2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县高一下学期6月期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年湖南省株洲市炎陵县高一下学期6月期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合U=1,2,3,4,5,A=1,3,B=1,2,4，则∁UB∪A=( )
A. 1,3,5B. 1,3C. 1,2,4D. 1,2,4,5
2.向量a,b满足a=b=1，且向量a,b夹角为60∘，则a⋅a−a⋅b等于
( )
A. −32B. 32C. −12D. 12
3.如图所示，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为( )
A. 90°B. 60°C. 45°D. 30°
4.在空间中给出下列命题：(1)垂直于同一直线的两直线平行．(2)两条直线没有公共点，则这两条直线平行．(3)平行于同一直线的两直线平行．(4)垂直于同一平面的两直线平行．其中正确的命题个数是( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
5.若z=a+i1−ia∈R是纯虚数，则a=( )
A. −12B. 12C. −1D. 1
6.已知a=(1,m)与b=(n,−4)共线，且向量b与向量c=(2,3)垂直，则m+n=( )
A. 152B. 163C. −103D. −2
7.已知函数f(x)=lg2x,x>0−sinx,x≤0，则ff−π6=( )
A. 2B. 1C. −1D. 2
8.若α为锐角，且csα+π12=35，则csα+π3=( )
A. 210B. 7 210C. −7 210D. − 210
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数z=21−i，则下列命题中正确的是
( )
A. |z|= 2B. z=1−i
C. z在复平面上对应的点在第一象限D. z的虚部为i
10.如图，四棱锥S−ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有
．( )
A. AC⊥SB
B. AB//平面SCD
C. SA与平面ABCD所成角是∠SAB
D. AB与BC所成的角等于DC与SC所成的角
11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台O1O2，在轴截面ABCD中，AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，下列说法正确的有
( )
A. 该圆台轴截面ABCD面积为3 3cm2
B. 该圆台的体积为7 3π3cm3
C. 该圆台的母线AD与下底面所成的角为30°
D. 沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm
12.已知函数fx=−2sin2x−π6则
( )
A. 函数fx的最小正周期为2π
B. 函数fx的图像关于直线x=−π6对称
C. 函数fx为偶函数
D. 函数fx的图像向左平移φ个单位后关于y轴对称，则φ可以为5π6
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知P−3,4为角α终边上一点，角α的始边为x轴的非负半轴，则sinα+csα= ．
14.现有一个底面半径为2cm、高为9cm的圆柱形铁料，若将其熔铸成一个球形实心工件，则该工件的表面积为 cm2(损耗忽略不计)．
15.函数fx=cs2x− 2csπ2+2x的最大值为_ ．
16.已知PA垂直于矩形ABCD所在的平面，PA=3，AB=2，BC= 3，则二面角P−BD−A的正切值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设锐角三角形ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=2bsinA．
(1)求B的大小．
(2)若a=3 3，c=5，求b．
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD是菱形，PA=PC，E为PB的中点．求证：
(1)PD//平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
19.(本小题12分)
如图，AB是圆柱OO1的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆O上一点，且AB=BC=5，CD=3．
(1)求直线AC与平面ABD所成角正弦值；
(2)求点B到平面ACD的距离．
20.(本小题12分)
若函数f(x)=Asin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在一个周期内的图象如图所示．

(1)写出函数的解析式；
(2)求函数的单调增区间；将函数的图象向右移动π3个单位后，得到函数y=gx的图象，求函数y=gx在x∈π12,2π3上的值域．
21.(本小题12分)
如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD，∠ABC=23π，AB=1．
(1)若AC= 7，求△ABC的面积;
(2)若∠ADC=π3，CD=2 3，求tan∠CAD．
22.(本小题12分)
已知函数y=fx，若存在实数m、k(m≠0)，使得对于定义域内的任意实数x，均有m⋅fx=fx+k+fx−k成立，则称函数fx为“可平衡”函数；有序数对m,k称为函数fx的“平衡”数对．
(1)若fx=x2，求函数fx的“平衡”数对；
(2)若m=1，判断fx=sinx是否为“可平衡”函数，并说明理由；
(3)若m1、m2∈R，且m1,π2、m2,π4均为函数f(x)=cs2x0答案和解析
1.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查补集、并集的运算，属于基础题．
对集合B求补集，应用集合的并运算求结果；
【解答】
解：U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，B={1,2,4}，
则CUB={3,5}，
故∁UB∪A={1,3,5}．
故选：A．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查向量的数量积的概念及其运算，属于基础题．
由平面向量数量积的定义和模长公式求解即可．
【解答】
解： a⋅a−a⋅b=a2−a⋅bcs60∘=1−12=12 ，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】【分析】
连接BD,B1D1，可得∠CB1D1为异面直线B1C与EF所成的角，利用正方体的性质结合条件即得．
本题考查正方体性质，属于基本题．
【解答】
解：连接BD,B1D1，∵E，F分别是AB，AD的中点，
∴EF//BD，又由正方体的性质可知BD//B1D1，
故∠CB1D1就是异面直线B1C与EF所成的角或所成角的补角
连接D1C，由题可知▵CB1D1为正三角形，即∠CB1D1=60∘
故B1C与EF所成的角为60°．
故选：B．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线的位置关系，属于基础题．
根据空间中线面位置关系的判定及性质，逐项判定，即可求解．
【解答】
解：(1)中，在空间中，垂直于同一直线的两直线，可能平行、相交或异面，所以不正确；
(2)中，在空间中，两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面，所以不正确；
(3)中，平行于同一直线的两直线平行，所以是正确的；
(4)中，根据直线与平面垂直的性质，可得垂直于同一平面的两直线平行，所以是正确．
故选：B．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查复数的除法运算，复数的概念，属于基础题．
化简复数z，然后根据实部为0可得．
【解答】
解：因为 z=a+i1−i=a+i(1+i)(1−i)(1+i)=a−12+12i 是纯虚数，
所以 a−12=0 ，得 a=12 ．
故选：B
6.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查向量垂直和平行的坐标表示，属于基础题．
首先由平面向量垂直的坐标运算及 b→⊥c→ 得出 n ，再由平面向量平行的坐标表示及 a//b ，得出 m ，即可求出 m+n ．
【解答】
解：因为 b→⊥c→ ，
所以 2n−12=0 ，解得 n=6 ，
又因为 a//b ，
所以 6m=−4 ，解得 m=−23 ，
所以 m+n=−23+6=163 ，
故选：B．
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查求分段函数的函数值，属于中档题．
根据分段函数的解析式求函数值即可．
【解答】
解：由条件可得 f−π6=−sin−π6=0.5 ，则 ff−π6=f0.5=lg20.5=−1 ．
故选：C．
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．
先利用同角三角函数基本关系求出 sinα+π12 ，然后找出已知角 α+π12 与要求角 α+π3 之间的关系，从而直接利用两角和的余弦公式即可求解．
【解答】
解：因为 α 为锐角，所以 α∈(0,π2) ，所以 α+π12∈(π12,7π12) ，
又因为 cs (α+π12)=35>0 ，所以 α+π12∈(π12,π2) ，
所以 sinα+π12=45 ，
所以 cs (α+π3)=cs (α+π12)+π4
=cs (α+π12)cs π4−sin (α+π12)sin π4
=35× 22−45× 22=− 210 ．
故选：D．
9.【答案】ABC
【解析】【分析】
本题考查复数的代数表示及其几何意义，复数的模及其几何意义，属于中档题．
将复数 z 化简整理得 z=1+i ，依次验证A、B、C、D四个选项，可知D错误．
【解答】
解： z=2(1+i)(1−i)(1+i)=1+i ，知复数 z 的虚部为1，所以选项D错误；
对于选项A， |z|= 12+12= 2 ，所以选项A正确；
对于选项B， z=1−i ，所以选项B正确；
对于选项C，复数 z 对应的点为 (1,1) 在第一象限，所以选项C正确．
故选：ABC．
10.【答案】AB
【解析】【分析】
本题考查直线与直线位置关系，考查线面平行的判定，以及线面角与异面直线夹角，属于中档题，根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，易证AC⊥SB，判定A;根据线面平行的判定定理易证AB/​/平面SCD，判定B;由SD⊥底面ABCD判定C;AB与BC所成的角为∠ABC=90°，DC与SC所成的角是∠SCD，判定D．
【解答】
解：∵底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，由SD⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，
则SD⊥AC，又BD∩SD=D，BD、SD⊂平面SBD，所以AC⊥平面SBD，又SB⊂平面SBD，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB/​/CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB/​/平面SCD，故B正确；
设BD、AC相交于点O，∵SD⊥底面ABCD，∠ SAD是SA与平面 ABCD所成的角，故C错误；
AB与BC所成的角为∠ABC=90°，DC与SC所成的角是∠SCD，而这两个角显然不相等，故D错误．
故选：AB．
11.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题考查圆台的定义和性质，以及体积、侧面展开图，考查数形结合思想和运算能力，属于中档题．
求得圆台的下底面的半径和高，由梯形的面积公式，计算可判断A；由圆台的体积公式，计算可判断B；由线面角的定义，计算可判断C；将圆台补成圆锥，得到展开图，求得圆心角，运用勾股定理，计算可判断D．
【解答】
解：由AB=AD=BC=2cm，且CD=2AB，可得CD=4cm，
高O1O2= 4−(4−22)2= 3(cm)，
则圆台轴截面ABCD面积为12(2+4)× 3=3 3(cm2)，故A正确；
圆台的体积为V=13π(1+4+2)× 3=7 33π(cm3)，故B正确；
圆台的母线AD与下底面所成的角为∠ADO1，其正弦值为 32，
所以∠ADO1=60°，故C错误；
由圆台补成圆锥，可得大圆锥的母线长为4cm，底面半径为2cm，
侧面展开图的圆心角为θ=2π⋅24=π，
如图，设AD的中点为P，连接CP，可得∠COP=90°，OC=4，OP=2+1=3，
则CP= 42+32=5，所以沿着该圆台表面，从点C到AD中点的最短距离为5cm，故D正确．
故选ABD．
12.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查正弦型函数的周期性，考查正弦型函数的图象变换，考查函数的对称性等，属于中档题．
利用最小正周期公式判断A，利用代入检验法判断B，根据偶函数的定义判断C，根据函数图象变换结论及诱导公式判断D．
【解答】
解：对选项A：因为 fx=−2sin2x−π6 ，所以 f(x) 的最小正周期为 T=2π2=π ，错误；
对选项B：当 x=−π6 时， fx=−2sin−2×π6−π6=2sinπ2=2 ，
所以 x=−π6 是 fx 的一条对称轴，
故函数fx 的图像关于直线x=−π6 对称，正确；
对选项C：易知函数 fx 的定义域为 R ，
又 |f(−x)|=|−2sin (−2x−π6)|=|2sin (2x+π6)|≠|−2sin (2x−π6)| ，
则|f(−x)|≠|f(x)|，
所以函数 fx 不是偶函数，错误；
对选项D：函数 fx 的图像向左平移 φ 个单位后得到 gx=−2sin[2(x+φ)−π6]=−2sin(2x−π6+2φ) ，
由题意，函数 gx=−2sin(2x−π6+2φ) 的图像关于 y 轴对称，
所以 −π6+2φ=kπ+π2,k∈Z ，即 φ=kπ2+π3,k∈Z ，
当 k=1 时， φ=π2+π3=5π6 ，
即函数 fx 的图像向左平移 φ 个单位后关于 y 轴对称，则 φ 可以为 5π6 ，D正确．
故选：BD
13.【答案】15
【解析】【分析】
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
求出 P 到原点的距离，利用任意角的三角函数的定义，求得 sinα ， csα 的值，再求出 sinα+csα 即可．
【解答】
解： ∵ P−3,4为角α终边上一点，
∴OP= 9+16=5 ，
则 sinα=45 ， csα=−35 ，
∴sinα+csα=45−35=15 ．
故答案为： 15
14.【答案】36π
【解析】【分析】
本题考查球的表面积，属于中档题．
根据圆柱的体积等于球的体积求出球的半径，再根据球的表面积公式即可得解．
【解答】
解：设球的半径为 R ，
则 π×22×9=43πR3 ，解得 R=3 ，
所以该工件的表面积为 4πR2=36πcm2 ．
故答案为： 36π ．
15.【答案】 3
【解析】【分析】
本题考查求正弦型函数的最值，属于基础题．
利用诱导公式和辅助角公式化简函数为 fx= 3sin(2x+φ) ，可得最大值．
【解答】
解： f(x)=cs 2x− 2cs (π2+2x)
=cs 2x+ 2sin 2x
= 3sin (2x+φ) ，
其中 tanφ= 22 ，
所以 f(x) 的最大值为 3 ．
故答案为： 3
16.【答案】 212
【解析】【分析】
本题考查求二面角，考查空间想象能力以及运算能力，是一般题．
通过PA⊥面ABCD，作出二面角的平面角，过A作AH⊥BD于H，连接PH即可，再在直角△PHA中求解．
【解答】
解：过A作AH⊥BD于H，连接PH，
因为PA⊥面ABCD，
所以PA⊥BD，
又AH∩PA=A，AH，PA⊂面PAH，
所以BD⊥面PAH，
又PH⊂面PAH，
所以BD⊥PH，
所以∠PHA即为二面角P−BD−A的平面角．
在直角△PHA中，
因为PA=3，AH=AB×ADBD=2 3 7=2 217，
所以tan∠PHA=PAAH=32 217= 212．
故答案为： 212．
17.【答案】解：(1)由 a=2bsinA ，得 sinA=2sinBsinA ，
因为 sinA≠0 ，所以 sinB=12 ，
因为三角形ABC为锐角三角形，
故B为锐角，所以 B=π6 ．
(2)由余弦定理可得
b2=a2+c2−2accs B
=27+25−2×3 3×5× 32=52−45=7 ，
解得 b= 7 ．

【解析】本题考查正弦、余弦定理在解三角形中的运用，考查学生的计算求解能力，属于中档题．
(1)由正弦定理，可得 sinA=2sinBsinA ，进而可求出 sinB 和角 B ；
(2)利用余弦定理，可得 b2=a2+c2−2accsB ，即可求出 b ．
18.【答案】解：(1)设 AC∩BD=O ，连接 EO ，如图所示：
因为O，E分别为 BD ， PB 的中点，所以 PD//EO ，
又因为 PD⊄ 平面 AEC ， EO⊂ 平面 AEC ，
所以 PD /​/ 平面 AEC ．
(2)连接 PO ，如图所示：
因为 PA=PC ， O 为 AC 的中点，所以 AC⊥PO ，
又因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD ，
因为 PO⊂ 平面 PBD ， BD⊂ 平面 PBD ，且 PO∩BD=O ，
所以 AC⊥ 平面 PBD ，又因为 AC⊂ 平面 AEC ，
所以平面 AEC⊥ 平面 PBD ．

【解析】本题考查线面平行的判定和面面垂直的判定，属于中档题．
(1)设 AC∩BD=O ，连接 EO ，根据中位线可得 PD//EO ，再根据线面平行的判定定理即可证明;
(2)根据 PA=PC 可得 AC⊥PO ，根据四边形 ABCD 为菱形，可得 AC⊥BD ，再根据线面垂直的判断定理可得 AC⊥ 平面 PBD ，再根据面面垂直的判定定理即可得出结果．
19.【答案】解：(1)因为AB是圆柱OO1的一条母线，则AB垂直于底面，
则AB⊥ 平面 BCD ，而 BC,CD⊂ 平面 BCD ，
∴AB⊥CD ， AB⊥BC ；
∵BC 是圆 O 的直径，D是圆O上一点， ∴BD⊥CD ，
又 AB∩BD=B ， AB,BD⊂ 平面 ABD ，
∴CD⊥ 平面 ABD ，而AD⊂平面 ABD ，则CD⊥AD，
∴∠CAD 即为直线 AC 与平面 ABD 所成角，
∵AB=BC=5 ， AB⊥BC ， ∴AC=5 2 ，又 CD=3 ，
∴sin∠CAD=CDAC=3 210 ，
即直线 AC 与平面 ABD 所成角的正弦值为 3 210 ．
(2)过 B 作 BM⊥AD ，垂足为 M ，
由(1)得： CD⊥ 平面 ABD ， CD⊂ 平面 ACD ，
∴ 平面 ABD⊥ 平面 ACD ，
又平面 ABD∩ 平面 ACD=AD ， BM⊂ 平面 ABD ， BM⊥AD ，
∴BM⊥ 平面 ACD ，则BM 即为点B到平面ACD的距离，
∵BD= BC2−CD2=4 ， ∴AD= AB2+BD2= 41 ，
根据等面积法知： 12AD⋅BM=12AB⋅BD ，
∴BM=AB⋅BDAD=20 4141 ，
即 B 到平面 ACD 的距离等于 20 4141 ．

【解析】本题考查直线与平面所成的角，考查点面的距离的求法，属于中档题．
(1)由线面垂直判定可知 CD⊥ 平面 ABD ，由线面角定义知所求角为 ∠CAD ，由长度关系可得结果；
(2)过 B 作 BM⊥AD ，由面面垂直的判定与性质可知 BM 即为所求距离，利用等面积法可求得结果．
20.【答案】解：(1)由图可知 A=2,T2=5π12−−π12=π2 ，
则 T=2πω=π ，所以 ω=2 ，
故 fx=2sin2x+φ ，
又 f−π12=2sin−π6+φ=2 ，则 sin−π6+φ=1 ，
所以 −π6+φ=π2+2kπ ，k∈Z，即 φ=2π3+2kπ,k∈Z ，
又 0<φ<π ，所以 φ=2π3 ，
所以 fx=2sin2x+2π3 ；
(2)令 −π2+2kπ≤2x+2π3≤π2+2kπ ，k∈Z，
得 −7π12+kπ≤x≤−π12+kπ,k∈Z ，
所以 fx 的单调增区间为 −7π12+kπ,−π12+kπ ， k∈Z ，
由题意 gx=2sin2x−π3+2π3=2sin2x ，
由 x∈π12,2π3 ，得 2x∈π6,4π3 ，则 sin2x∈− 32,1 ，
所以函数 y=gx 在 x∈π12,2π3 上的值域为 − 3,2 ．

【解析】本题考查由部分图象求三角函数解析式，考查函数图象的变换，考查求正弦型函数的值域，属于中档题．
(1)根据函数的图象可得 A 及周期 T ，即可求出 ω ，再利用待定系数法求出 φ 即可；
(2)根据正弦函数的单调性结合整体思想即可求出函数的单调区间，根据平移变换的原则求出函数 y=gx 的解析式，再根据正弦函数的性质即可得解．
21.【答案】解：(1)在△ABC中，由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2×AB×BC×cs∠ABC，
∴7=1+BC2+BC，解得BC=2，
∴S△ABC=12×AB×BC×sin∠ABC=12×1×2× 32= 32．
(2)设∠CAD=θ，
在△ACD中，由正弦定理得ACsin∠ADC=CDsin∠CAD，∴ACsinπ3=2 3sinθ ①，
在△ABC中，∠BAC=π2−θ，∠BCA=θ−π6，
则ACsin∠ABC=ABsin∠BCA，即ACsin2π3=1sin(θ−π6) ②，
由 ① ②得：2 3sin(θ−π6)=sinθ，∴2 3( 32sinθ−12csθ)=sinθ，
整理得2sinθ= 3csθ，∴tan∠CAD= 32．

【解析】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
22.【答案】解：(1)根据题意可知，对于任意实数 x ， mx2=x+k2+x−k2=2x2+2k2 ，
即 mx2=2x2+2k2 ，即 m−2x2−2k2=0 对于任意实数 x 恒成立，
只有 m=2 ， k=0 ，
故函数 fx=x2 的“平衡”数对为 2,0 ，
(2)若 m=1 ，则 m⋅fx=sinx ，
fx+k+fx−k=sinx+k+sinx−k =2sinxcsk ，
要使得 fx 为“可平衡”函数，需使 1−2csk⋅sinx=0 对于任意实数 x 均成立，
只有 csk=12 ，此时k=2nπ±π3 ， n∈Z ，
故 k 存在，所以 fx=sinx 是“可平衡”函数．
(3)假设存在实数 m、kk≠0 ，对于定义域内的任意 x 均有 m⋅fx=fx+k+fx−k成立,
则 mcs2x=cs2(x+k)+cs2(x−k)
=12[1+cs (2x+2k)]+12[1+cs (2x−2k)]，
∴12m(1+cs 2x)=12[1+cs (2x+2k)]+12[1+cs (2x−2k)]，
∴m+mcs2x=1+cs2xcs2k−sin2xsin2k+1+cs2xcs2k+sin2xsin2k，
∴m1+cs2x=2+2cs2xcs2k,
∵m1,π2m2,π4 均为函数 f(x)=cs2x0∴m1(1+cs 2x)=2+2cs 2xcs π=2−2cs 2x，
m2(1+cs 2x)=2+2cs 2xcs π2=2,
∵0∴m1=2−2cs 2x1+cs 2x=2−2(1−2sin2x)1+2cs2x−1=2sin2xcs2x=2tan2x,
m2=21+cs 2x=1cs2x，
∴m12+m22=4tan4x+1cs4x,设hx=4tan4x+1cs4x,(0∴h0
【解析】本题考查函数新定义问题，属于难题．
(1)根据“平衡数对”定义建立方程，根据恒成立求解即可；
(2) m=1 时，判断是否存在 k 使等式恒成立，利用三角函数化简求解即可；
(3)根据“平衡数对”的定义将 m1,m2 用关于 x 的三角函数表达，再利用三角函数的取值范围求解即可．