吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份吉林省长春市朝阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共24页。

4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．下列各式中，y是x的二次函数的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
3．在平面直角坐标系中，点关于轴对称点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．下列运算正确的是（ ）
A．B．C．D．
6．如图，一枚运载火箭从地面L处发射，雷达站R与发射点L之间的距离为6千米，当火箭到达A点时，雷达站测得仰角为，则这枚火箭此时的高度为（ ）
A．千米B．千米C．千米D．千米
7．若抛物线经过，，三点，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
8．对于抛物线，y与x的部分对应值如下表所示：
下列说法中正确的是（ ）
A．开口向下
B．当时，y随x的增大而增大
C．对称轴为直线
D．函数的最小值是
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
10．长春轨道交通6号线预计于2024年开通运营，在比例尺为的地图上，量得全线长约为，则轨道交通6号线的实际距离约为 ．
11．函数的图象的顶点坐标为 ．
12．在一个不透明口袋中装有1个红球和个白球，它们除了颜色以外没有任何其他区别．搅匀后从口袋中随机摸出1个球，记录下颜色后放回口袋中并搅匀，随着试验次数的增加，摸到白球的频率逐渐稳定在，则的值为 ．
13．如图是一位同学用激光笔测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，若，，测得，，，则该古城墙的高度是 ．
14．已知二次函数的图象经过，点，在该函数图象上．当时，若，则m的取值范围是 ．
三、解答题（本大题10小题，共78分）
15．计算：．
16．解方程：．
17．二次函数的图象经过和．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)将这个二次函数的图象向右平移______个单位后经过坐标原点．
18．2023年国际乒联混合团体世界杯于2023年12月4日在成都举行，本次赛会的会徽彰显了成都文化特色，吉祥物“乒乒”将大熊猫与乒乓球运动相结合，表达了成都人民对乒乓球运动的喜爱．现有三张不透明的卡片，其中一张卡片的正面图案为会徽，另外两张卡片的正面图案都为吉祥物“乒乒”，卡片除正面图案不同外其余均相同，将这三张卡片背面向上并搅匀．
(1)小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是______事件（填“随机”“不可能”或“必然”）；
(2)小亮从中随机抽取一张，记下卡片上的图案后背面向上放回，重新搅匀后再从中随机抽取一张．请用画树状图（或列表）的方法，求小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率．（图案为会徽的卡片记为，图案为吉祥物的两张卡片分别记为、）
19．桑梯是我国古代劳动人民发明的一种采桑工具．图①是明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘的桑梯，其示意图如图②所示，已知米，米．在安全使用的前提下，当时，桑梯顶端达到最大高度，求此时到地面的距离．（参考数据：，，，精确到0.1米）
20．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．
(1)在图①中画，使；
(2)在图②中画，使；
(3)在图③中画，使．
21．如图，一位足球运动员在距离球门中心水平距离8米的A处射门，球沿一条抛物线运动．当球运动的水平距离为6米时，达到最大高度3米．
(1)建立图中所示的平面直角坐标系，求抛物线所对应的函数表达式；
(2)已知球门高为2.44米，通过计算判断这位运动员能否将球射进球门．
22．【教材呈现】图1是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内容．
例2：如图1，在中，D、E分别是边的中点．相交于点G．求证：．
证明：连接．
【结论证明】请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程．
【结论应用】
（1）如图①，若，则_____；
（2）在图①的条件下，过点G的直线分别交于点M、N．若，，四边形的面积为10，则_____．
23．如图，在中，，，，点为边的中点．动点从点出发，沿折线以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点不与点、重合时，连结．作点关于直线的对称点；连结、、，设点的运动时间为秒．
(1)线段的长为_____；
(2)用含t的代数式表示线段的长；
(3)当点P在边上运动时，求与的一条直角边平行时的值；
(4)当为锐角三角形时，直接写出t的取值范围．
24．在平面直角坐标系中，抛物线（b为常数）经过点，点P在该抛物线上，横坐标为．
(1)求该抛物线对应的函数表达式；
(2)当轴时，求m的值；
(3)将该抛物线上P、Q两点之间的部分（包括P、Q两点）记为图象G．
当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，求m的取值范围；
当图象G与直线只有一个公共点时，直接写出m的取值范围．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查二次函数的定义：一般地，如果（a，b，c是常数，），那么y叫做x的二次函数．此题将式子整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A、分母中含自变量，不是二次函数，故本选项错误；
B、该函数的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；
C、该函数不符合二次函数的定义，属于一次函数，故本选项错误；
D、该函数符合二次函数的定义，故本选项正确．
故选：D．
2．B
【分析】将各个二次根式化简，再看被开方数即可得出答案．
【详解】解：因为，，，，
所以与是同类二次根式，
故选：B．
【点睛】本题考查了同类二次根式、二次根式的化简，熟记同类二次根式的定义是解题关键．
3．C
【分析】此题主要考查了关于轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于轴对称点的坐标为，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟记①，方程有两个不相等的实数根；②，方程有两个相等的实数根；③，方程无实数根，是解决问题的关键．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查二次根式的运算，根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【详解】解：A、与不能合并，不符合题意；
B、，不符合题意；
C、，符合题意；
D．，符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，仰角问题，根据正切的定义即可求解．
【详解】解：在中，，，
∴，
∴(千米)．
故选：C．
7．B
【分析】本题主要考查二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式，对称轴，，抛物线开口向上，在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，，，的大小．
【详解】解：∵，
∴对称轴为，且，抛物线开口向上，
∵，，三点到对称轴的距离分别为4，1，3，
∴，
故选：B．
8．C
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式以及二次函数的性质，把二次函数化简成顶点式即可解题．
【详解】解：把，，代入，
得：，
解得∶，
∴，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
即当时，函数取最小值，
当时，y随x的增大而增大，
故A，B，D错误，C正确，
故选：C．
9．
【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
10．30
【分析】本题考查了比例尺，关键是理解比例尺的概念，掌握计算方法，但要注意单位的转换．根据比例尺图上距离：实际距离，按题目要求解答即可．
【详解】解：根据比例尺图上距离：实际距离，得：
轨道交通6号线的实际距离约为：，
．
故答案为：30．
11．
【分析】本题主要考查二次函数的性质，根据顶点式可直接写出顶点坐标．
【详解】解：∵函数，
∴二次函数图象的顶点坐标是．
故答案为：．
12．4
【分析】本题考查根据频率估计概率，通过概率求白球的个数，利用即可求得白球个数．
【详解】解：根据题意，，解得．
故答案为：4．
13．4.5
【分析】首先证明ΔABP∽ΔCDP，可得AB:BP=CD:PD，再代入相应数据可得答案．
【详解】解：如图，
由题意可得：∠APE=∠CPE，
∴∠APB=∠CPD，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABP=∠CDP=90°，
∴ΔABP∽ΔCDP，
∴AB:BP=CD:PD，
∵AB=1.5米，BP=2米，PD=6米，
∴，
解得：CD=4.5米，
故答案为：4.5．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．
14．##
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数得到和时函数值相等，则得到抛物线的对称轴为直线，由于抛物线开口向上，且，所以到对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离，则，然后解不等式组即可．
【详解】解：∵二次函数的图象经过，
∴时，时，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线开口向上，且，
∴到对称轴的距离小于或等于点到对称轴的距离，如图，

∴，
解得．
故答案为：．
15．0
【分析】本题主要考查二次根式的加减运算，先将二次根式化简，再合并即可．
【详解】解：
．
16．，．
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用直接开平方法解出方程．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查求二次函数的表达式、二次函数的图象平移；利用待定系数法是解决本题的关键；
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出二次函数图象与x轴的交点坐标，再求出位于x轴负半轴上的交点到原点的距离即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过和，
，
解得，
∴二次函数的表达式为；
（2）令，则，
解得，，
抛物线与x轴的交点坐标为，，
，
将这个二次函数的图象向右平移个单位后经过坐标原点，
故答案为：．
18．(1)随机
(2)
【分析】（1）本题考查事件的分类，掌握随机事件、必然事件和不可能事件的概念即可解题．
（2）本题考查列表法或画树状图法，用树状图表示所有等可能出现的结果为9种，再由概率的定义进行解答即可．
【详解】（1）解：由题意得，小明从中随机抽取一张，“抽到卡片上的图案是会徽”是随机事件．
故答案为：随机．
（2）解：画树状图如下：
由图知，共有9种等可能的结果，其中小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的结果有4种，
∴小亮两次抽到的卡片上的图案都是吉祥物“乒乒”的概率为．
19．当时，D到地面的距离2.7米．
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，熟练掌握直角三角形的边角关系定理是解题的关键．过点作于点，利用等腰三角形的性质求得的度数，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可．
【详解】解：过点作于点，如图，
，，
．
米，米，
（米．
在中，
，
，
（米．
答：当时，到地面的距离2.7米．
20．(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】本题考查锐角三角函数中正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键；
（1）要使，则的对边要满足且即可；
（2）要使，则的对边要满足且即可；
（3）要使，则的对边要满足且即可．
【详解】（1）解：如图1，即为所求．
（2）如图2，即为所求．
（3）如图，即为所求．
21．(1)
(2)球不能射进球门
【分析】本题主要考查求二次函数解析式以及二次函数的应用：
（1）用待定系数法运用顶点式设出函数解析式，再把代入，求出的值即可；
（2）当时，，即可求解．
【详解】（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标为，
设抛物线为 ，
把点代入得：，
解得，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）当时，
∴球不能射进球门．
22．【结论证明】证明见解析；【结论应用】（1）12；（2）40．
【分析】结论证明：由D，E分别是边的中点，根据三角形的中位线定理得，，则，得，即可证明；结论应用：（1）由得，则，所以，则，于是得到问题的答案；
（2）作交的延长线于点F，交于点K，由，，得，则，可证明，得，所以，再证明，得，再证明，得，所以，则，所以，于是得，求得，则，，即可求得，则，于是得到问题的答案．
【详解】证明：∵D，E分别是边的中点，
∴，，
∴，
∴，
∴．
结论应用：（1）∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：12．
（2）如图②，作交的延长线于点F，交于点K，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：40．
【点睛】本题重点考查三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质、高相等的两个三角形的面积的比等于底边长的比等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．(1)5
(2)
(3)t的值为或
(4)
【分析】（1）由勾股定理得，即可解决问题；
（2）分两种情况，①当时，点在线段上运动，；②当时，点在上运动，；
（3）分两种情况，①当时，②当时，分别由相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质求出的长，即可得出结论；
（4）求出当时的值，即可解决问题．
【详解】（1）在中，由勾股定理得：，
点为边的中点，
，
故答案为：5；
（2）分两种情况：
①当时，点在线段上运动，；
②当时，点在上运动，；
综上所述，；
（3）点是点关于直线的对称点，
，
点的运动轨迹为以为圆心，长为半径的圆上，
分两种情况：
①当时，如图1，延长交于点，交于点，
则，
，
，
，
，
即，
解得：，，
，
点是点关于直线的对称点，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：，
，
；
②当时，如图2，设交于点，
则，
点是点关于直线的对称点，
，
在和中，
，
，
，
，
此时，，
综上所述，与的一条直角边平行时的值为或；
（4）当时，如图3，延长交于点，连接交于点，
，
是等腰直角三角形，
，
点是点关于直线的对称点，
，，
设，则，
以为圆心，长为半径的圆，点为边的中点，
为圆的直径，
，
，
，
，
即，
，
在中，由勾股定理得：，
即，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
，，
，
，
即，
解得：，
此时，，
当为锐角三角形时，的取值范围为．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称的性质、圆周角定理以及分类讨论等知识，本题综合性强，难度较大，熟练掌握全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
24．(1)
(2)m的值为
(3)；且
【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键．
（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）由轴得P、Q两点的纵坐标相等，根据点P在该抛物线上，把P点坐标代入得，解得即可；
（3）当时，令，解得x的值，再根据抛物线的顶点求出当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时x的取值范围，进而求出m的取值范围，当时，令，根据点在直线上，由图象得，分两种情况进行解答当时，图象G与直线有二个公共点，不合题意，当且时，图象G与直线有一个公共点，求解m的取值范围即可．
【详解】（1）解：抛物线（b为常数）经过点，
，
解得，
该抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：轴，
P、Q两点的纵坐标相等，
，
点P在该抛物线上，
，
解得或（此时，P、Q重合，不合题意，舍去），
m的值为；
（3）解：如图，
当时，，解得或，
抛物线，
顶点坐标为，
当图象G上只有两个点到x轴的距离为4时，，
，解得，
m的取值范围为；
如图，
当时，，
点在直线上，
由图象得，当时，图象G与直线有二个公共点，，
当且时，图象G与直线有一个公共点，
当图象G与直线只有一个公共点时，且时，
且，
即m的取值范围为且．
x
…
0
3
4
…
y
…
10
3
…