福建省南平第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省南平第一中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试卷(含答案)，共22页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、过点且与直线垂直的直线方程为( )
A.B.
C.D.
2、如图,空间四边形OABC中,,,,点M在OA上,且,点N为BC中点,则等于( )
A.B.
C.D.
3、已知A为抛物线上一点,点A到C的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则( )
A.4B.6C.8D.10
4、“中国剩余定理”又称“孙子定理”,原文如下：今有物不知其数,三三数之剩二（除以3余2）,五五数之剩三（除以5余3）,七七数之剩二（除以7余2）,问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数m满足五五数之剩三,将符合条件的所有正整数m按照从小到大的顺序排成一列,构成数列,记数列的前n项和为,则的最小值为( )
A.46B.42C.41D.25
5、已知函数在区间上单调递减,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
6、设为等差数列的前n项和,且,都有,若,则( )
A.的最小值是B.的最小值是
C.的最大值是D.的最大值是
7、如图,已知,是双曲线的左､右焦点,P,Q为双曲线C上两点,满足,且,则双曲线C的离心率为( )
A.B.C.D.
8、定义在R上的函数满足为偶函数,当时,,其中是的导数.若关于x的不等式恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知函数的导函数为,若,则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10、已知等比数列公比为q,前n项和为,且满足,则( )
A.B.
C.,,成等比数列D.
11、已知曲线,直线l过点交于A,B两点,下列命题正确的有( )
A.若A点横坐标为8,则
B.若,则的最小值为6
C.原点O在AB上的投影的轨迹与直线有且只有一个公共点
D.若,则以线段AB为直径的圆的面积是
12、在矩形ABCD中,,E为CD的中点,将沿直线BE翻折至的位置,则( )
A.翻折过程中,直线与BE所成角的余弦值最大为
B.翻折过程中,存在某个位置的,使得
C.翻折过程中,四棱锥必存在外接球
D.当四棱锥的体积最大时,以为直径的球面被平面截得交线长为
三、填空题
13、已知函数,则函数的图象在处的切线方程为___________．
14、已知等差数列和的前n项和分别为,,若,则__________
15、已知椭圆的左,右焦点分别为,,过点且垂直于x轴的直线与椭圆交于A、B两点,、分别交y轴于P、Q两点,的周长为4.过作外角平分线的垂线与直线BA交于点N,则______.
16、在棱长为a的正方体中,M,N分别为,的中点,点P在正方体表面上运动,且满足,点P轨迹的长度是___________.
四、解答题
17、已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点.
（1）求圆C的方程;
（2）若直线l过点且被圆C截得的弦长为,求直线l的方程.
18、设函数．
（1）讨论函数的单调性;
（2）如果对所有的,都有,求a的取值范围．
19、已知数列是等差数列,是等比数列,且,,,．
（1）求数列、的通项公式;
（2）设,数列的前n项和为,求．
20、如图,在四棱锥中,平面ABCD,,,且,,．
（1）证明：;
（2）在线段PD上是否存在一点M,使得二面角的余弦值为,若存在,求BM与PC所成角的余弦值;若不存在,请说明理由．
21、已知数列满足：.
（1）求数列的通项公式．
（2）记,数列的前n项和．若对于任意的,不等式恒成立,求实数的取值范围.
22、已知在中,,,动点A满足,,AC的垂直平分线交直线AB于点P．
（1）求点P的轨迹E的方程;
（2）直线交x轴于D,与曲线E在第一象限的交点为Q,过点D的直线l与曲线E交于M,N两点,与直线交于点K,记QM,QN,QK的斜率分别为,,,
①求证：是定值．
②若直线l的斜率为1,问是否存在m的值,使？若存在,求出所有满足条件的m的值,若不存在,请说明理由．
参考答案
1、答案：C
解析：设与直线垂直的直线方程为,
代入点可得,即,
所以所求直线方程为.
故选：C.
2、答案：B
解析：由题意可得,.
故选：B.
3、答案：B
解析：设抛物线的焦点为F,因为点A到C的焦点的距离为12,
所以由抛物线的定义知,
又因为点A到y轴的距离为9,所以,
所以,解得.
故选：B.
4、答案：C
解析：依题意,,显然数列是等差数列,,
因此,当且仅当,即时取等号,
所以当时,取得最小值41.
故选：C.
5、答案：A
解析：因为,所以,
因为在区间上单调递减,
所以,即,则在上恒成立,
因为在上单调递减,所以,故.
故选：A.
6、答案：C
解析：由得,即,
数列为递减的等差数列,,,,
当且时,;当且时,;
有最大值,最大值为．
故选：C．
7、答案：B
解析：延长与双曲线交于点P＇,因为,根据对称性知,

设,则,,可得,即,
所以,则,,
即,可知,
在中,由勾股定理得,
即,解得.
故选：B.
8、答案：D
解析：记,则,
由题意,知当时,,即,
则在上单调递增,所以,
因为是偶函数,所以是奇函数,所以在R上单调递增,
又,即,
所以,即对任意恒成立.令,
则,由,得;当时,,单调递增,
当时,,单调递减,所以在处取得极大值,也是最大值,
所以,所以,即实数a的取值范围为,
故选：D.
9、答案：BD
解析：,,得或,
所以函数有两个极值点,分别是和,满足条件的只有BD.
故选：BD.
10、答案：ABD
解析：对选项A：,即,则,正确;
对选项B：,正确;
对选项C：
,
所以,即,,不成等比数列,错误;
对选项D：,正确;
故选：ABD.
11、答案：BCD
解析：对于A,易得是抛物线的焦点,
若A点横坐标为8,则,即或,根据抛物线的对称性可得两种情况计算出的相同,再此取计算.
所以l的直线方程是即,
直线与相交,联立方程得,,
得,,故A错误;
对于B,过点A作准线的垂线,垂足为,则,
当P,A,三点共线时取最小值,此时最小值为,故B正确;
对于C,设原点O在直线l上的投影为H,OF的中点为,
因为,所以,所以为直角三角形,
所以,
根据几何性质及圆的定义可知点H的轨迹方程为,
联立得,
解得,所以直线与只有一个交点,故C正确;
对于D,设直线的方程为,
联立得
所以,
因为,而,所以,
所以,所以,
所以,解得,
则,
所以,
,所以以线段AB为直径的圆的面积是,故D正确.
故选：BCD.
12、答案：AD
解析：在矩形ABCD中,取AB中点F,连接CF与BE交于点O,
,,,且,
以O为原点,OF,OB所在直线分别为x轴,y轴,过O与平面ABCD垂直的直线为z轴,
建立空间直角坐标系如上图,则,,,
F为AB中点,,
将沿直线BE翻折至的位置的过程中,在以O为圆心,
直径为的圆弧上,
在平面zOx内,设,且,
,,即,
,,,
,
对于A,设直线与BE所成角为,
则,
易知,当时,单调递增,
当时,,故选项A正确;
对于选项B,翻折过程中,恒成立,
不存在某个位置的,使得,故选项B错误;
对于C,连接AE,直角有以AE为直径的唯一外接圆,
又,B不在的外接圆上,即四边形ABED无外接圆,
四棱锥不存在外接球,故选项C错误;
对于D,当四棱锥的体积最大时,到平面ABED距离最大,
此时在z轴上,平面即平面yOz,
以为直径的球的球心为中点,
球心M到平面即平面yOz的距离为,
又该球的直径,半径,
由球的几何性质,以为直径的球面被平面截得交线为圆,
该圆的半径,
该圆的周长为,故选项D正确.
故选：AD.
13、答案：
解析：因为,
所以,
的图象在处的切线斜率为,
又,所以切点为,
所以的图象在处的切线方程为：
,即．
故答案为：.
14、答案：
解析：由等差数列的性质可得：,
,
,
所以,
由得,得,
所以.
故答案为：.
15、答案：
解析：因为,所以,
因为的周长为4,所以的周长,
所以,所以椭圆方程为,,所以,
直线AB垂直x轴,设,代入,求得,
所以,,
因为外角平分线AT的垂线与直线BA交于点N,
所以,可得,
则,所以.
故答案为：.
16、答案：
解析：在正方体中,以D为坐标原点,
分别以DA,DC,为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
,,,, ,
设,则,
, ,
当时,,当时,,
取,,,,
连结EF,FG,GH,HE,
则,,
四边形EFGH为矩形,则,,
即,,又EF和EH为平面EFGH中的两条相交直线,
平面EFGH,
又,,
M为EG的中点,则平面EFGH,
为使,必有点平面EFGH,
又点P在正方体表面上运动,所以点P的轨迹为四边形EFGH,
又,, ,则点P的轨迹不是正方形,
则矩形EFGH的周长为.
故答案为：
17、答案：（1）
（2）或
解析：（1）圆C的圆心在直线上且与y轴切于点,
设圆心坐标为,则,解得,,
圆心,半径,
故圆的方程为.
（2）点,直线l过点P,
当l的斜率存在时,设直线l的斜率为k（k存在）,
则方程为,又圆C的圆心为,半径,弦长为,
故弦心距,故,解得,
所以直线方程为,即,
当l的斜率不存在时,l的方程为,经验证也满足条件,
故l的方程为或.
18、答案：（1）在单调递减,在单调递增
（2）
解析：（1）的定义域为,
,
当时,,此时单调递增,
当时,,此时单调递减,
故在单调递减,在单调递增;
（2）由（1）知,在上单调递增,
又,,
故,
则,
故a的取值范围为.
19、答案：（1）,;
（2）.
解析：（1）依题意,等比数列的公比,
则有,因此,,
由得,等差数列的公差,,
所以数列、的通项公式分别为：,.
（2）由（1）知,,
则,
于是得,
两式相减得：,
所以.
20、答案：（1）证明见解析
（2）存在,且BM与PC所成角的余弦值为
解析：（1）证明：连接AC,设,
因为,则,且为等腰直角三角形,
因为,则,
因为,由余弦定理可得,
所以,,则,
平面ABCD,平面ABCD,,
,平面PAC,平面PAC,.
（2）因平面ABCD,,
以点A为坐标原点,AB、AC、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系,
设,则、、、、,
设,其中,
则,,
设平面ACM的法向量为,
则,取,可得,
易知平面ACD的一个法向量为,
由题意可得,
因为,解得,此时,,
,,
所以,,
因此,在线段PD上是否存在一点M,使得二面角的余弦值为,且BM与PC所成角的余弦值为.
21、答案：（1）,
（2）
解析：（1）因为①,
当时,,
当时,有②,
①②得：,所以,
经检验符合上式,所以,,
（2）,
所以,
因为不等式恒成立,所以,
因为,
所以,解得：或.
故实数的取值范围为.
22、答案：（1）
（2）①证明见解析;②存在;
解析：（1）,
AC的垂直平分线交BA的延长线于点P．
连接PC,则,
,
由双曲线的定义知,点P的轨迹E是以,为焦点,实轴长为的双曲线的右支（右顶点除外）,
,,则,
E的方程是．
（2）①证明：由已知得,,满足,
设直线l方程为,,,
联立,得,
,,
,
同理,
对,令,得,
,,
,
是定值．
②假设存在m的值,使
由①知,,
则,
,
直线QK的方程为,
令,
得;
直线l的斜率为1,直线l的方程为,
令,得;
,
,
代入,得,
整理得,,
解得,或（,舍去）
,存在m的值为,使．