广东省广州市真光中学2025届高三8月开学质量检测数学试题

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2024.08
本试卷共 5 页，19 小题，满分 150 分.考试用时 120 分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用 2B 铅笔在答 题卡的相应位置填涂考生号.
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑: 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能在试卷上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相 应位置上:如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案:不准使用铅笔和涂改液.不按以上 要求作答无效.
4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项、是符合题目要求的.
1. 已知集合A = {−1, 0,1, 2} ，B = {x | x2 < 2}，则A ∩ B =
A. {0,1} B. {−1,1} C. {−1, 0,1} D. {0,1, 2}
2. 已知复数z 满足(1+ i)z = i3 （i 为虚数单位），则 z = ( )
A. − B. − − C. D.
3. 已知向量 ．若 丄 ，则λ= ( )
A. 1 B. −1 C. 12 D. −12
4. 已知2cs(2α +β)− 3csβ= 0 ，则tanαtan(α + β) = ( )
A. 5 B. C. -5 D.
5. 已知函数 0 且a ≠ 1) 在R 上单调递减，则a 的取值范围为
( )
A. B. C. D.
6. 已知某圆柱的底面直径与某圆锥的底面半径相等，且它们的表面积也相等，圆锥的底面积是圆锥侧面积
的一半，则此圆锥与圆柱的体积之比为( )
A. 8: 5 3 B. 4 :5 3 C. 2 3 :5 D. 4 :113
7. 函数y = 与y = 3sin 的图像有n 个交点，其坐标依次为(x1,y1 ) ，(x2 ,y2 ) ， ⅆ , , 则 ）
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
8. 定义在R 上的函数 满足f = 0 ，f = 1 ，f ，且当0 ≤ x1 < x2 ≤ 1 时
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分
9. 李明每天 7 ：00 从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车．他各记录了 50 次坐公交车和骑自 行车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 30 分钟，样本方差为 36；自行车平均用时 34 分 钟，样本方差为 4 ．假设坐公交车用时X 和骑自行车用时 Y 都服从正态分布，则( )
A. P(X＞32)＞P(Y＞32)
B. P(X≤36)＝P(Y≤36)
C. 李明计划 7 ：34 前到校，应选择坐公交车
D. 李明计划 7 ：40 前到校，应选择骑自行车
10. 已知f (x)是定义在R 上的奇函数，当x ∈(0, +∞ ) 时，f (x) = x3 − 3x − 2 ，则( )
A. f (x) 的极大值点为−1
B. 函数y = f 的零点个数为 3
C. 函数y = f (f (x)) 的零点个数为 7
D. f (f (x)) > 0 的解集为(−2, 0)u (2, +∞ )
11. 天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时，发现了平面内到两个定点的距离之积为常数的点的 轨迹.我们称其为卡西尼卵形线(CassinniOcal ). 在平面直角坐标系中，设定点为F1 (−2, 0), F2 (2, 0)，点O 为坐标原点，动点P(x, y) 满足 PF1 . PF2 = 4 .下列四个命题中，正确的是 ( )
A. 点 P 的轨迹既是中心对称又是轴对称图形 B. 点P 的横坐标的取值范围是[−4, 4]
C. PF1 + PF2 的最小值为4 D. △F1PF2 的面积的最大值为2
三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分
12. 双曲线 = 1 ，过左、右焦点作平行于y 轴的直线交双曲线于A ，B ，C，D，若 ABCD 构成正方
形，求双曲线的离心率为 .
13. 已知曲线C1 ：f (x) = ex + a 和曲线C2 ：g (x) = ln (x + b) + a2 (a, b ∈ R) ，若存在斜率为 1 的直线与
C1 ， C2 同时相切，则 b 的取值范围是 .
14. 编号为 1 、2、3、4 的四名学生随机入座编号为 1 、2 、3 、4 的座位，每个座位坐 1 人，座位编号和学
生编号一致时称为一个“配对”，用 X 表示“配对”数，则 X 的期望E(X ) = .
四、解答题:本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 在 □ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为a, b, c ，已知 csB = ，b = 5，
（1）求a ；
（2）求sinA ；
（3）求cs (B − 2A) 的值.
16. 已知椭圆 以椭圆E 的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为 2 的正 方形.过点(0, t)(t > )且斜率存在的直线与椭圆E 交于不同的两点 A, B ，过点 A 和C(0,1) 的直线 AC
与椭圆E 的另一个交点为D .
（1）求椭圆E 的方程及离心率；
（2）若直线 BD 的斜率为 0，求 t 的值.
17. 如图，在四棱锥P − ABCD 中，BC //AD ， AB = BC = 1 ， AD = 3 ,点E 在 AD 上，且PE 丄AD ， PE = DE = 2 .
（1）若F 为线段PE 中点，求证：BF// 平面PCD .
（2）若AB 丄平面PAD ，求平面PAB 与平面PCD 夹角的余弦值.
18. 设函数f (x) = x + kln(1+ x)(k ≠ 0) ，直线l 是曲线y = f (x)在点(t, f (t ))(t > 0) 处的切线.
（1）当k = − 1时，求f (x) 的单调区间.
（2）求证：l 不经过点(0, 0) .
（3）当k = 1 时，设点 A(t, f (t ))(t > 0) ， C (0, f (t )) ， O (0, 0) ，B 为l 与y 轴的交点， S□ ACO 与S□ ABO 分别表示△ACO 与 □ ABO 的面积．是否存在点A 使得2S△ACO = 15S△ABO 成立？若存在，这样的点A 有
几个？
（参考数据：1.09 < ln3 < 1.10 ，1.60 < ln5 < 1.61 ，1.94 < ln7 < 1.95 ）
19. 已知集合M = {(i, j, k, w) i ∈{1, 2}, j ∈ {3, 4}, k ∈{5, 6}, w ∈ {7,8}, 且i + j + k + w为偶数} ．给定数 列 A : a1, a2, … , a8 ，和序列Ω : T1, T2, …Ts ，其中Tt = (it, jt, kt, wt ) ∈ M (t = 1, 2,… , s ) ，对数列A 进行如 下变换：将 A 的第i1, j1, k1, w1 项均加 1，其余项不变，得到的数列记作T1 (A) ；将T1 (A) 的第i2, j2, k2, w2 项 均加 1，其余项不变，得到数列记作T2T1 (A) ； ⅆⅆ ; 以此类推，得到Ts …T2T1 (A)，简记为Ω(A) .
（1）给定数列 A :1, 3, 2, 4, 6, 3,1, 9 和序列Ω : (1,3,5, 7), (2, 4, 6,8), (1,3,5, 7) ，写出Ω(A) ；
（2）是否存在序列 Ω , 使得Ω(A) 为a1 + 2, a2 + 6, a3 + 4, a4 + 2, a5 + 8, a6 + 2, a7 + 4, a8 + 4 ，若存在， 写出一个符合条件的 Ω ;若不存在，请说明理由；
（3）若数列A 的各项均为正整数，且a1 + a3 + a5 + a7 为偶数，求证：“存在序列 Ω ,使得Ω(A) 的各项 都相等” 的充要条件为“ a1 + a2 = a3 + a4 = a5 + a6 = a7 + a8 ” .