2024届陕西省西安市阎良区关山中学高三上学期第三次质量检测数学（文）试题含答案

这是一份2024届陕西省西安市阎良区关山中学高三上学期第三次质量检测数学（文）试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意可得的值，然后计算即可.
【详解】由题意可得，则.
故选：A.
2．若，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据对应幂、指数函数的单调性判断大小关系即可.
【详解】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
3．函数的定义域为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零．
【详解】解：由，得，
又因为，即，得
故，的取值范围是，且．
定义域就是
故选：B．
4．设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
5．曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线在点处的切线方程为，
因为，
所以，
所以
所以
所以曲线在点处的切线方程为.
故选：C
6．在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解.
【详解】因为，
所以由正弦定理得，即，
则，故，
又，所以.
故选：B.
7．已知向量满足，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】B
【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.
【详解】向量满足，
所以.
故选：B
8．记为等差数列的前项和．若，则（ ）
A．25B．22C．20D．15
【答案】C
【分析】方法一：根据题意直接求出等差数列的公差和首项，再根据前项和公式即可解出；
方法二：根据等差数列的性质求出等差数列的公差，再根据前项和公式的性质即可解出．
【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故选：C.
方法二：，，所以，，
从而，于是，
所以．
故选：C.
9．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答.
【详解】因为，而，因此，
则，
所以.
故选：B
【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法
（1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
（2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
（3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．
10．设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据导函数的图象得出函数的单调区间，根据函数的单调性即可判断.
【详解】由导函数的图象可得当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
只有C选项的图象符合.
故选：C.
11．如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（ ）
A．8B．12C．16D．20
【答案】B
【分析】由三视图还原几何体，再由棱柱的体积公式即可得解.
【详解】由三视图还原几何体，如图，
则该直四棱柱的体积.
故选：B.
12．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为千克，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为千克．甲、乙产品每千克可获利润分别为元．月初一次性购进本月用原料A、B各千克．要计划本月生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大．在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，月利润总额为元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据条件中的不等关系列不等式可得结论.
【详解】因为月初一次性购进本月用原料A有千克，生产甲产品每千克需用原料A为千克，生产乙产品每千克需用原料A为千克，全月生产甲、乙两种产品分别为x千克、y千克，所以，
又月初一次性购进本月用原料有千克，生产甲产品每千克需用原料为千克，生产乙产品每千克需用原料为千克，所以，又，，所以，
故选：C.
二、填空题
13．设，则 ．
【答案】/0.5
【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，再求的值．
【详解】∵，∴，
∴．
故答案为：．
14．的值等于 .
【答案】/
【分析】化简所求分式，结合极限的定义可求得结果.
【详解】.
故答案为：.
15．记为等比数列的前项和．若，则的公比为 ．
【答案】
【分析】先分析，再由等比数列的前项和公式和平方差公式化简即可求出公比.
【详解】若，
则由得，则，不合题意.
所以.
当时，因为，
所以，
即，即，即，
解得.
故答案为：
16．若x，y满足约束条件，设的最大值为 ．
【答案】15
【分析】由约束条件作出可行域，根据线性规划求最值即可.
【详解】作出可行域，如图，

由图可知，当目标函数过点时，有最大值，
由可得，即,
所以.
故答案为：15
三、解答题
17．解不等式：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用对数函数的单调性解不等式即可，注意对数函数的定义域；
（2）分和两部分进行求解，然后取交集即可.
【详解】（1），
由对数函数的性质可得：，解得，
由于为递减函数，所以，解得，
综上：不等式的解集为.
（2）首先求解的解，转化可得，
所以或，解得或；
再解，转化可得，
所以，解得，
综上：的解集为.
18．在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D为BC上一点，且，求的面积.
【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得边长的值为，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函数基本关系可得；
(2)由题意可得，则，据此即可求得的面积.
【详解】（1）由余弦定理可得：
，
则，，
.
（2）由三角形面积公式可得，
则.
19．如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，．
(1)求证：//平面；
(2)若，求三棱锥的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据给定条件，证明四边形为平行四边形，再利用线面平行的判定推理作答.
（2）作出并证明为棱锥的高，利用三棱锥的体积公式直接可求体积.
【详解】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，
则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）过作垂直的延长线交于点，
因为是中点，所以，
在中，，
所以，
因为，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱锥的高为，
因为，所以，
所以，
又，
所以.
20．设为数列的前n项和，已知．
(1)求的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为，
当时，，即；
当时，，即，
当时，，所以，
化简得：，当时，，即，
当时都满足上式，所以．
（2）因为，所以，
，
两式相减得，
，
，即，．
21．某厂为比较甲乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率．甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为，．试验结果如下：
记，记的样本平均数为，样本方差为．
(1)求，；
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高（如果，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高）
【答案】(1)，；
(2)认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
【分析】（1）直接利用平均数公式即可计算出，再得到所有的值，最后计算出方差即可；
（2）根据公式计算出的值，和比较大小即可.
【详解】（1），
，
，
的值分别为: ，
故
（2）由（1）知:，，故有,
所以认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高.
22．设函数
(1)讨论的单调性；
(2)求在区间的最大值和最小值．
【答案】(1)函数在上单调递增；在上单调递减；
(2)在区间上的最大值为，最小值为.
【分析】（1）先求函数的定义域，解不等式求出函数的单调递增区间，解不等式求出函数的单调递减区间；（2）根据函数的单调性求出函数的最值.
【详解】（1）函数的定义域为，
又.
令，解得或；令，解得.
所以函数在上单调递增；在上单调递减；
（2）由（1）可得：函数在区间内单调递减，在内单调递增.
所以当时，函数取得最小值，
又，，
而，
所以当时，函数取得最大值为：.
即在区间上的最大值为，最小值为.
试验序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
伸缩率
545
533
551
522
575
544
541
568
596
548
伸缩率
536
527
543
530
560
533
522
550
576
536