2023-2024学年吉林省辽源市龙山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年吉林省辽源市龙山区八年级（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.中华姓氏源于上古，每个姓氏都有自己的图腾.下列姓氏图腾是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.如图，五边形ABCDE的内角都相等，且∠ADE=∠DAE，∠BDC=∠DBC，则∠ADB=( )
A. 18∘
B. 36∘
C. 72∘
D. 108∘
3.下列计算中，正确的是( )
A. (−x)8÷(−x)3=x5B. (a+b)5÷(a+b)=a4+b4
C. (x−1)6÷(x−1)2=(x−1)3D. −a5÷(−a)3=a2
4.如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是( )
A. AD=CBB. ∠A=∠CC. BD=DBD. AB=CD
5.下列分式变形从左到右一定成立的是( )
A. ab=a2b2B. ab=acbcC. acbc=abD. ab=a+mb+m
6.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35∘，则∠ADB的度数为( )
A. 25∘
B. 60∘
C. 85∘
D. 95∘
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.分解因式：a2+5a=______.
8.如图，△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，CD=2，则AC=______.
9.已知点P(2a+1,2a−3)关于x轴的对称点在第一象限，则a的取值范围是______.
10.如图，在△ACD中，∠CAD=90∘，AC=6，AD=8，AB//CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，当AB+CE=CD时，则图中阴影部分的面积为______.
11.已知a2+b2=13，ab=6，则a+b的值是______.
12.如图，在△ABC中，ED//BC，∠ABC和∠ACB的平分线分别交ED于点G，F.若FG=2，ED=4，则EB+DC的值为______.
13.当x=______时，分式x−1x+1的值为0.
14.阅读理解)我们把由4个数a，b，c，d组成的形如abcd的式子称为二阶行列式.规定它的运算法则为abcd=ad−bc，若x−2,x+1x+3,x−2=13，则x=______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解分式方程：2−xx−3+13−x=1.
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：5×(−2)+π0+(−1)2023−23.
17.(本小题5分)
已知，如图，在△AOB中，点C在OA上，点E、D在OB上，且AB=AD，CD//AB，CE//AD，问：△CDE是否为等腰三角形？为什么？
18.(本小题5分)
如图，已知AB=AD，AC=AE，∠CAE=∠BAD.则∠B=∠D吗？请说明理由．
19.(本小题7分)
先化简(a2+b2a2−b2−a−ba+b)÷2ab(a−b)(a+b)2，然后请取一组你喜欢的a，b的值代入求值．
20.(本小题7分)
2023年第31届成都大运会的吉祥物“蓉宝”以其呆萌可爱，英姿飒爽的形象，深受大家喜欢.某商场第一次用3600元购进一批“蓉宝”玩具，很快售完；该商场第二次购进该“蓉宝”玩具时，进价提高了20%，同样用3600元购进的数量比第一次少10件，求第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价是多少钱？
21.(本小题7分)
已知|a+12|+(b−3)2=0，求式子[(2a+b)2+(2a+b)(b−2a)−6b]÷2b的值.
22.(本小题7分)
已知：在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB.
(1)如图1，若∠ABC=60∘，∠ACB=40∘，求∠BDC的度数.
(2)如图2，连接AD，作DE⊥AB，DE=1，AC=4，求△ADC的面积.
23.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，A(1,2)，B(3,1)，C(−2,−1).
(1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1(点A1，B1，C1分别是点A，B，C的对应点).直接写出点A1，B1，C1的坐标.
(2)求△ABC的面积.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CE⊥AB于点E，AD=AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：(1)DF//BC；
(2)FG=FE.
25.(本小题10分)
两个边长分别为a和b的正方形(12a(1)用含a，b的代数式分别表示S1，S2；
(2)若a+b=15，ab=5，求S1+S2的值；
(3)当S1+S2=64时，求出图3中阴影部分的面积S3.
26.(本小题10分)
如图1，△ABC的边BC在直线I上，AC⊥BC，且AC=BC；△EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF=FP.
(1)示例：在图1中，直接写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；
(2)将△EFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，直接写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系；
(3)将△EFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ.你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出推理说明；若不成立，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A.该图是轴对称图形，故A正确，符合题意；
B.该图不是轴对称图形，故B错误，不符合题意；
C.该图不是轴对称图形，故C错误，不符合题意；
D.该图不是轴对称图形，故D错误，不符合题意．
故选：A.
根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2.【答案】B
【解析】解：∵五边形ABCDE的内角都相等，
∴∠BAE=∠ABC=∠EDC=∠C=∠E=(5−2)×180∘÷5=108∘，
∴∠ADE=∠DAE=(180∘−108∘)÷2=36∘，
∴∠DAB=∠BE−∠DAE=72∘，
∠BDC=∠DBC=72∘，
∴∠ADB=180∘−∠DAB−∠DBA=36∘.
故选：B.
由五边形ABCDE的内角都相等，先求出五边形的每个内角度数，再求出∠ADE=∠DAE=∠BDC=∠DBC=36∘，从而求出∠ADB=108∘−72∘=36∘.
本题主要考查了正五边形的内角和以及正五边形的有关性质．解此题的关键是能够求出∠ADE=∠DAE=∠BDC=∠DBC=36∘，和正五边形的每个内角是108度．
3.【答案】D
【解析】解：A、(−x)8÷(−x)3=(−x)5=−x5，故本选项错误；
B、(a+b)5÷(a+b)=(a+b)4，故本选项错误；
C、(x−1)6÷(x−1)2=(x−1)4，故本选项错误；
D、−a5÷(−a)3=a2，故本选项正确；
故选：D.
根据整式的除法法则计算：单项式除以单项式分为三个步骤：①系数相除；②同底数幂相除；③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式．
本题考查了整式的除法法则，解题时牢记法则是关键，此题比较简单，但计算时一定要细心．
4.【答案】A
【解析】解：
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABD=∠CDB=90∘，
A.AD=CB，BD=DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；
B.∠A=∠C，∠ABD=∠CDB，BD=DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
C.∠ABD=∠CDB，BD=DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项不符合题意；
D.AB=CD，∠ABD=∠CDB，BD=DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；
故选：A.
根据两直角三角形全等的判定定理逐个判断即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
5.【答案】C
【解析】解：A.ab≠a2b2，故本选项不符合题意；
B.当c≠0时ab=acbc才成立，故本选项不符合题意；
C.acbc=ab，故本选项符合题意；
D.ab=a+mb+m不成立，例如12≠1+12+1，故该选项错误；
故选：C.
根据分式的基本性质分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，解决即可．
本题考查分式的基本性质，解决本题的关键是熟练掌握分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
6.【答案】D
【解析】解：∠ADB=∠DBC+∠C=35∘+60∘=95∘.
故选：D.
等边三角形的三个角都为60∘，三角形的外角等于不相邻的两个内角的和．
本题考查等边三角形的性质，等边三角形的三个角都为60∘，和三角形的外角的性质．
7.【答案】a(a+5)
【解析】解：∵a2+5a公有因式为a，
∴原式=a(a+5)，
故答案为：a(a+5).
由提公因式am+bm=m(a+b)，可直接得出结论．
本题考查了因式分解的提公因式，能快速找出公有因式是解题的关键．
8.【答案】6
【解析】解：连接BD
∵DE垂直平分AB
∴AD=BD
∴∠DBA=∠A=30∘
∴∠CBD=30∘
∴BD=2CD=4
∴AC=CD+AD=CD+BD=2+4=6.
答案6.
先作辅助线，然后利用垂直平分线的性质求出AD=BD，最后解直角三角形计算．
此题主要考查线段的垂直平分线的性质和直角三角形的性质．
9.【答案】−12【解析】解：∵点P(2a+1,2a−3)关于x轴的对称点在第一象限，
∴点P(2a+1,2a−3)在第四象限，
∴2a+1>02a−3<0，
解得：−12故答案为：−12首先根据题意可得P(2a+1,2a−3)在第四象限，再根据第四象限内点的坐标符号可得点P的横坐标为正，纵坐标为负，再列出不等式组，求解集即可．
此题主要考查了坐标轴对称的点的性质，点所在象限的符号特征，不等式组的解法，关键是确定出P点所在象限．
10.【答案】24
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠BAD=∠D，
∵AB+CE=CD，CE+DE=CD，
∴AB=DE，
在△BAF和△EDF中，
∠BFA=∠EFD∠BAD=∠DAB=DE，
∴△BAF≌△EDF(AAS)，
∴S△BAF=S△EDF，
∵AC=6，AD=8，
∴图中阴影部分面积=S四边形ACEF+S△BAF
=S△ACD
=12⋅AC⋅AD
=12×6×8
=24，
故答案为：24.
证明△BAF≌△EDF(AAS)，则S△BAF=S△EDF，利用割补法可得阴影部分面积．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形的面积计算方法，熟练掌握全等三角形的判定是解决问题的关键．
11.【答案】±5
【解析】解：∵a2+b2=13，ab=6，
∴(a+b)2=a2+b2+2ab，
=13+12，
=25，
∴a+b=±5.
先求出(a+b)的平方，然后把a2+b2=13，ab=6代入求解，最后再开平方即可．
本题考查了完全平方公式，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式，完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.
12.【答案】6
【解析】解：∵BG平分∠EBC，
∴∠EBG=∠GBC，
∵ED//BC，
∴∠EGB=∠GBC，
∴∠EBG=∠EGB，
∴EB=EG，
同理可得DF=DC，
∴EB+DC=EG+DF=ED+FG=4+2=6，
故答案为：6.
由角平分线与平行线易得∠EBG=∠EGB，从而得到EB=EG，同理可得DF=DC，再根据EB+DC=EG+DF=ED+FG即可得答案．
本题考角平分线与平行线，掌握角平分线加平行线，可得等腰三角形这一几何模型是解题的关键．
13.【答案】1
【解析】解：根据题意，得
x−1=0，且x+1≠0，
解得x=1.
故答案是：1.
分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0.
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：(1)分子为0；(2)分母不为0.这两个条件缺一不可．
14.【答案】−1.5
【解析】解：∵abcd=ad−bc，x−2,x+1x+3,x−2=13，
∴(x−2)(x−2)−(x+1)(x+3)=13，
化简，得：−8x=12，
解得x=−1.5，
故答案为：−1.5.
根据abcd=ad−bc，x−2,x+1x+3,x−2=13，可以列出方程(x−2)(x−2)−(x+1)(x+3)=13，然后求解即可．
本题考查新定义，解方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
15.【答案】解：去分母得：2−x−1=x−3，
移项合并得：2x=4，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：5×(−2)+π0+(−1)2023−23
=−10+1+(−1)−8
=−18.
【解析】根据零次幂，有理数的乘方，负整指数幂计算即可．
本题考查了零次幂，有理数的乘方，掌握零次幂，有理数的乘方运算法则是解题的关键．
17.【答案】解：是等腰三角形．
∵CD//AB，
∴∠CDE=∠B，
又∵CE//AD，
∴∠CED=∠ADB，
又∵AB=AD，
∴∠B=∠ADB，
∴∠CDE=∠CED，
∴△CDE是等腰三角形．
【解析】欲证△CDE是否是等腰三角形，利用已知CD//AB，CE//AD，证明三角形中两内角是否相等来证是否等腰．
本题考查了等腰三角形的判定及平行线的性质；角的等量代换的运用是正确解答本题的关键．
18.【答案】解：∠B=∠D，理由如下：
∵∠CAE=∠BAD，
∴∠CAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，
∴∠BAC=∠DAE，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)，
∴∠B=∠D.
【解析】由∠CAE=∠BAD可得：∠BAC=∠DAE，再结合已知条件，利用SAS可判断△ABC≌△ADE，从而得结果．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据∠CAE=∠BAD得到∠BAC=∠DAE.
19.【答案】解：(a2+b2a2−b2−a−ba+b)÷2ab(a−b)(a+b)2
=a2+b2−(a−b)2(a+b)(a−b)×(a−b)(a+b)22ab
=2ab(a+b)(a−b)×(a−b)(a+b)22ab
=a+b，
当a=1，b=2时，
原式=1+2=3.
【解析】先化简题目中的式子，然后取a、b的值，只要使得原分式有意义即可．
本题考查分式的化简求值，解题的关键是明确分式的化简求值方法．
20.【答案】解：设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为(1+20%)x元．
依题意得3600x−3600(1+20%)x=10，
解得：x=60，
经检验，x=60是原方程的解，且符合题意，
答：第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为60元．
【解析】设第一次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为x元，则第二次购进的“蓉宝”玩具每件的进价为(1+20%)x元，根据“同样用了3600元，购进的数量比第一次少了10件”列出方程，即可求解
本题主要考查了分式方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
21.【答案】解：由题意得，a+12=0，b−3=0，
解得，a=−12，b=3，
[(2a+b)2+(2a+b)(b−2a)−6b]÷2b
=(4a2+4ab+b2+b2−4a2−6b)÷2b
=(4ab+2b2−6b)÷2b
=2a+b−3
=−1+3−3
=−1.
【解析】利用非负数的性质求出a、b，根据整式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可．
本题考查的是整式的化简求值、非负数的性质，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=12∠ABC=12×60∘=30∘，
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB=12∠ACB=12×40∘=20∘，
∴∠BDC=180∘−∠DBC−∠DCB
=180∘−30∘−20∘
=130∘；
(2)作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，
∴DH=DE=2，
∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，
∴DF=DH=1，
∴△ADC的面积=12DF⋅AC=12×1×4=2.
【解析】(1)先根据角平分线的定义得到∠DBC=30∘，∠DCB=20∘，然后根据三角形内角和计算∠BDC的度数；
(2)作DF⊥AC于F，DH⊥BC于H，如图2，根据角平分线的性质得到DH=DE=DF=2，然后根据三角形面积公式计算△ADC的面积．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
23.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
点A1(1,−2)，B1(3,−1)，C1(−2,1).
(2)△ABC的面积为12×(2+5)×3−12×5×2−12×2×1=92.
【解析】(1)根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
(2)利用割补法求三角形的面积即可．
本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAF.
在△ACF和△ADF中，
∵AC=AD∠CAF=∠DAFAF=AF，
∴△ACF≌△ADF(SAS).
∴∠ACF=∠ADF.
∵∠ACB=90∘，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE=90∘，∠CAE+∠B=90∘，
∴∠ACF=∠B，
∴∠ADF=∠B.
∴DF//BC.
②证明：∵DF//BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC.
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG=FE.
【解析】(1)根据已知，利用SAS判定△ACF≌△ADF，从而得到对应角相等，再根据同位角相等两直线平行，得到DF//BC；
(2)已知DF//BC，AC⊥BC，则GF⊥AC，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到FG=EF.
本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
25.【答案】解：(1)由图可得，S1=a2−b2，
S2=2b2−ab；
(2)∵S1+S2
=a2−b2+2b2−ab
=a2+b2−ab
=(a+b)2−3ab，
∴当a+b=15，ab=5时，
S1+S2=225−3×5=210；
(3)由图可得，
S3=a2+b2−12b(a+b)−12a2
=12(a2+b2−ab)
=12(S1+S2)，
∴当S1+S2=64时，
S3=12(S1+S2)=12×64=32.
【解析】此题考查了整式运算的几何意义，关键是能列出整式或算式表示几何图形的面积．
(1)根据正方形的面积可得；
(2)先计算S1+S2,再变形为(a+b)2−3ab，代入计算可得；
(3)由图可得S3=12(S1+S2)，代入计算可得．
26.【答案】解：(1)AP=AB，AP⊥AB，理由如下：
∵AC⊥BC，且AC=BC，边EF与边AC重合，且EF=FP.
∴△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，
∴∠BAC=∠CAP=45∘，AB=AP，
∴∠BAP=90∘，
∴AP=AB，AP⊥AB；
(2)BQ与AP所满足的数量关系是AP=BQ，位置关系是AP⊥BQ，理由如下：
如图2，延长BQ交AP于G，
由(1)知，∠EPF=45∘，∠ACP=90∘，
∴∠PQC=45∘=∠QPC，
∴CQ=CP，
在△BCQ和△ACP中，
BC=AC∠BCQ=∠ACPCQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP(SAS)，
∴AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，
∵∠ACB=90∘，
∴∠CBQ+∠BQC=90∘，
∵∠CQB=∠AQG，
∴∠AQG+∠PAC=90∘，
∴∠AGQ=180∘−90∘=90∘，
∴AP⊥BQ；
(3)成立，理由如下：
∵∠EPF=45∘，
∴∠CPQ=45∘，
又∵AC⊥BC，
∴∠CQP=∠CPQ=45∘，
∴CQ=CP，
在△BCQ和△ACP中，
BC=AC∠BCQ=∠ACPCQ=CP，
∴△BCQ≌△ACP(SAS)，
∴BQ=AP，
如图3，延长QB交AP于点N，
则∠PBN=∠CBQ，
∵Rt△BCQ≌Rt△ACP，
∴∠BQC=∠APC，
在Rt△BCQ中，∠BQC+∠CBQ=90∘，
∴∠APC+∠PBN=90∘，
∴∠PNB=90∘，
∴QB⊥AP.
【解析】(1)由题意可得△ABC与△EFP是全等的等腰直角三角形，可得∠BAC=∠CAP=45∘，AB=AP，可得AP=AB，AP⊥AB；
(2)求出CQ=CP，根据SAS证△BCQ≌△ACP，推出AP=BQ，∠CBQ=∠PAC，根据三角形内角和定理求出∠CBQ+∠BQC=90∘，推出∠PAC+∠AQG=90∘，求出∠AGQ=90∘即可；
(3)证明相等时思路同(1)，证明垂直时，延长QB交AP于点N，则∠PBN=∠CBQ，借助全等得到的角相等，得出∠APC+∠PBN=90∘，进一步可得出结论．
本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形性质和全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理等知识点，主要考查了学生的推理能力和猜想能力，题目比较好．