2023-2024学年福建省泉州市石狮市九年级上册1月月考数学试题（附答案）

这是一份2023-2024学年福建省泉州市石狮市九年级上册1月月考数学试题（附答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．若＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
3．用配方法解方程x2+6x+3＝0时，配方结果正确的是（ ）
A．（x+3）2＝12B．（x﹣3）2＝12C．（x﹣3）2＝6D．（x+3）2＝6
4．如图，△ABC与△DEF是位似图形，且位似中心为O，OB：OE＝2：3，若△ABC的面积为4，则△DEF的面积为（ ）
A．2B．6C．8D．9
4 7 8
5．对于二次函数y＝﹣3（x﹣2）2的图象，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线x＝﹣2
C．当x＞﹣2时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为（2，0）
6．根据福建省统计局数据，福建省2020年的地区生产总值为43903.89亿元，2022年的地区生产总值为53109.85亿元．设这两年福建省地区生产总值的年平均增长率为x，根据题意可列方程（ ）
A．43903.89（1+x）＝53109.85 B．43903.89（1+x）2＝53109.85
C．43903.89x2＝53109.85 D．43903.89（1+x2）＝53109.85
7．如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，若BG＝3，CG＝2，CE＝6，则的值是（ ） A． B． C． D．4
8．如图，在长方形ABCD中无重叠放入面积分别为8和16的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）
A．8﹣8B．8﹣12C．4﹣2D．8﹣2
9．如图，将矩形ABCD放置在一组等距的平行线中，恰好四个顶点都在平行线上，已知相邻平行线间的距离为1，若∠DCE＝β，则矩形ABCD的周长可表示为（ ）
A．B．
C．D．

9 10
10．如图，M是△ABC三条角平分线的交点，过M作DE⊥AM，分别交AB、AC于D，E两点，设BD＝a，DE＝b，CE＝c，关于x的方程ax2+bx+c＝0（ ）
A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根
C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的相应位置.
11．若有意义，则x的取值范围是 ．
12．如图，河坝的横断面AB的坡比是1：2，坝高BC＝3米，则坡面AB的长度是 ．米．

13．如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连结EF．若AD＝4，则EF的长为 ．
14．已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根是x＝m，则2m2﹣6m﹣2024＝ ．
15．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽6米，则水面宽为8米时，水面下降 米．
16．已知二次函数y＝﹣x2+2ax+a+1，若对于﹣1＜x＜a范围内的任意自变量x，都有y＞a+1，则a的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 在答题卡的相应位置内作答.
17．（8分）计算：．
18．（8分）解方程：x2﹣3x+2＝0．
19．（8分）关于x的一元二次方程x2+2x+3﹣k＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两个根为α，β，且k2＝αβ+3k，求k的值．
20．（8分）如图，在△ABC中，点D在AB边上，且AD：AB＝2：3．
（1）在AC边求作点E，使AE：AC＝2：3；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若△ABC的周长为12，求△ADE的周长．

21．（8分）如图，一数学项目学习小组要测量某路灯Q﹣P﹣M的顶部到地面的距离MN的长，他们借助卷尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
根据以上测量结果，计算路灯顶部到地面的距离MN为多少米．（参考数据：sin58°≈0.85，cc58°≈0.53，tan58°≈1.60，结果精确到0.1米．）
22．（10分）某商场举行促销活动，消费满一定金额的顾客可以通过参与摸球活动获得奖励．具体方法如下：从一个装有2个红球、3个黄球（仅颜色不同）的袋中摸出2个球，根据摸到的红球数确定奖励金额，具体金额设置如下表：
现有两种摸球方案：
方案一：随机摸出一个球，记下颜色后不放回，再从中随机摸出一个球；
方案二：随机摸出一个球，记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球．
（1）求方案一中，两次都摸到红球的概率；
（2）请你从平均收益的角度帮助顾客分析，选择哪种摸球方案更有利？
23．（10分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图）．
（1）若矩形养殖场的总面积为36m2，求此时x的值；
（2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
24．(12分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2AC，D，E分别是边BA，BC的中点，连接DE．将△BDE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△BFG，点D的对应点是点F，连接AF，CG．
（1）求证：∠BFA＝∠BGC；
（2）若∠BFA＝90°，求sin∠CBF的值．
25．（14分）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）求这个二次函数的解析式．
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
答案
选择题
1—5 C．A．D．D．D． 6—10 B．C．A．B．A．
二、填空题
x≥2． 12． 3． 13．2
14． ﹣2026． 15．． 16．
三、解答题
17．计算：．
解：＝
＝﹣．
18．解方程：x2﹣3x+2＝0．
解：∵x2﹣3x+2＝0，
∴（x﹣1）（x﹣2）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝1，x2＝2．
19．解：（1）b2﹣4ac＝22﹣4×1×（3﹣k）＝﹣8+4k，
∵有两个不相等的实数，
∴﹣8+4k＞0，
解得：k＞2；
（2）∵方程的两个根为α，β，
∴αβ＝＝3﹣k，
∴k2＝3﹣k+3k，
解得：k1＝3，k2＝﹣1（舍去）．
∴k的值为3
20．解：（1）如图，点E就是所求作的点．
（2）∵AE：AC＝2：3，AD：AB＝2：3，
∴AE：AC＝AD：AB，
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴△ADE的周长：△ABC的周长＝AD：AB＝2：3，
∵△ABC的周长为12，
∴△ADE的周长为8．
21．解：过A作AH⊥MN于H，
由题意得：AH＝BN＝2m，HN＝AB＝1.6m，
在Rt△AMH中，tanα＝，
∴MH＝AH•tan58°≈2×1.6＝3.2（m），
∴MN＝MH+HN＝3.2+1.6＝4.8（m），
答：路灯顶部到地面的距离MN约为4.8m．
22．解：（1）列表如下：
由表知，共有20种等可能结果，其中两次都摸到红球的有2种结果，
∴两次都摸到红球的概率为＝；
（2）由（1）知，方案一的摸球方案的平均收益为5×+10×+20×＝9.5（元），
方案二摸球方式的所有结果列表如下：
由表知，共有25种等可能结果，
∴方案二的摸球方案的平均收益为5×+10×+20×＝9.8（元），
∵9.5<9.8
∴方案二的摸球方式更有利．
23．解：（1）根据题意知：较大矩形的宽为2x m，长为＝（8﹣x） m，
∴（x+2x）×（8﹣x）＝36，
解得x＝2或x＝6，
经检验，x＝6时，3x＝18＞10不符合题意，舍去，
∴x＝2，
答：此时x的值为2；
（2）设矩形养殖场的总面积是y m2，
∵墙的长度为10m，
∴0＜x≤，
根据题意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，
∵﹣3＜0，
∴当x＝时，y取最大值，最大值为﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），
答：当x＝时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为m2．
24．（1）证明：∵D，E分别是边BA，BC的中点，
∴DE∥AC，BD＝AB，
∴∠BED＝∠BCA＝90°，
∴cs∠ABC＝，
∵将△BDE绕点B顺时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△BFG，
∴BE＝BG，BD＝BF，∠DBE＝∠FBG，
∴，∠ABF＝∠CBG，
∴△CBG∽△ABF，
∴∠BFA＝∠BGC；
（2）解：如图，过点F作FN⊥CA，交CA的延长线于点N，FN⊥BC于H，
∵∠AFB＝90°，
∴sin∠BAF＝＝，
∴∠BAF＝30°，
∴AF＝BF，
∵∠AFB＝∠C＝90°，
∴∠FAC+∠CBF＝180°，
又∵∠FAC+∠FAN＝180°，
∴∠FAN＝∠CBF，
又∵∠FHB＝∠N＝90°，
∴△AFN∽△BFH，
∴＝＝，
∴AN＝BH，FN＝FH，
∵FN⊥AC，FH⊥BC，∠C＝90°，
∴四边形FNCH是矩形，
∴CN＝FH，CH＝FN，
∴BC﹣BH＝FN，AC+AN＝FH，
∴2AC﹣BH＝FH，AC+BH＝FH，
∴＝，
∴设BH＝（2﹣）x，FH＝（2+1）x，
∴BF＝2x，
∴sin∠CBF＝＝＝．
25．解：（1）∵二次函数y＝（x2+bx+c）的图象经过点B（4，）和点C（﹣1，），
∴，
解得b＝﹣3，c＝﹣2，
∴这个二次函数的解析式为y＝（x2﹣3x﹣2）．
（2）①如图1，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于G、H，
∵y＝（x2﹣3x﹣2），
∴A（0，﹣），
∴AD＝2，BD＝4，
∴AB＝2，
∴cs，
∴cs，
∴，
∴，
∵A（0，﹣），B（4，）
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴， 解得
∴直线AB的解析式为y＝，
设E（m，），则G（m，），
∴，
∴当m＝2时，EG取得最大值，
∴EF的最大值为．
答：EF的最大值为．
②如图2，已知，令AC＝，BC＝2，在BC上截取AD＝BD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
设CD＝x，则AD＝BD＝2﹣x，
则，
解得x＝，
∴tan∠ADC＝，即tan（2∠ABC）＝2，
如图3，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，
∵tan∠MFA＝tan∠CBA＝tan∠FEN＝，
设AM＝，MF＝2a，
1°当∠FAE＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴E（6a，），
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为6a＝2，
2°当∠FEA＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线解析式，得（舍去），
∴E点的横坐标为，
综上，点E的横坐标为2或．
测量项目
测量数据
从A处测得路灯顶部M的仰角α
α＝58°
测角仪到地面的距离AB
AB＝1.6米
路灯顶部M正下方N至测量点B的水平距离BN
BN＝2米
摸到的红球数
0
1
2
奖励（单位：元）
5
10
20
红
红
黄
黄
黄
红
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
红
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
红
红
黄
黄
黄
红
（红，红）
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
红
（红，红）
（红，红）
（黄，红）
（黄，红）
（黄，红）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
黄
（红，黄）
（红，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）
（黄，黄）