2023-2024学年吉林省白山市抚松县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省白山市抚松县九年级（上）期末数学试卷（含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.在平面直角坐标系中，点(1,−2)关于原点对称的点的坐标是( )
A. (1,2)B. (−1,2)C. (2,−1)D. (2,1)
3.已知关于x的一元二次方程x2−2x−a=0有两个不相等的实数根，则( )
A. a<−1B. a≤−1C. a>−1D. a≥−1
4.如图，△ABC与△DEF是以O为位似中心的位似图形，且相似比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比为( )
A. 4：9
B. 3：5
C. 4：7
D. 2：3
5.如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的
( )
A. 三条边的垂直平分线的交点B. 三条角平分线的交点
C. 三条中线的交点D. 三条高的交点
6.如图，正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，其中点A与点E对应，点A的坐标为(−4,2)点E的坐标为(−1,1)，则这两个正方形位似中心的坐标为( )
A. (2,0)B. (1,1)C. (−2,0)D. (−1,0)
7.已知△ABC的三边长分别为1， 2， 5，△DEF的三边长分别 3， 6， 15，则△ABC与△DEF( )
A. 一定相似B. 一定不相似C. 不一定相似D. 无法判定是否相似
8.已知(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)是反比例函数y=4x的图象上的三个点，且x10，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y39.如图，是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=−12，且经过点(−2,0).有下列说法：①abc<0；②2b+c=0；③4a+2b+c<0；④若，(−32,y1)，(32,y2)是抛物线上的两点，则y1A. ①②③
B. ②③④
C. ②③
D. ③④
10.如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本题共8小题，共24分）
11.某市民政部门举行“即开式福利彩票”销售活动，发行彩票10万张(每张彩票2元)，在这些彩票中，设置如下奖项：
如果花2元钱购买1张彩票，那么所得奖金不多于100元的概率是______ ．
12.如图，AB为⊙O直径，AC为⊙O的弦，∠BAC=45°，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是______．
13.如图，将Rt△ABO绕点O顺时针旋转90°，在所给的直角坐标系中画出旋转后的Rt△A1B1O.
14.有一人患流感，经过两轮传染后共有81人患了流感，则每轮传染中平均一人传染了______人．
15.如图，已知点A在反比例函数y=kx(k<0)的图象上，AC⊥y轴于点C，点B在x轴的负半轴上，若S△ABC=3，则k的值为______．
16.如图，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转75°后得到△A1B1C，若∠ACB=25°，则∠BCA1的度数为______．
17.如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=100°，半径OA=3，则图中阴影部分的面积______．
18.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，CB=2 3，BD平分∠ABC，点P为线段BD上一动点．以点P为圆心、以1为半径作圆，当⊙P与△ACB的边相切时，BP的长为______．
三、解答题（本题共8小题，共96分）
19.现有四张正面分别标有数−1，1，2，3的不透明卡片，它们除数外其余完全相同，将它们背面朝上洗匀，并随机抽取一张．
(1)抽到偶数的概率为______；
(2)若将卡片背面朝上洗匀，第一次抽取的卡片不放回，再随机抽取一张，前后两次抽取的数分别记为m，n请用列表或画树状图的方法求点Q(m,n)在第二象限的概率．
20.如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An(n为1～12的整数)，过点A7作⊙O的切线交A1A11的延长线于点P．
(1)相邻两个整钟点间所夹的圆心角等于______度；
(2)通过计算比较直径和劣弧A7A11长度哪个更长；
(3)连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位关系？请说明理由．
(4)求切线长PA7的值．
21.如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a为9m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD.设AB的长为x米．
(1)若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？
(2)当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？
22.如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点D在反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象上，已知点C的坐标为(12,8)，平行四边形ABCD的面积为64．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)点E为BC与反比函数y=kx(k≠0,x>0)图象的交点，且BECE=35，求点E的坐标．
23.如图，AB是⊙O的直径，点C，D为⊙O上的两点且AD=CD，连接AC，BD交于点E，过点A作AF=AE交BD的延长线于点F．
(1)求证：AF为⊙O的切线；
(2)若AB=8，BC=2，求AF的长．
24.如图，△ABC和△DEF都是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，DE=DF，∠EDF=90°，点D为BC边中点．
(1)如图1，当点E在BC上，连接AF，则AF与CE有怎样的数量关系？请直接写出结论．
(2)如图2，将△DEF绕点D旋转，连接AF，且A，F，E三点恰好在一条直线上，EF交BC于点H，连接CE．
①(1)中的结论是否成立？若成立，请写出证明；若不成立，请说明理由．
②若CH=2，AH=4，请直接写出线段AC，AE的长．
25.某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克，设每千克涨价x元，销售量为y千克．
(1)求出y与x的函数关系；
(2)当涨价多少元时，该商场每天获得的利润最大？最大利润为多少元？
(3)现该商场要保证每天盈利1500元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
(4)为了在该批水果保质期内尽快销售完，且又要保证每天盈利不低于1500元，那么涨价多少元时可使销售量最大？最大销售量是多少？
26.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3交x轴于点A(−1,0)，B(3,0)，过点B的直线y=23x−2交抛物线于点C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线BC下方抛物线上的一个动点(P不与点B，C重合)，求△PBC面积的最大值；
(3)若点M在抛物线上，将线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，是否存在点M，使点N恰好落在直线BC上？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、图形既轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故C不符合题意；
D、图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．
2.【答案】B
【解析】解：点(1,−2)关于原点对称的点的坐标是(−1,2)，
故选：B．
平面直角坐标系中任意一点P(x,y)，关于原点的对称点是(−x,−y)，记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．
关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．
3.【答案】C
【解析】解：根据题意得Δ=(−2)2−4×(−a)>0，
解得a>−1．
故选：C．
利用根的判别式的意义得到Δ=(−2)2−4×(−a)>0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
4.【答案】A
【解析】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32=4：9．
故选：A．
先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似图形必须是相似形，对应点的连线都经过同一点；对应边平行或共线．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的内切圆与内心；熟练掌握三角形的内切圆的圆心性质是关键．
根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
【解答】
解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点，
故选：B．
6.【答案】A
【解析】解：连接AE并延长交x轴于H，则点H为位似中心，
∵点A的坐标为(−4,2)点E的坐标为(−1,1)，
∴OF=1，OB=4，EF=1，AB=2，
∵正方形ABCD和正方形EFOG是位似图形，
∴EF//AB，
∴△HEF∽△HAB，
∴HFHB=EFAB，即OH+1OH+4=12，
解得，OH=2，
∴点H的坐标为(2,0)，
故选：A．
连接AE并延长交x轴于H，根据相似三角形的性质列出比例式，求出OH，得到答案．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握位似图形的对应点连线的交点是位似中心、对应边平行是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：因为1 3= 2 6= 5 15= 33，
所以△ABC与△DEF一定相似．
故选：A．
求出三组对应边的比，看看是否相等即可作出判断．
本题考查了对相似三角形的判定的应用，注意：相似三角形的判定定理之一是：有三组对应边的比相等的两个三角形相似．
8.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=4x中，k=4>0，
∴此函数的图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵x10，
∴0>y1>y2、y3>0，
∴y2故选：B．
先根据反比例函数y=4x的系数4>0判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，再根据x1本题考查了由反比例函数的图象和性质确定y2，y1，y3的关系．注意是在每个象限内，y随x的增大而减小．不能直接根据x的大小关系确定y的大小关系．
9.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线对称轴在y轴左侧，
∴b<0，
∵抛物线与x轴交点在y轴上方，
∴c>0，
∴abc>0，①错误．
∵−b2a=−12，
∴b=a，
∵抛物线经过(−2,0)，对称轴为直线x=−12，
∴抛物线经过点(1,0)，
∴a+b+c=2b+c=0，②正确．
∵抛物线经过(1,0)且抛物线开口向下，
∴x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，③正确，
∵抛物线开口向下，−12−(−32)<32−(−12)，
∴y1>y2，④错误．
故选：C．
由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y轴交点位置可判断a，b，c的符号及a与b的关系，进而判断①②，由抛物线经过(1,0)且抛物线开口向下可得x=2时y<0，从而判断③，由抛物线对称轴为直线x=−12，开口向下，根据点(−32,y1)，(32,y2)与对称轴的距离可判断④．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
10.【答案】D
【解析】解：(1)如图1，
当点N在AD上运动时，
s=12AM⋅AN=12×t×3t=32t2．
(2)如图2，
当点N在CD上运动时，
s=12AM⋅AD=t×112=12t.
(3)如图3，
当点N在BC上运动时，
s=12AM⋅BN=12×t×(3−3t)=−32t2+32t
综上可得，能大致反映s与t的函数关系的图象是选项D中的图象．
故选：D．
根据题意，分3种情况：(1)当点N在AD上运动时；(2)当点N在CD上运动时；(3)当点N在BC上运动时；求出△AMN的面积s关于t的解析式，进而判断出能大致反映s与t的函数关系的图象是哪个即可．
此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图．
11.【答案】99935100000
【解析】解：所得的奖金不多于100元的概率=100000−(1+4+20+40)100000=99935100000．
故答案为99935100000．
先计算出奖金不多于100元的数量，然后根据概率公式计算奖金不多于100元的概率．
本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
12.【答案】14
【解析】解：∵∠BAC=45°，
∴∠BOC=90°．
∴小球落在阴影部分的概率为90360=14．
故答案为：14．
根据圆周角定理计算圆心角度数，再根据概率公式即可得出答案．
此题主要考查了几何概率问题，正确计算圆心角是解题的关键．．
13.【答案】解：如图，Rt△A1B1O即为所求．

【解析】根据旋转的性质即可画出图形．
本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
14.【答案】8
【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了x人，
依题意得1+x+x(1+x)=81，
即(x+1)2=81，
∴x=8或x=−10(不合题意，舍去)．
所以，每轮传染中平均一个人传染了8个人，
故答案为：8．
设每轮传染中平均每个人传染了x人，那么第一轮有(x+1)人患了流感，第二轮有x(x+1)人被传染，然后根据共有81人患了流感即可列出方程解题．
此题考查了一元二次方程的应用，与实际结合比较紧密，准确找到等量关系列出方程是解决问题的关键．此题要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
15.【答案】−6
【解析】解：连接OA，
∵AC⊥y轴，
∴AC/​/x轴，
∴S△AOC=S△ABC=3=12|k|，
又∵k<0，
∴k=−6．
故答案为：−6．
根据反比例函数系数k的几何意义求出三角形OAC的面积即可．
本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数的几何意义是解决问题的关键．
16.【答案】50°
【解析】解：根据旋转的定义可知旋转角∠ACA1=75°，
∴∠BCA1=∠ACA1−∠ACB=75°−25°=50°，
故答案为：50°．
由题意知旋转角∠ACA1=75°，则根据∠BCA1=∠ACA1−∠ACB即可．
本题主要考查了旋转的定义，解题的关键是找到旋转角，以及旋转后的不变量．
17.【答案】4π
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠B=180°，
∵∠ADC=100°，
∴∠B=80°，
∴∠AOC=2∠B=160°，
∴图中阴影部分的面积S=160π×32360=4π，
故答案为：4π．
根据圆内接四边形的性质得出∠ADC+∠B=180°，求出∠B=80°，根据圆周角定理求出∠AOC=2∠B=160°，再根据扇形的面积公式求出答案即可．
本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质和扇形的面积公式，能求出圆心角∠AOC的度数是解此题的关键，注意：半径为r，圆心角为n°的扇形的面积为nπr2360．
18.【答案】2或4−23 3
【解析】解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=30°，
∵BC=2 3，
∴DC= 33BC=2，
∴BD=2DC=4，
①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB=90°，
∵PE=1，∠PBE=30°，
∴PB=2，
∵BD平分∠ABC，
过点P作PF⊥AB，
∴PE=PF，
∴此时⊙P与AB相切；
②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，
∴PE/​/BC，
∴∠DPE=30°，
∵PE=1，
∴DE= 33，
∴PD=2DE=2 33，
∴PB=BD−PD=4−2 33，
综合以上可得，当⊙P与△ACB的边相切时，BP长为2或4−2 33．
故答案为：2或4−23 3．
由直角三角形的性质求出BD=4，①若⊙P与BC相切于点E，连接PE，则∠PEB=90°，由直角三角形的性质可求出PB=2，由角平分线的性质得出此时圆P与AB相切；②若⊙P与AC相切于点E，连接PE，则PE⊥AC，由直角三角形的性质求出PD的长，则可求出答案．
本题考查了切线的判定与性质，直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
19.【答案】14
【解析】解：(1)抽到偶数的概率为14，
故答案为：14；
(2)画树状图如图所示：
由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中Q(m,n)位于第二象限(记为事件A)的情况有3种，
∴P(A)=312=14．
(1)直接由概率公式求解即可；
(2)画树状图，由树状图可知，所有等可能的情况共有12种，其中Q(m,n)位于第二象限(记为事件A)的情况有3种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是用树状图法求概率以及点的坐标．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】30
【解析】解：(1)360°12=30°，
故答案为：30；
(2)如图，连接，OA7，OA11由(1)得：劣弧A7A11所对应的圆心角∠A7OA11=30°×4=120°，
∴劣弧A7A11的长l=120π×6108=4π，
∵4π>12，
∴劣弧A7A11的长度更长．
(3)垂直．理由如下：
连接，A1A7，A7A11，
∵∠A1OA7=30°×6=180°，
∴A1A7是⊙O的直径，
∴∠A1A11A7=90°，即A1A11⊥A11A7，
∴A7A11和PA1相互垂直．
(4)如图，∵PA7是⊙O的切线，
∴∠∠PA7O=90°，
由(1)知，∠A7OA11=120°，
∴∠A11A7O=∠A7A11O=30°，
∴∠PA7A1=60°(或∠A11OA1=∠A11A1A7=60°)，
∴∠P=30°，
在Rt△PA7A11中，PA1=2A1A7=24．
PA7= A1P2−A1A22= 242−122=12 3．
(1)利用正多边形的性质求解即可；
(2)利用弧长公式求解即可；
(3)利用圆周角定理判断即可；
(4)利用勾股定理求解即可．
本题考查正多边形与圆，切线的性质，圆周角定理，弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握正多边形与圆的关系，属于中考常考题型．
21.【答案】解(1)设AB=x米，
根据题意得：x(24−3x)=36，
解得：x1=2，x2=6，
又∵24−3x≤9，
∴x≥5，
∴x1=2舍去，
∴x=6，
答：AB的长为6米；
(2)根据题意得：y=x(24−3x)，
∴y=−3x2+24=−3(x−4)2+48，
∵a=−3<0，且x≥5在对称轴直线x=4右侧，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=5时，y有最大值，y最大值=−3×(5−4)+48=45，
答：当AB的长为5米时，长方形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45平方米．
【解析】(1)设AB为x米，则BC为(24−3x)，利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长．
(2)根据题意得y=x(24−3x)，再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积．
主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆．
22.【答案】解：(1)过点D作DF⊥x轴，垂足为F，

∵平行四边形ABCD的边AB在x轴上，点C的坐标为(12、8)，
∴DF=8，
∵平行四边形ACBD的面积为64，
∴DF⋅DC=64，
∴DC=8，
∴OF=4，
∴D(4,8)，
把D(4,8)代入y=kx中可得：
8=k4，
∴k=32，
∴反比例函数的解析式为：y=32x；
(2)过点E作NM//DF，分别交DC、AB于N、M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB/​/CD，
∴MN=DF=8，
∵AB∕∕CD，
∴∠C=∠EBM，
∵∠NEC=∠MEB，
∴△NEC∽△MEB，
∴MENE=BECE=35，
∴ME=3x，NE=5x，
∴ME+NE=3x+5x=8，
∴x=1，
∴ME=3，
把y=3代入y=32x中得：
3=32x，
∴x=323，
∴E(323,3)．
【解析】(1)根据点C的坐标为(12,8)，平行四边形ABCD的面积为64，想到过点D作DF⊥x轴，垂足为F，即可求出OF的长，从而求出点D的坐标即可解答；
(2)根据BECE=35，想到构造8字型相似三角形，所以过点E作NM//DF，分别交DC、AB于N、M，从而求出点E的纵坐标，最后再代入函数解析式求出点E的横坐标即可．
本题考查了平行四边形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：如图，连接AD，BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90，
∴AD⊥EF，
∵AF=AE，
∴∠FAD=∠CAD，
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠CBD=∠FAD，
∵AD=CD，
∴∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠FAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠DAB+∠ABD=90°，
∴∠DAB+∠FAD=∠FAB=90°，
∴AB⊥AF，
∵OA是半径，
∴AF为⊙O的切线；
(2)解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
在Rt△ACB中，AC= AB2−BC2= 82−22=2 15，
∵AF为⊙O的切线，
∴∠FAB=∠ACB=90°，
∵∠ABF=∠CBE，
∴△ABF∽△CBE，
∴AFCE=ABCB=4，
∴AF=4CE，
∴AF=AE=4CE=45AC=8 155．
【解析】(1)连接AD，利用AB是⊙O直径，即可证明AF是⊙O的切线；
(2)根据AB是⊙O的直径，利用勾股定理求得AC，利用△ABF∽△CBE，得到AF=4CE，进而即可求得AF．
本题考查切线的性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能根据切线的判定与性质和圆周角定理得到90°角．
24.【答案】解：(1)AF=CE，理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边中点．
∴AD⊥CD，AD=CD，
∵△DEF是等腰直角三角形，DE=DF，∠EDF=90°，
∴AD−DF=CD−DE，即AF=CE；
(2)①成立，理由如下：
如图，连接AD，
∵AB=AC，∠BAC=90°，点D为BC边中点，
∴AD⊥BC，AD=BD=CD．
∴∠ADC=90°，
由旋转不变性得DE=DF，∠EDF=90°，
∴∠ADC−∠FDH=∠EDF−∠FDH，
即∠ADF=∠CDE，
∴△ADF≌△CDE(SAS)，
∴AF=CE；
②∵∠ACD=∠AED=45°，∠AHC=∠BHE，
∴△AHC∽△DHE，
∴HEHD=HCHA=24=12，
设HE=x，DH=2x，则AD=DC=2x+2，
在Rt△ADH中，AD2+DH2=AH2，即(2x+2)2+(2x)2=42，
解得x1=−1+ 72，x2 =−1− 72(舍去)，
∴AE=x+4=7+ 72，
∴AC=2DC= 2+ 14．
【解析】(1)由等腰直角三角形的性质结合图形可得AD−DF=CD−DE，即AF=CE；
(2)①连接AD，证明△ADF≌△CDE(SAS)，即可求解；
②证明△AHC∽△DHE，由相似的性质可得HEHD=HCHA=24=12，设HE=x，DH=2x，则AD=DC=2x+2，在Rt△ADH中，由勾股定理得(2x+2)2+(2x)2=42，求出x的值即可求AE、AC的长．
本题考查几何变换，熟练掌握几何图形的旋转变换特点，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质是解题的关键．
25.【答案】解：(1)根据题意得：y=200−10x；
(2)设该商场每天获得的利润为W元，
∴W=(5+x)(200−10x)
=−10x2+150x+1000
=−10(x−152)2+1562.5，
∴当涨价7.5元时，该商场每天获得的利润最大，最大利润为1562.5元；
(3)根据题意得：(5+x)(200−10x)=1500，即x2−15x+50=0，
解得：x1=10，x2=5，
∵要顾客得到实惠，
∴x1=10舍去，
∴x=5，
答：每千克应涨价5元；
(4)根据已知得：(5+x)(200−10x)≥1500，即−10x2+150x+1000≥1500，
∵W=−10x2+150x+1000，a=−10时开口向下，
∴5≤x≤10，
∵y=−10x+200，k=−10<0，
∴y随x的增大而减少，
∴涨价5元时可使销售量最大，此时y最大=−10×5+200=150，
答：涨价5元时可使销售量最大，最大销售量是150千克．
【解析】(1)根据每千克涨价1元，销售量将减少10千克直接可得y与x的函数关系；
(2)根据“总利润=每千克利润×销售量”列出函数解析式，配方成顶点式后利用二次函数的性质求解可得；
(3)根据题意列出一元二次方程，然后求出其解，最后根据“要让顾客得到实惠”可得到答案；
(4)根据已知得：(5+x)(200−10x)≥1500，由二次函数性质可得5≤x≤10，而y=−10x+200，根据一次函数性质即可得到答案．
本题考查二次函数及一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列出方程和函数关系式，并能熟练运用一次函数及二次函数的性质．
26.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx−3 中，得：
a−b−3=09a+3b−3=0，
解得：a=1b=−2，
∴该抛物线表达式为y=x2−2x−3；
(2)如图1，过点P作PD/​/y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，
设点P(m,m2−2m−3)，则点E (m,23m−2)，
∴PE=PD–DE=−m2+2m+3−(−23m+2)=−m2+83m+1，
联立方程组：y=x2−2x−3y=23x−2，
解得：x1=3y1=0，x2=−13y2=−209，
∵点B坐标为(3,0)，
∴点C的坐标为(−13,−209)，
∴BD+CF=3+|−13|=103，
∴S△PBC=S△PEB+S△PEC
=12PE⋅BD+12PE⋅CF
=12PE(BD+CF)
=12(−m2+83m+1)⋅103
=−53(m−43)2+12527，(其中−13∵−53<0，
∴这个二次函数有最大值．
当m=43时，S△PBC的最大值为12527；
(3)①如图2，设M(t,t2−2t−3)，N(n,23n−2)，
作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM=∠OHN=90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM=ON，∠MON=90°，
∵∠GOH=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
∠OGM=∠OHN=90°∠MOG=∠NOHOM=ON，
∴△OGM≌△OHN(AAS)，
∴GM=NH，OG=OH，
∴23n−2=tn=−t2+2t+3，
解得：t1=0n1=3，t2=12n2=154，
M1(0,−3)，M2 (12,−154)，
②如图3，设M(t,t2−2t−3)，N(n,23n−2)，
作MG⊥x轴于点G，NH⊥x轴于H，
∴∠OGM=∠OHN=90°，
∵线段OM绕点O旋转90°，得到线段ON，
∴OM=ON，∠MON=90°，
∵∠GOM+∠OMG=90°，
∴∠OMG=∠NOH，
在△OGM与△OHN中，
∠OGM=∠OHN=90°∠OMG=∠NOHOM=ON,
∴△OGM≌△NHO(AAS)，
∴GM=OH，OG=NH，
∴t=−23n+2−t2+2t+3=−n，
解得：t1=1− 974，t2=1+ 974，
∴M3(1− 974,21+3 978)，M4(1+ 974,21−3 978)；
综上所述，点M的坐标为M1(0,−3)，M2 (12,−154)，M3(1− 974,21+3 978)，M4(1+ 974,21−3 978)．
【解析】(1)利用待定系数法即可求得答案；
(2)如图1，过点P作PD/​/y轴，交x轴于点D，交BC于点E，作CF⊥PD于点F，连接PB，PC，设点P(m,m2−2m−3)，则点E (m,23m−2)，可得出PE=−m2+83m+1，再通过解方程组求出点C的坐标为(−13,−209)，利用三角形面积公式和二次函数性质即可得出答案；
(3)设M(t,t2−2t−3)，N(n,23n−2)，作MG⊥y轴于点G，NH⊥x轴于H，证明△OGM与△OHN全等，由全等三角形对应边相等建立方程组求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、几何图形的旋转、全等三角形的判定与性质及一元二次方程等知识点，运用数形结合思想、分类讨论思想及熟练掌握全等三角形判定和性质及二次函数性质是解题的关键．奖金(元)
10000
5000
1000
500
100
50
数量(个)
1
4
20
40
100
200