吉林省白山市靖宇县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省白山市靖宇县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

九年级数学试题
一、选择题（共10个小题，每小题3分，共30分．）
1．我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺．比如下列图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．一元二次方程的两根分别为（ ）
A．B．C．，D．，
3．若关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（ ）
A．B．且C．且D．且
4．在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，在平面直角坐标系中，点B、C、E在y轴上，Rt△ABC 经过变换得到Rt△ODE，若点C的坐标为(0，1)，AC=2，则这种变换可以是（ ）
A．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3
B．△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移1
C．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移1
D．△ABC绕点C逆时针旋转90°，再向下平移3
6．连续四次抛掷一枚硬币都是正面朝上，则第五次抛掷正面朝上的是（ ）
A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．确定事件
7．如图，是△ABC的外接圆，，则∠A的大小为（ ）
A．30°B．60°C．80°D．120°
8．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE．若点D在线段BC的延长线上，则的大小为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
9．如图，一座石拱桥是圆弧形其跨度AB=24米，半径为13米，则拱高CD为（ ）
A．3米B．5米C．7米D．8米
10．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中结论正确的个数是( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
二、填空题：（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．把答案写在题中横线上）
11．若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是 ．
12．已知抛物线经过、、三点，则、、的大小关系是 （用“＜”连接）
13．正五边形的中心角的度数是 ．
14．将分别标有“学”“习”“强”“国”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“强国”的概率是 ．
15．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 ；
16．新冠病毒在无防护下传播速度很快，已知有1个人感染了病毒，经过两轮传染后共有625个人感染了病毒，若每轮传染中平均一个人传染m个人，则可列方程为 ；
17．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和6个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有 个；
18．如图，，，，，为的内切圆，与三边的切点分别为、、，则的面积为 （结果保留）．
三、解答题：（第19题5分×2=10分，第20题12分，共22分）
19．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)
(2)
20．如图，有一直径是的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC．
(1)求AB的长；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径．
四、解答题：（第21题12分，第22题12分，共24分）
21．现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展，据调查，某家快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快件总件数分别是5万件和万件，现假定该公司每月投递的快件总件数的增长率相同．
求该公司投递快件总件数的月平均增长率；
如果平均每人每月可投递快递万件，那么该公司现有的16名快递投递员能否完成今年6月份的快递投递任务？
22．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的三个顶点的坐标分别为O（0，0）A（5，3），B（0，5）．
（1）画出△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）∠OAA1＝ ；
（3）求旋转过程中，线段OB扫过的图形的面积．
五、解答题：（第23题12分，第24题12分，共24分）
23．为了做好防控H1N1甲型流感工作，我县卫生局准备从甲、乙、丙三位医生和A、B两名护士中选取一位医生和一名护士指导某乡镇预防H1N1甲型流感工作．
（1）若随机选一位医生和一名护士，用树状图（或列表法）表示所有可能出现的结果．
（2）求恰好选中医生甲和护士A的概率．
24．2020年是脱贫攻坚的收官司之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于50元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
(1)求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
(2)销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
(3)销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
六、解答题：（本题满分12分）
25．如图，已知与菱形ABCD的边BC相切于点E，与边AB相交于点F，连接EF．
(1)求证：CD是的切线；
(2)若的半径为2，，求图中阴影部分的面积．
七、解答题：（本题满分14分）
26．如图，抛物线经过、两点．
(1)求该抛物线的函数关系式；
(2)当时，x的取值范围是多少？
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△MOB是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
1．C
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．D
【分析】利用因式分解法解方程判断即可；
【详解】解：x2=2x，x2-2x=0，x（x-2）=0，解得：x=0或x=2，
故选： D．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解．
3．C
【分析】根据关于x的一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式列出不等式，再结合一元二次方程的定义即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，
解得，
又∵，
∴k的取值范围是且，
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，注意一元二次方程的二次项系数不等于 是解题的关键．
4．C
【分析】根据一次函数和二次函数的图象和性质，分别判断a，b的符号，利用排除法即可解答．
【详解】解：A、由一次函数图象可知，a＞0，b＞0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＜0，b＜0，不符合题意；
C、由一次函数图象可知，a＞0，b＜0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，符合题意；
D、由一次函数图象可知，a＜0，b=0，由二次函数图象可知，a＞0，b＜0，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的图象和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数的性质．
5．A
【详解】根据图形可以看出，△ABC绕点C顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE．
故选A．
【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形变化-平移．掌握旋转和平移的性质是解题关键．
6．C
【分析】根据事件发生的可能性大小进行判断即可；
【详解】解：第五次可能正面向上也可能正面向下，所以是随机事件；
故选： C．
【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小：必然事件是一定会发生的事件；不可能事件是一定不会发生的事件；随机事件是可能发生也可能不发生的事件．
7．B
【分析】在△BOC中利用三角形的内角和求得∠BOC的度数,然后再利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：
【点睛】本题考查了圆周角定理和三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
8．A
【分析】根据旋转的性质得AB=AD，由等腰三角形性质得∠B=∠ADB，由旋转角为120°得∠BAD=120°，由三角形内角和定理得∠B+∠ADB+∠BAD=180°，由此可求出∠B的度数．
【详解】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转120°，得到△ADE，
∴AB=AD，∠BAD=120°，
∴∠B=∠ADB，
∵∠B+∠ADB+∠BAD=180°，
∴∠B=∠ADB==30°．
故选A．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．解题的关键是理解并能够熟练运用旋转的性质．
9．D
【详解】试题解析：设O为圆心，连接OA、OD，
由题意可知：OD⊥AB，OA=13
由垂径定理可知：AD=AB=12，
∴由勾股定理可知：OD=5，
∴CD=OC﹣CD=8.
故选D.
10．B
【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
∵x=﹣=1，即b=﹣2a，而x=﹣1时，y=0，即a﹣b+c=0，
∴a+2a+c=0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．1
【分析】根据一元二次方程的定义求m的值即可.
【详解】∵是一元二次方程
解得
故答案为1
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，一定要注意二次项系数不能为0.
12．
【分析】把点的坐标分别代入抛物线解析式可用分别表示出、、的值，比较大小即可．
【详解】解：过、、三点，
，，，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
13．72°．
【分析】根据正多边形的圆心角定义可知：正n边形的圆中心角为，则代入求解即可．
【详解】解：正五边形的中心角为： ．
故答案为72°．
【点睛】此题考查了正多边形的中心角的知识．题目比较简单，注意熟记定义．
14．
【分析】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率．根据题意依次列举出可能出现的情况即可算出本题答案．
【详解】解：根据题意将情况一一列举出来，如图所示：
，
设：两次摸出的球上的汉字组成“强国”的事件为A，
共有12种等可能的结果，其中事件A发生有2种结果，
∴，
故答案为：．
15．或
【分析】根据函数的平移规律：左加右减；上加下减即可求解．
【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位，
∴平移后抛物线的解析式为
故答案为：
【点睛】本题考查了抛物线的平移变换，熟练掌握抛物线的平移规律是解题的关键．
16．1＋m＋m（1＋m）＝625
【分析】1个人第一轮感染了个人，此时第一轮后已经有人感染，第二轮人，每人又感染人，由此列出方程即可．
【详解】解：依题意得，，
故答案为：
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键．
17．2
【分析】设袋子中有个白球，利用黄球的数量除以袋子中白球与黄球的数量和等于黄球的频率0.75即可求解．
【详解】解：设袋子中有个白球，
依题意得
解得，
∴袋中白球有个，
故答案为：
【点睛】本题考查了利用频率来估计概率，用频率的集中趋势来估计概率，这个近似值就是这个事件的概率．
18．
【分析】本题主要考查了勾股定理，切线长定理，正方形的判定和性质，熟练掌握相关性质定理是解题的关键；连接，根据切线长定理得出，，进而得出四边形为正方形，设，则，，根据，列出方程，求出，即，最后根据圆的面积公式，即可求解．
【详解】解：连接，
∵为的内切圆，与三边的切点分别为、、，
∴，，
∵，，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
设，
∵，，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
即，
∴的面积，
故答案为：．
19．(1)或
(2)或
【分析】（1）利用公式法解方程；
（2）利用提公因式法解方程．
【详解】（1）解：解：， ，，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
或；
（2）解：原方程可化为：
或
或．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法、因式分解法、公式法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
20．(1)1
(2)
【分析】（1）连接BC，根据90°圆周角所对的弦是直径，可得，进而勾股定理求得的长，
（2）根据（1）可得，进而根据弧长公式求解即可
【详解】（1）连接BC，如图
∵，
∴BC为⊙O的直径，其，
∴；
（2）设所得圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得，
解得：．
【点睛】本题考查了90°圆周角所对的弦是直径，弧长公式，掌握以上知识是解题的关键．
21．该公司投递快件总件数的月平均增长率为该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务
【分析】设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x，根据该公司今年三月份与五月份完成投递的快件总件数，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
根据6月份的快件总件数月份的快递总件数增长率，可求出6月份的快件总件数，利用6月份可完成投递快件总件数每人每月可投递快件件数人数可求出6月份可完成投递快件总件数，二者比较后即可得出结论．
【详解】解：设该公司投递快件总件数的月平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，舍去．
答：该公司投递快件总件数的月平均增长率为．
月份快递总件数为：万件，
万件，
，
该公司现有的16名快递投递员不能完成今年6月份的快递投递任务．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据数量关系，列式计算．
22．（1）见解析；（2）45°；（3）
【分析】（1）根据旋转的性质先得到对应点的坐标，然后顺次连接即可；
（2）由旋转的性质可得OA=OA1，∠AOA1=90°，则三角形AOA1是等腰直角三角形，由此求解即可；
（3）如图所示，线段OB扫过的面积，即为圆心角是90度，半径是OB的长的扇形面积，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵△OAB绕原点O逆时针方向旋转90°后得到的△OA1B1，A（5，3），B（0，5）
∴A1（-3，5），B1（-5，0），
如图所示，即为所求；
（2）由旋转的性质可得OA=OA1，∠AOA1=90°，
∴三角形AOA1是等腰直角三角形，
∴∠OAA1=45°，
故答案为：45°；
（3）如图所示，线段OB扫过的面积，即为圆心角是90度，半径是OB的长的扇形面积，
∵B（0，5），
∴OB=5，
∴线段OB扫过的图形的面积
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，旋转作图，扇形面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
23．（1）树状图见解析（2）
【分析】（1）根据题意画出树状图；
（2）由树状图列举出医生等可能的情况数是3，护士可能的情况数是2的所有情况，看恰好选中医生甲和护士A的情况数占所有情况数的多少即可．
【详解】解：（1）用列表法表示所有可能结果如下：
（2）P（恰好选中医生甲和护士A）
∴恰好选中医生甲和护士A的概率是
【点睛】本题考查用列树状图的方法解决概率问题；得到恰好选中医生甲和护士A的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
24．(1)y＝－2x＋160
(2)销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元
(3)销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元
【分析】（1）设该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求解即可；
（2）根据每件的利润乘以销售量等于利润800元，列出方程并求解，再结合单价不低于成本价，且不高于50元销售，可得符合题意的答案；
（3）根据每件的利润乘以销售量等于利润得出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质及自变量的取值范围可得答案．
【详解】（1）解：设y＝kx＋b
把（30，100） ， （40，80）代入得
解得：k＝－2 b＝160
∴y＝－2x＋160
当x＝45，y＝70时也适合.所以y与x的一次函数关系式是y＝－2x＋160；
（2）解：根据题意，得
800＝（x－30）（－2x＋160）
整理，得
解得
∵30≤x≤50
＝70（不合题意，舍去）
∴销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）解：由题意，得w＝（x－30）（－2x＋160）
＝－2
＝＋1250
∵a＝－2＜，∴有最大值．∵≤≤50，
当＜55时，随的增大而增大，
∴当x＝50时，有最大值， 此时，w＝－2（50－55）＋1250＝1200
答：销售单价定为50元时，每天的利润最大，最大利润是1200元．
【点睛】本题考查了二次函数和一元二次方程在销售问题中的应用，明确成本利润问题的基本数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接AE，作AH⊥CD于H，根据切线和菱形的性质，求得△ABE≌△ADH，于是AH＝AE便可证明；
（2）由切线性质可得∠AEF=60°，因此△AEF是等边三角形，可得扇形EAF圆心角；再由△ABE的面积进而可求阴影面积；
【详解】（1）证明：连接AE，作AH⊥CD于H，
∵BC切⊙A于点E，∴AE⊥BC ，
∴∠AEB＝∠AHD＝90°，
在菱形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，
∴△ABE≌△ADH ∴AH＝AE，
又∵AE是半径，AH⊥CD ，
∴CD是⊙A的切线；
（2）解：∵∠BEF＝30°，由（1）知∠AEB＝90°，
∴∠AEF＝60°，
∵AE＝AF， ∴ △AFE是等边三角形，∴∠FAE＝60°，∠B＝30°，
又∵AE＝2 ， AB＝2AE＝4，∴，
∴ ，
又∵，
∴；
【点睛】本题考查了切线的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积，掌握相关性质是解题关键．
26．(1)y＝－x2＋2x＋3
(2)0≤x≤2
(3)存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【分析】（1）由待定系数法可直接进行求解；
（2）由（1）可知抛物线的对称轴为直线x＝1，则有C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），然后问题可求解；
（3）由（2）可知抛物线对称轴为x＝1，设M（1，t），则有BM2＝4＋t2，OM2＝1＋t2，OB2＝9，然后根据题意可分①当BM＝BO时，②当OM＝OB时，③当MB＝MO时，进而问题可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过B（3，0）、C（0，3）两点，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝－x2＋2x＋3；
（2）解：∵y＝－x2＋2x＋3＝－（x－1）2＋4，
∴对称轴为直线x＝1，
∴C（0，3）关于对称轴的对称点坐标为（2，3），
∴当y≥3时，x的取值范围是0≤x≤2．
（3）解：由（2）可知抛物线对称轴为x＝1，
设M（1，t），
∵B（3，0），O（0，0），
∴BM2＝4＋t2，OM2＝1＋t2，OB2＝9，
∵△MOB为等腰三角形，
∴有BM＝BO、OM＝OB和MB＝MO三种情况，
①当BM＝BO时，即4＋t2＝9，解得t＝±，
此时M点坐标为（1，）或（1，）；
②当OM＝OB时，即1＋t2＝9，解得，
此时M点坐标为（1，）或（1，），
③当MB＝MO时，即4＋t2＝1＋t2，解得t无实数根．
综上所述，存在满足条件的M点，其坐标为（1，）或（1，）或（1，）或（1，）．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70