=⋯=am+1，及a2=a4=a6=⋯=am．
又t=m+4时，am+2=bm=am，
所以an+2=an，即T=2，与{an}的周期最小值m+2是矛盾．
其次证明k=2m+3时存在数列满足条件．
取a(m+2)l+i=1,i=2k−1(1≤k≤m+22)2,i=2k(1≤k≤m2)3,i=m+2(l∈N)
及b(m+4)l+i=1,i=2k−1(1≤k≤m+22)2,i=2k(1≤k≤m2)3,i=m+21,i=m+32,i=m+4(l∈N),
对于1≤i≤2m+3，都有ai=bi．
综上，当m是奇数时，k的最大值为2m+4；
当m是偶数时，k的最大值为2m+3．