2023-2024学年吉林省四平市铁西区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年吉林省四平市铁西区八年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是( )
A. 笛卡尔爱心曲线B. 蝴蝶曲线
C. 费马螺线曲线D. 科赫曲线
2.下列各式中计算结果等于2x6的是( )
A. x3+x3B. (2x3)2C. 2x3⋅x2D. 2x7÷x
3.若分式1x+2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x>−2B. x<−2C. x=−2D. x≠−2
4.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD( )
A. ∠B=∠CB. BE=CDC. BD=CED. AD=AE
5.已知4y2+my+9是完全平方式，则m为( )
A. ±12B. ±6C. 6D. 12
6.已知△ABC(ACA. B.
C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
7.已知某新型感冒病毒的直径约为0.000000823米，将0.000000823用科学记数法表示为______．
8.已知a，b，c是△ABC的三边长，满足|a−7|+(b−2)2=0，c为奇数，则c=______．
9.等腰三角形的两边长分别是3和6，则它的周长为______ ．
10.已知关于x的方程3x−mx−2=1无解，则m=______．
11.已知x+y=5，xy=6，则x2+y2=______．
12.下列各式：①−x2−y2；②−14a2b2+1；③a2+ab+b2；④14−mn+m2n2，能用公式法分解因式的是______ (填序号)．
13.如图，点D在BC上，DE⊥AB于点E，DF⊥BC交AC于点F，BD=CF，BE=CD.若∠AFD=145°，则∠EDF=______．
14.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC与点E，∠A=∠ABE.若AC=7，BC=4，则BD的长为______．
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：2x+xx+3=1．
四、解答题：本题共11小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：2x(x−4)−(2x−3)(x+2)．
17.(本小题5分)
因式分解：9a2(x−y)+4b2(y−x)
18.(本小题5分)
解方程：2x+1+3x−1=6x2−1．
19.(本小题7分)
先化简(1−2x−1)·x2−xx2−6x+9，再从1，2，3中选取一个适当的数代入求值．
20.(本小题7分)
若一个多边形的内角和的14比它的外角和多90°，那么这个多边形的边数是多少？
21.(本小题7分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的三幅图中画出点P，使点P在线段CD上，且满足以下要求，保留适当的作图痕迹．
(1)在图①中，连结PB，使PB最小．
(2)在图②中，连结PA、PB，使PA=PB．
(3)在图③中，连结PA、PB，使PA+PB最小．
22.(本小题7分)
如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D，AD=2.7cm，DE=1.8cm．
(1)求证：△ACD≌△CBE．
(2)求BE的长．
23.(本小题8分)
阅读材料：a3−b3+a2b−ab2=(a3+a2b)−(b3+ab2)
=a2(a+b)−b2(a+b)
=(______ )(a+b)
= ______ ．
(1)请把阅读材料补充完整；
(2)分解因式：4x2−2x−y2−y；
(3)已知a，b，c为△ABC的三边长，若a2+b2+2c2−2ac−2bc=0.试判断△ABC的形状，并说明理由．
24.(本小题8分)
如图，已知：AB=AC=AE，点D是△ABC内一点，DB=DC，∠DCB=30°，点E是BD延长线上一点，在线段DE上截取DF=AD，连接AF．
(1)求∠ADE的度数；
(2)求证：BD=EF．
25.(本小题10分)
我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，设这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元．
(1)当充电费为300元时，这款电动汽车的行驶路程为______ 公里；(用含x的代数式表示)
(2)请分别求出这两款车的平均每公里的行驶费用；
(3)若燃油车和电动汽车每年的其它费用分别为4800元和7800元，问每年行驶里程在什么范围时，买电动汽车的年费用更低？(年费用=年行驶费用+年其它费用)
26.(本小题10分)
长方形ABCD中，AB=4，AD=m，点P以每秒1个单位的速度从A向B运动，点Q同时以每秒2个单位的速度从A向D运动，设P，Q两点运动时间为t，点E为边CD上任意一点.(点E不与点C、点D重合)
(1)请直接用含m、t的代数式，表示线段QD的长度；
(2)当m=5时，连接QE，若△APQ与△EDQ全等，求DE的长；
(3)若在边AD上总存在点Q使得△APQ≌△DQE，请直接写出m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：选项A、B、D均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项C不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、应为x3+x3=2x3，故选项错误；
B、应为(2x3)2=4x6，故选项错误；
C、应为2x3⋅x2=2x5，故选项错误；
D、2x7÷x=2x6，正确．
故选D．
根据合并同类项，只把系数相加减，字母和字母的指数不变；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；单项式乘单项式，把系数和相同字母分别相乘，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数，作为积的一个因式；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
本题主要考查了合并同类项的法则，积的乘方，以及单项式乘以单项式，单项式除以单项式的法则，正确对法则进行记忆与理解是解决这类问题的关键．
3.【答案】D
【解析】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
解：∵分式1x+2在实数范围内有意义，
∴x+2≠0，
解得：x≠−2．
故选：D．
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此类添加条件题，要求学生应熟练掌握全等三角形的判定定理。
欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS,SAS,ASA添加条件，逐一证明即可。
【解答】
解：∵AB=AC,∠A为公共角，
A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；
B、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，两边一角要想证明全等则角必须为夹角，所以此选项不能作为添加的条件；
C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；
D、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD。
故选：B。
5.【答案】A
【解析】解：∵4y2+my+9是完全平方式，
∴my=±2⋅2y⋅3，
解得：m=±12，
故选：A．
根据完全平方式得出my=±2⋅2y⋅3，再求出m即可．
本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，注意：完全平方式有a2+2ab+b2和a2−2ab+b2两个．
6.【答案】D
【解析】本题考查了尺规作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
利用等线段代换得到PA=PB，利用线段的垂直平分线的性质和基本作图进行判断．
解：A、由图可知BA=BP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
B、由图可知PA=PC，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
C、由图可知CA=CP，则无法得出AP=BP，故不能得出PA+PC=BC，故此选项错误；
D、由图可知BP=AP，故能得出PA+PC=BC，故此选项正确．
故选：D．
7.【答案】8.23×10−7
【解析】解：将0.000000823用科学记数法表示为8.23×10−7．
故答案为：8.23×10−7．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】7
【解析】本题考查了三角形三边关系以及非负数的性质，此题实际上就是根据三角形三边关系列出不等式，然后解不等式即可．
根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；可求第三边长的范围，再根据奇数的定义得出答案．
解：∵|a−7|+(b−2)2=0，
∴a−7=0，b−2=0，
解得：a=7，b=2．
由三角形三边关系定理得：7−2又∵c为奇数，
∴c=7．
故答案为：7．
9.【答案】15
【解析】解：当3是腰长时，三角形的三边长分别为3，3，6，
∵3+3=6，
∴不能构成三角形；
当6是腰长时，三角形的三边长分别为3，6，6，
∵3+6=9>6，
∴能构成三角形，
∴周长为：3+6+6=15，
综上所述，三角形的周长为：15，
故答案为：15．
分两种情况：当3是腰长时，当6是腰长时，利用三角形的三边关系判断能否构成三角形，再根据三角形的周长公式进行计算即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形三边的关系，熟练掌握三角形三边的关系及等腰三角形的性质，采用分类讨论的思想解题，是解本题的关键．
10.【答案】6
【解析】本题主要考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解的定义以及解法是解决本题的关键．
根据分式方程的解的定义解决此题．
解：3x−mx−2=1，
解得：x=−1+m2．
∵关于x的方程3x−mx−2=1无解，即x−2=0，
∴−1+m2=2．
∴m=6．
故答案为：6．
11.【答案】13
【解析】【分析】
本题主要考查完全平方公式和代数式求值，熟记公式结构是解题的关键．
完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.根据x2+y2=(x+y)2−2xy，然后代入求值即可．
【解答】
解：x2+y2=(x+y)2−2xy=25−6×2=13．
故答案是：13．
12.【答案】②④
【解析】解：①原式不能因式分解；
②原式=(1+12ab)(1−12ab)；
③原式不能因式分解；
④原式=(mn−12)2；
则能用公式法分解因式的是②④，
故答案为：②④．
将各式因式分解后进行判断即可．
本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】55°
【解析】解：如图，
∵∠DFC+∠AFD=180°，∠AFD=145°，
∴∠CFD=35°．
又∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠BED=∠CDF=90°，
在Rt△BDE与△Rt△CFD中，
BE=CDBD=CF，
∴Rt△BDE≌△Rt△CFD(HL)，
∴∠BDE=∠CFD=35°，
∴∠EDF=90°−∠BDE=55°．
故答案是：55°．
由图示知：∠DFC+∠AFD=180°，则∠CFD=35°.通过全等三角形Rt△BDE≌△Rt△CFD(HL)的对应角相等推知∠BDE=∠CFD=35°，结合直角的定义得解．
本题考查了全等三角形的判定与性质及直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
14.【答案】32
【解析】解：∵CD平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∵BE⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=90°，
∵CD=CD，
∴△BDC≌△EDC(ASA)，
∴BC=CE=4，BD=DE，
又∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE，
∵AC=7，BC=4，
∴AE=AC−CE=3，
∴BE=AE=3，
∴BD=12BE=32，
故答案为：32．
根据CD平分∠ACB，BE⊥CD，证出△BDC≌△EDC，得到BC=BE，BD=DE即可．
本题考查了等腰三角形的判定与性质，根据已知并结合图形分析是解题的关键．
15.【答案】解：方程两边同乘以x(x+3)，
得2(x+3)+x2=x(x+3)，
2x+6+x2=x2+3x，
∴x=6
检验：把x=6代入x(x+3)=54≠0，
∴原方程的解为x=6．
【解析】观察可得最简公分母是x(x+3)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解；
(2)解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：2x(x−4)−(2x−3)(x+2)
=(2x2−8x)−(2x2−3x+4x−6)
=2x2−8x−2x2+3x−4x+6
=−9x+6．
【解析】先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式的加减．
此题考查了整式乘法和减法的混合运算能力，关键是能准确理解并运用以上知识进行正确地计算．
17.【答案】解：9a2(x−y)+4b2(y−x)
=9a2(x−y)−4b2(x−y)
=(x−y)(9a2−4b2)
=(x−y)(3a+2b)(3a−2b)．
【解析】先提取公因式(x−y)，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
18.【答案】解：2x+1+3x−1=6x2−1，
2(x−1)+3(x+1)=6，
2x−2+3x+3=6，
5x=5，
x=1，
检验：把x=1代入原方程或最简公分母，分母为0，分式无意义，
所以x=1为增根(舍去)，
所以原方程无解．
【解析】解分式方程的步骤：①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论．依此即可求解．
本题考查了解分式方程，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0，所以一定要检验．
19.【答案】解：(1−2x−1)·x2−xx2−6x+9
=x−3x−1·x(x−1)(x−3)2
=xx−3，
∵x−1≠0且x−3≠0，
∴x≠1且x≠3，
∴取x=2，则原式=22−3=−2．
【解析】本题考查了分式的化简求值．注意：取适当的数代入求值时，要特别注意原式及化简过程中的每一步都有意义．
此题只需先进行分式运算得到最简结果，再选出一个使分式有意义的值代入求得结果即可．
20.【答案】解：设这个多边形的边数是n，
由题意得：14(n−2)×180°−360°=90°，
∴n=12，
答：这个多边形的边数是12．
【解析】由多边形的内角和定理，外角和是360°，即可计算．
本题考查多边形的有关知识，关键是掌握多边形内角和定理：(n−2)⋅180° (n≥3且n为整数)；多边形的外角和是360°．
21.【答案】解：(1)如图①中，点P即为所求；
(2)如图②中，点P即为所求；
(3)如图③中，点P即为所求．

【解析】(1)根据垂线段最短解决问题即可；
(2)根据线段的垂直平分线的性质解决问题即可；
(3)作点A关于直线CD的对称点A′，连接BA′交CD于点P，连接AP，点P即为所求．
本题考查作图应用与设计作图，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
22.【答案】(1)证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD=∠ACB−∠BCE=90°−∠BCE，
∵∠CBE=90°−∠BCE，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ACD与△CBE中，
∠ADC=CEB∠ACD=∠CBEAC=BC，
∴△ACD≌△CBE(AAS)；
(2)解：由(1)知，：△ACD≌△CBE，
∴CE=AD=2.7cm，BE=CD，
∵CD=CE−DE=2.7−1.8=0.9cm，
∴BE=0.9cm．
【解析】(1)由垂直得∠ADC=∠CEB=90°，求出∠ACD=∠CBE，然后利用AAS即可证明△ACD≌△CBE；
(2)根据全等三角形的性质可得CE=AD=2.7cm，BE=CD，根据CD=CE−DE求出CD即可得到BE的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和全等三角形对应边相等的性质是解题的关键．
23.【答案】a2−b2 (a+b)2(a−b)
【解析】解：(1)a3−b3+a2b−ab2
=(a3+a2b)−(b3+ab2)
=a2(a+b)−b2(a+b)
=(a2−b2)(a+b)
=(a+b)2(a+b)，
故答案为：a2−b2，(a+b)2(a−b)；
(2)△ABC的形状是等边三角形，
∵4x2−2x−y2−y
=(4x2−y2)−(2x+y)
=(2x+y)(2x−y)−(2x+y)
=(2x+y)(2x−y−1)；
(3)∵a2+b2+2c2−2ac−2bc
=(a2−2ac+c2)+(b2−2bc+c2)
=(a−c)2+(b−c)2
=0，
∴a−c=0，b−c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC的形状是等边三角形．
(1)通过提公因式和平方差公式进行因式分解；
(2)将该代数式变形、提取公因式进行因式分解；
(3)先通过分组进行因式分解，再通过a，b，c间的关系进行因式分解．
此题考查了因式分解的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．
24.【答案】(1)解：∵DB=DC，∠DCB=30°，
∴∠DBC=30°，∠BDC=120°．
在△ABD和△ACD中，
AB=ACDB=DCAD=AD，
∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠ADB=ADC=12(360°−120°)=120°，
∴∠ADE=180°−∠ADB=60°；

(2)证明：∵∠ADE=60°，DF=AD，
∴△ADF是等边三角形，
∴∠AFD=60°，
∴∠AFE=120°=∠ADB．
∵AE=AB，
∴∠ABD=∠E，
在△ABD和△AEF中，
∠ABD=∠E∠ADB=∠AFEAB=AE，
∴△ABD≌△AEF(AAS)，
∴BD=EF．
【解析】(1)根据已知条件易得△ABD≌△ACD(SSS)，可得∠ADB=ADC=12(360°−120°)=120°，即可得出答案．
(2)由∠ADE=60°，DF=AD，可得△ADF是等边三角形，证明△ABD≌△AEF，即可得BD=EF．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
25.【答案】300x
【解析】解：(1)根据题意得：当充电费为300元时，这款电动汽车的行驶路程为300x公里．
故答案为：300x；
(2)∵电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元，且这款电动汽车平均每公里的充电费用为x元，
∴这款燃油车平均每公里的加油费用为(x+0.6)元．
根据题意得：300x=4×300x+0.6，
解得：x=0.2，
经检验，x=0.2是所列方程的解，且符合题意，
∴x+0.6=0.2+0.6=0.8(元)．
答：这款电动汽车平均每公里的充电费用为0.2元，这款燃油车平均每公里的加油费用为0.8元；
(3)设每年行驶里程为y公里，
根据题意得：0.2y+7800<0.8y+4800，
解得：y>5000．
答：每年行驶里程超过5000公里时，买电动汽车的年费用更低．
(1)利用这款电动汽车的行驶路程=充电费÷这款电动汽车平均每公里的充电费用，即可用含x的代数式表示出这款电动汽车的行驶路程；
(2)由这两款车的平均每公里的行驶费用间的关系，可得出这款燃油车平均每公里的加油费用为(x+0.6)元，利用可行驶的总路程=加油费(充电费)÷这款燃油车平均每公里的加油费用(这款电动汽车平均每公里的充电费用)，结合充电费和加油费均为300元时电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出这款电动汽车平均每公里的充电费用，再将其代入(x+0.6)中，即可求出这款燃油车平均每公里的加油费用；
(3)设每年行驶里程为y公里，根据买电动汽车的年费用更低，可列出关于y的一元一次不等式，解之即可得出结论．
本题考查了分式方程的应用、列代数式以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，用含x的代数式表示出这款电动汽车的行驶路程；(2)找准等量关系，正确列出分式方程；(3)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】解：(1)根据题意，AP=t，AQ=2t，
∴QD=m−AQ=m−2t，
∴线段QD的长度为m−2t；
(2)由题意得：AQ=2t，AP=t，DQ=5−2t，
当AP=DQ时：
t=5−2t，
解得：t=53，
此时DE=AQ=2t=103；
当AQ=DQ时：
2t=5−2t，
解得：t=54，
此时DE=AP=t=54，
综上所述：当DE=103或54时，△APQ与△EDQ全等；
(2)∵△APQ≌△DQE，
∴AP=DQ，AQ=DE，
由AP=DQ知：t=m−2t，
解得：t=m3，
∵AB=4，AP≤AB，
∴0即0∵0∴0∴0<2t≤4，
即0<23m≤4②；
由①②解得：0∴满足条件m的取值范围为0【解析】(1)利用路程，速度，时间的关系求出AQ，即可解决问题；
(2)由题意得：AQ=2t，AP=t，DQ=5−2t，当AP=DQ时：t=5−2t，得t=53，此时DE=AQ=2t=103；当AQ=DQ时：2t=5−2t，得t=54，此时DE=AP=t=54；
(3)由△APQ≌△DQE，知AP=DQ，AQ=DE，故t=m−2t，得t=m3，可得0本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程或不等式解决问题．