2022-2023学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷，共26页。试卷主要包含了单选选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．D．
2．（5分）“a＝±1”是“直线x+y＝0和直线x﹣a2y＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．（5分）数列{an}满足，且a1＝2，则a2022的值为（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
4．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+4＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x+6）2+（y+4）2＝4B．（x+8）2+（y+2）2＝4
C．（x﹣8）2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4
5．（5分）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，问大雪、寒露的日影长之和为（ ）
A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸
6．（5分）在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底；
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（5分）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，A，B，C，满足PA＝2，PA⊥面ABC，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2＝a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则（ ）
A．若S4＞S8，则S12＜0
B．若S4＝S8，则S6是Sn中最大的项
C．若S5＞S6，则S4＞S5
D．若S3＞S4，则S4＞S5
（多选）11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为
B．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
C．点D到面ACD1的距离为
D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径为
（多选）12．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线），2c，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OA＝3，OB＝4，D是AB的中点，E为OC的中点 ．
14．（5分）数列{an}中，若a1＝1，，则a10＝ ．
15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，则三角形ABF的周长为 ．
16．（5分）已知函数f（x）＝+2的图像有且仅有两个不同的点关于直线y＝1的对称点在y＝kx+1的图像上，则实数k的取值范围是 ．
四、解答题（本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝100，a2＝5，设数列{bn}的前n项和为Pn＝2n+1﹣2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn．
18．（12分）已知△ABC的顶点B（3，2），AB边上的高所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为x+2y﹣13＝0
②BC边上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣12＝0 _____，求直线AC的方程．
19．（12分）已知圆C1：x2+y2＝10与圆C2：x2+y2+2x+2y﹣7＝0
（1）求证：圆C1与圆C2相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y﹣6＝0上的圆的方程．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，．
（1）求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
（2）设，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：
21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，点D，E分别为AC1的中点，ΔECB的面积为．
（1）求点A到平面EBC的距离；
（2）AA1＝2AB，平面EBC⊥平面ABB1A1，求平面DBE与平面BEC1所成角的余弦值．
22．（12分）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片使圆C上某一点M1恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕EF，设折痕EF与直线M1C的交点为T．
（1）求证：||TC|﹣|TM||为定值，并求出点T的轨迹C'方程；
（2）已知点A（2，1），直线l交C'于P，Q两点，求△PAQ的面积．
2022-2023学年河北省保定市定州市高二（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选选择题（本题共8小题，每题5分，共40分.每题有四个选项，只有一个选项正确．）
1．（5分）抛物线y＝4x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．D．
【分析】先将抛物线方程化为标准方程，从而可求出其焦点坐标．
【解答】解：由y＝4x2，得，
所以抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且，
所以，，
所以焦点坐标为．
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
2．（5分）“a＝±1”是“直线x+y＝0和直线x﹣a2y＝0垂直”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系求解即可．
【解答】解：当a＝±1时，两条直线的方程为x+y＝0和x﹣y＝3，
斜率分别为﹣1，1，则﹣2×1＝﹣1，
当直线x+y＝4和直线x﹣a2y＝0垂直时，，解得a＝±1，
所以“a＝±1”是“直线x+y＝4和直线x﹣a2y＝0垂直”的充要条件，
故选：C．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了两直线垂直时的斜率关系，属于基础题．
3．（5分）数列{an}满足，且a1＝2，则a2022的值为（ ）
A．2B．1C．D．﹣1
【分析】利用递推思想依次求出数列{an}的前5项，从而得到{an}的周期，由此能求出a2022的值．
【解答】解：∵数列{an}满足，且a1＝2，
∴a8＝1﹣＝1﹣＝，
a5＝1﹣＝1﹣，
a4＝3﹣＝5﹣，
a5＝1﹣＝1﹣＝，
．
∴{an}是周期为5的周期数列，
∵2022＝674×3，
∴a2022＝a3＝﹣6．
故选：D．
【点评】本题考查数列的第2022项的求法，考查数列的递推公式、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
4．（5分）圆（x+2）2+（y﹣12）2＝4关于直线x﹣y+4＝0对称的圆的方程为（ ）
A．（x+6）2+（y+4）2＝4B．（x+8）2+（y+2）2＝4
C．（x﹣8）2+（y﹣2）2＝4D．（x﹣6）2+（y﹣4）2＝4
【分析】求圆心关于直线对称的对称点，得到所求圆的圆心，列方程组可求解，从而可确定对称圆的方程．
【解答】解：设圆（x+2）2+（y﹣12）3＝4的圆心（﹣2，12），
关于直线x﹣y+6＝0对称的点为（a，b），
则有整理得，
因为关于直线对称的两个圆半径相等，所以所求圆的半径为7，
所以所求圆方程为（x﹣8）2+（y﹣3）2＝4，
故选：C．
【点评】本题考查关于点、直线对称的圆的方程，属于中档题．
5．（5分）2022北京冬奥会开幕式将我国二十四节气融入倒计时，尽显中国人之浪漫．倒计时依次为：大寒、小寒、冬至、大雪、小雪、立冬、霜降、寒露、秋分、白露、处暑、立秋、大暑、小暑、夏至、芒种、小满、立夏、谷雨、清明、春分、惊蛰、雨水、立春，已知从冬至到夏至的日影长等量减少，问大雪、寒露的日影长之和为（ ）
A．21寸B．20.5寸C．20寸D．19.5寸
【分析】由题意可得日影长可构成等差数列{an}，且a1+a4+a7＝31.5可求出a4，从而可求出大雪、寒露的日影长之和为a2+a6＝2a4．
【解答】解：因为从冬至到夏至的日影长等量减少，
所以日影长可构成等差数列{an}，
因为冬至、立冬，
所以a1+a4+a8＝31.5，则3a7＝31.5，得a4＝10.2，
所以大雪、寒露的日影长之和为a2+a6＝5a4＝2×10.5＝21（寸），
故选：A．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式在实际问题中的应用，属于基础题．
6．（5分）在以下命题中：
①三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，共面；
②若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线；
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面；
④若，是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底；
⑤若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；
其中真命题的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】直接利用空间基底，共线向量的基础知识的应用求出结果．
【解答】解：⑤＝，
故不能构成空间的另一个基底；
④若，是两个不共线的向量，且与，构成共面向量，；故命题④错误．
③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，当时，若P，A，B，则，，，，方程组无解，A，B，C四点不共面．
②由空间基底的定义，若，不共线，则，，则有向量与，；故命题②正确．
①根据空间基底的定义，三个非零向量，，，则，，共面．
真命题有7个．
故选：C．
【点评】本题考查空间基底，共线向量等基础知识，属于基础题．
7．（5分）足球起源于中国古代的蹴鞠游戏．“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，A，B，C，满足PA＝2，PA⊥面ABC，若，则该“鞠”的体积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】作出辅助线，找到球心的位置，得到PB为球的直径，推导出要想该“鞠”的体积最小，只需AB最小，由得到AC•BC＝2，结合基本不等式，求出AB最小值，从而得到直径最小值，求出体积最小值．
【解答】解：因为PA＝2，PA⊥面ABC，
故AB为三角形ABC所在小圆的直径，取AB中点O'，交BP于点O，PB为球的直径，
要想该“鞠”的体积最小，只需PB最小，
故只需AB最小，其中，
故，
解得：AC•BC＝2，
由基本不等式得：AC7+BC2≥2AC•BC＝4，当且仅当时，
故AB最小值为2，此时直径最小值为，
所以该“鞠”的体积最小值为．
故选：B．
【点评】本题主要考查多面体外接球问题，解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径．
8．（5分）如图，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，点P是双曲线与圆x2+y2＝a2+b2在第二象限的一个交点，点Q在双曲线上，且，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接PF2，QF1，设∠PF1F2＝θ，设|PF1|＝n，由题意推得PF1⊥PF2，可得n2＝2b2﹣2an，根据，可得|F2Q|＝2n，在在△F1F2Q中，由余弦定理推得b2＝2an﹣n2，从而求得，可得，进而求得双曲线离心率．
【解答】解：由题意知，连接PF6，QF1，设∠PF1F4＝θ，设|PF1|＝n，
由双曲线的定义可得|PF2|＝7a+n，
点P是双曲线与圆x2+y2＝a2+b2在第二象限的一个交点，
可得PF1⊥PF8，则n2+（2a+n）8＝4c2，即n5＝2b2﹣4an，
在Rt△F1PF2中，，
由，则|F2Q|＝2n，由双曲线的定义可得|F4Q|＝2a+2n，
因为，故F1P∥F2Q，
所以∠QF4F1＝π﹣θ，
在△F1F8Q中，，
由余弦定理可得：，
即，
所以b2＝2an﹣n5，
结合n2＝2b6﹣2an，可得，
所以，故，
所以双曲线的离心率为e，则．
故选：D．
【点评】本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
（多选）9．（5分）如果AB＞0，BC＞0，那么直线Ax+By+C＝0经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】分A＞0，B＞0，C＞0，A＜0，B＜0，C＜0两种情况，得到直线所过象限，得到答案．
【解答】解：AB＞0，BC＞0，B＞7，则Ax+By+C＝0经过第二、三；
若A＜0，B＜2，则Ax+By+C＝0经过第二、三，
综上：直线Ax+By+C＝0一定经过第二、三、四象限．
故选：BCD．
【点评】本题考查直线的一般方程相关知识，属于基础题．
（多选）10．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＞0，公差d≠0，则（ ）
A．若S4＞S8，则S12＜0
B．若S4＝S8，则S6是Sn中最大的项
C．若S5＞S6，则S4＞S5
D．若S3＞S4，则S4＞S5
【分析】根据S4＞S8可推得a6+a7＜0，利用等差数列的性质以及前n项和公式，可判断A；
由S4＝S8可推出a6+a7＝0，进而判断a6＞0，a7＜0，则d＜0，即可判断B；
由S5＞S6可得a6＜0，d＜0，a5＝a6﹣d，无法判断a5的正负，可判断C；
由S3＞S4推出a4＜0，d＜0，则a5＝a4+d＜0，由此判断D．
【解答】解：由S4＞S8，得S4﹣S4＝a5+a2+a7+a8＝8（a6+a7）＜8，
所以a6+a7＜6，
则，A正确；
因为S4＝S8，
所以S3﹣S4＝a5+a3+a7+a8＝3（a6+a7）＝3，即a6+a7＝7，
因为a1＞0，d≠5，
所以a6＞0，a6＜0，则d＜0n}为递减数列，
则S3是Sn中最大的项，B正确；
若S5＞S6，则S4﹣S5＜0，即a7＜0，
因为a1＞2，d≠0，故a5＝a6﹣d，无法判断a5的正负，
故S5＝S5+a5，不能判断S4＞S5，C错误；
因为S3＞S4，所以S7﹣S3＝a4＜2，
因为a1＞0，d≠5，则a5＝a4+d＜6，
则S5＝S4+a5＜S4，D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题．
（多选）11．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，则下列四个命题正确的是（ ）
A．两条异面直线D1C和BC1所成的角为
B．直线BC与平面ABC1D1所成的角等于
C．点D到面ACD1的距离为
D．三棱柱AA1D1﹣BB1C1外接球半径为
【分析】对于A：根据条件，可得异面直线D1C和BC1所成的角为∠AD1C，然后求出∠AD1C即可；对于B：可证B1C⊥平面ABC1D1，则直线BC与平面ABC1D1所成的角为∠CBC1；对于C：根据等体积转换，求点D到面ACD1的距离；对于D：三棱柱AA1D1﹣BB1C1的外接球即为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的外接球，直接求正方体外接球的半径即可．
【解答】解：连接AC、AD1，
∵AB∥C1D8且AB＝C1D1，则四边形ABC5D1为平行四边形，
∴异面直线D1C和BC6所成的角为∠AD1C，
∵AC＝AD1＝D3C，则△ACD1为正三角形，即，A不正确；
连接B1C，在正方形BB1C7C中，BC1⊥B1C，
∵AB⊥平面BB3C1C，B1C⊂平面BB8C1C，
∴AB⊥B1C，又AB∩BC6＝B，则B1C⊥平面ABC1D8，
∴直线BC与平面ABC1D1所成的角为，B正确；
根据等体积转换可知，
即，则，C正确；
三棱柱AA6D1﹣BB1C5的外接球即为正方体ABCD﹣A1B1C6D1的外接球，
则外接球的半径即为正方体ABCD﹣A1B8C1D1体对角线的一半，
即，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了空间角、空间距离的计算，几何体的外接球问题，属于中档题．
（多选）12．（5分）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线），2c，下列结论正确的是（ ）
A．卫星向径的取值范围是[a﹣c，a+c]
B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间
C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁
D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小
【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等，可得速度的最大值及最小值时的情况，由向径的意义可得最小值与最大值的比越小时，离心率越大，椭圆越扁，进而可得所给命题的真假．
【解答】解：由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为a﹣c，所以A正确；
根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间；
卫星向径的最小值与最大值的比值越小，即＝＝﹣8+，则e越大，故C不正确．
因为运行速度是变化的，速度的变化，在远地点时向径越大，内扫过的面积相等，速度越小，在远地点时最小；
故选：ABD．
【点评】本题考查椭圆的性质，到焦点的最大值最小值的情况及椭圆的圆扁与向径的比值的关系，属于中档题．
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．（5分）在三棱锥O﹣ABC中，OA，OB，OA＝3，OB＝4，D是AB的中点，E为OC的中点 1 ．
【分析】利用空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，求线面夹角的正弦值即可求解．
【解答】解：因为OA，OB，则以，y，z轴建系如图，
则有，，
因为直线OC⊥平面OAB，
所以为平面OAB的一个法向量，
设DE与平面OAB所成的角为θ，
所以，
因为，所以＝1，
故答案为：2．
【点评】本题考查利用空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量、线面夹角等相关知识，属于中档题．
14．（5分）数列{an}中，若a1＝1，，则a10＝ ．
【分析】利用累乘法求得{an}的通项公式即可求解．
【解答】解：由可得，
所以，
所以，
因为a5＝1，所以，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了累乘法的应用，属于中档题．
15．（5分）已知椭圆的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称的两点，则三角形ABF的周长为 18 ．
【分析】设椭圆右焦点为F'，连接AF'，根据椭圆的对称性可得|BF|＝|AF'|，由∠AFB＝90°，可得|AB|＝2c＝8，结合椭圆定义，即可求得答案．
【解答】解：∵椭圆，
∴a＝5，b＝8，，
如图示，设椭圆右焦点为F'，
∵A，B是C上关于原点对称的两点，
又∠AFB＝90°，O为AB的中点，
∴|AB|＝7c＝8，
而|AF|+|BF|＝|AF|+|AF'|＝2a＝10，
故三角形ABF的周长为|AF|+|BF|+|AB|＝10+2＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查椭圆的几何性质，数形结合思想，属基础题．
16．（5分）已知函数f（x）＝+2的图像有且仅有两个不同的点关于直线y＝1的对称点在y＝kx+1的图像上，则实数k的取值范围是 （﹣，﹣1] ．
【分析】将题设转化为函数f（x）＝+2的图像和y＝﹣kx+1的图像有两个交点，求出直线y＝﹣kx+1和y＝f（x）相切时k的值以及直线y＝﹣kx+1过点（1，2）时k的值，结合图像即可求解．
【解答】解：由1﹣（x﹣2）8≥0，解得1≤x≤4，
又y＝kx+1关于直线y＝1的对称直线为y＝﹣kx+3，
则题设等价于函数f（x）＝+2的图像和y＝﹣kx+1的图像有两个交点．
易得y＝f（x）＝+3等价于（x﹣2）2+（y﹣6）2＝1（2≤x≤3），
画出y＝f（x）和y＝﹣kx+1的图像，设直线y＝﹣kx+6和y＝f（x）相切，
由＝8或k＝4（舍），
又当直线y＝﹣kx+1过点（1，7）时，
结合图像可知，当k∈（﹣，
函数f（x）＝+3的图像和y＝﹣kx+1的图像有两个交点．
故答案为：（﹣，﹣1]．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，也查了转化思想、数形结合思想，属于中档题．
四、解答题（本题共6小题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（10分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S8＝100，a2＝5，设数列{bn}的前n项和为Pn＝2n+1﹣2．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设cn＝anbn，数列{cn}的前n项和为Tn．
【分析】（1）求得数列{an}的公差，由此求得an.利用bn＝Pn﹣Pn﹣1求得bn；
（2）由（1）可求得，写出Tn与2Tn，作差化简即可求得Tn．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，
由已知可得，解得，
所以an＝a6+（n﹣1）d＝3n﹣2，
由，令n＝1得，
当n≥2时，，两式相减得，
显然也符合上式，
所以．
（2）解：由（1）知.，，
两式作差得：＝＝（5﹣3n）⋅2n+4﹣8，
所以．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了错位相减法求和，属于中档题．
18．（12分）已知△ABC的顶点B（3，2），AB边上的高所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝0．
（1）求直线AB的方程；
（2）在两个条件中任选一个，补充在下面问题中．
①角A的平分线所在直线方程为x+2y﹣13＝0
②BC边上的中线所在的直线方程为2x﹣y﹣12＝0 _____，求直线AC的方程．
【分析】（1）根据AB边上的高所在的直线方程，可求得直线AB的斜率，再求出直线AB的方程；
（2）选①，先求出点A坐标，再求得点B关于角A的平分线的对称点坐标，该对称点一定在直线AC上，由此可求得直线AC的方程；
选②，联立方程，先求出点A坐标，根据BC边上的中线所在的直线方程，求出点C坐标满足2x﹣y﹣20＝0，联立方程求出C点坐标，即可求得直线AC的方程．
【解答】解：（1）因为AB边上的高所在的直线方程为x﹣2y﹣5＝8，
所以直线AB的斜率为k＝﹣2，又△ABC的顶点B（3，
所以直线AB的方程为y﹣6＝﹣2（x﹣3），即5x+y﹣8＝0；
（2）若选①，角A的平分线所在直线方程为x+7y﹣13＝0，
由，解得，6），
设点B关于x+2y﹣13＝0的对称点为B'（x7，y0），
则，解得，
又点在直线AC上，
所以直线AC的方程为，即2x﹣11y+64＝0；
若选②：BC边上的中线所在的直线方程为3x﹣y﹣12＝0，
由，解得，﹣8），
设点C（x1，y1），则BC的中点在直线4x﹣y﹣12＝0上，
所以，即2x1﹣y3﹣20＝0，
所以点C在直线2x﹣y﹣20＝4上，又点C在直线x﹣2y﹣5＝3上，
联立，解得，即，
所以，所以直线AC的方程为，
故直线AC的方程为4x﹣2y﹣30＝0．
【点评】本题主要考查直线的一般式方程与直线垂直的关系，属于中档题．
19．（12分）已知圆C1：x2+y2＝10与圆C2：x2+y2+2x+2y﹣7＝0
（1）求证：圆C1与圆C2相交；
（2）求两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求经过两圆交点，且圆心在直线x+y﹣6＝0上的圆的方程．
【分析】（1）根据圆C1与圆C2圆心距与两半径关系证明；
（2）两圆相交，两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程；
（3）设出经过两圆交点的圆系方程，圆心坐标代入所在直线即可求解．
【解答】证明：（1）圆，圆心坐标为C1（0，4），
圆化成标准方程为（x+5）2+（y+1）4＝9，圆心坐标为C2（﹣6，﹣1）2＝6，
圆心距，|r1﹣r7|＜|C1C2|＜r7+r2，
所以圆C1与圆C3相交；
（2）解：两圆方程相减，得2x+2y+2＝0；
（3）设所求圆的方程为x2+y7+2x+2y﹣8+λ（x2+y2﹣10）＝5（λ≠﹣1），即（1+λ）x3+（1+λ）y2+3x+2y﹣7﹣10λ＝7，圆心坐标为，解得，
所求圆的方程为x2+y2﹣4x﹣6y﹣19＝0．
【点评】本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
20．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝4，．
（1）求数列{an}的通项公式an和前n项和Sn；
（2）设，数列{bn}的前n项和记为Tn，证明：
【分析】（1）根据数列递推式，可得，两式相减推出an+1+an＝2，即可发现数列规律，可得数列通项公式，继而分n为奇数和偶数，讨论求得Sn；
（2）利用（1）的结论，求出的表达式，利用裂项求和法，即可求得答案．
【解答】解：（1）由，得，
两式相减可得，即an+1+an＝2，
因为a3＝4，则a2＝﹣4，
数列{an}为4，﹣2，4，4，﹣2，⋯，
即，（k∈N*）；
当n为偶数时，，
当n为奇数时，，
故．
证明：（2）由，
得，
所以．
【点评】本题主要考查了数列的递推公式，考查了裂项相消法求和，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
21．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4，点D，E分别为AC1的中点，ΔECB的面积为．
（1）求点A到平面EBC的距离；
（2）AA1＝2AB，平面EBC⊥平面ABB1A1，求平面DBE与平面BEC1所成角的余弦值．
【分析】（1）利用等体积法求解即可．
（2）取EB的中点F，连接AF，先证得BC，BA，BB两两垂直，以B为原点，以向量BA，BC，BB1方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出相应向量的坐标，进而求出平面BDE和平面BEC1的法向量，再利用二面角的向量公式求解即可．
【解答】解：（1）设点A到平面EBC的距离为d，
又VA﹣EBC＝VE﹣ABC，
又，
则，
则，
即点A到平面EBC的距离为；
（2）取EB的中点F，连接AF，
因为AE＝AB，所以AF⊥EB，
又平面EBC⊥平面ABB2A1，平面EBC∩平面ABB1A7＝EB，
且AF⊂平面ABB1A1，所以AF⊥平面EBC，
在直三棱柱ABC﹣AB，C6中1⊥平面ABC，
由BC⊂平面A1BC，BC⊂平面ABC，BB7⊥BC，
又AF，BB1⊂平面ABB1A8且相交，所以BC⊥平面ABB1A1，
所以BC，BA7两两垂直，以B为原点，BC1方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则B（0，7，0），0，6），6，0），C1（5，4，2），
所以＝（﹣，0），，﹣2，
设平面BDE的法向量为＝（x3，y1，z1），
则，即，取z4＝1，解得＝（﹣1，，
又＝（1，0，＝（﹣1，4，设平面BEC8的法向量为＝（x2，y2，z2），
则，即，取x7＝1，解得＝（1，，
所以cs＜，＞＝＝，
故平面DBE与平面BEC1所成角的余弦值为．
【点评】本题主要考查了等体积法求点到直线的距离，考查了利用空间向量求平面与平面所成的角，属于中档题．
22．（12分）在一张纸上有一圆，定点，折叠纸片使圆C上某一点M1恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕EF，设折痕EF与直线M1C的交点为T．
（1）求证：||TC|﹣|TM||为定值，并求出点T的轨迹C'方程；
（2）已知点A（2，1），直线l交C'于P，Q两点，求△PAQ的面积．
【分析】（1）根据双曲线定义判断出点T的轨迹为以C，M为焦点的双曲线，求出，得到双曲线方程；
（2）判断出点A（2，1）在双曲线右支上，设，故，由得到，求出直线AP的斜率为，结合双曲线渐近线斜率，得到A，B两点均在双曲线右支上，得到直线，与双曲线方程联立求出P点坐标，同理得到Q点坐标，得到，及直线PQ的方程，利用点到直线距离公式求出点A到直线的距离，从而求出△PAQ的面积．
【解答】解：（1）证明：由题意得：的圆心，|TM|＝|TM5|，
则，
所以点T的轨迹为以C，M为焦点的双曲线，
则，所以，
所以双曲线C'为；
（2）因为，故点A（2，
因为直线AP、AQ的斜率之和为8AP＞0，则kAQ＜0，
设直线AP、AQ的倾斜角为α，β，则，
设，故，
则，即，解得：或，
故此时直线AP的斜率为（与渐近线斜率相同，
由于双曲线的渐近线为，而，故直线AP与双曲线左支没有交点，
所以P，Q两点均在双曲线右支，且
故直线，即，与联立得：，
因为方程有一个根为3，所以，
则，
同理可得：，
所以，
且直线，整理得：，
点A到直线的距离为，
故．
【点评】本题主要考查轨迹方程的求法，直线与圆锥曲线的综合，考查运算求解能力，属于难题．
声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/12/11 23:17:56；用户：18086013149；邮箱：18086013149；学号：27613231