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苏科版七年级数学上册常考题提分精练 期末难点特训（三）选填压轴题50道（原卷版）
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这是一份苏科版七年级数学上册常考题提分精练 期末难点特训（三）选填压轴题50道（原卷版），共45页。试卷主要包含了在一列数等内容，欢迎下载使用。
1．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（ ）
A．1B．3C．7D．9
2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为（ ）
A． B．C．D．
3．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
4．若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M≤ND．不能确定
5．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．b＋c＜0C．a＋c＞0D．ac＞ab
6．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
7．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从这点开始跳，则经过次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：
第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．
此时，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（ ）
A．乙有4枚硬币B．乙有5枚硬币
C．乙有6枚硬币D．乙的硬币无法确定
10．如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在长方形中，，，点是上的点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为（ ）
A．或B．或或C．或D．或或
12．已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于（ ）
A．0B．110C．210D．220
13．如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2B．-2C．0D．4
14．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（ ）
A．第505个正方形的左下角B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角D．第506个正方形的右上角
15．如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为( )
A．15°B．20°C．25°D．30°
16．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（ ）
A．180元B．202.5元
C．180元或202.5元D．180元或200元
17．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用右图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是 （ ）
A．金字塔 B．拱桥
C．房屋D．金鱼
18．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．32B．33C．34D．35
19．点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P对应的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点O
20．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（ ）
A．8B．﹣8C．﹣12D．12
21．按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2021位上的数字是（ ）
A．1B．3C．7D．9
22．已知，求：a+b+c+d+e+f =（ ）
A．2B．0C．-1D．－2
23．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 _____cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 _____cm．
24．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________（用含的代数式表示）.
25．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；
③；④，可以表示的余角的有____________（填序号即可）．
26．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____．
27．如图，若数轴上的有理数a，b满足|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，则＝_____．
28．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．
29．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条．
30．对于正整数n，定义其中表示n的首位数字､末位数字的平方和．例如：，．规定，．例如：，．按此定义_____．
31．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为______．
32．对任意有理数a、b．下面四个结论：①a+b＞a；②|﹣a|＝a；③a2≥0；④﹣|﹣a|＝|﹣（﹣a）|．其中，正确的结论有_____（填写序号）．
33．将相同的棋子按如图所示的规律摆放，依此规律，第8个图形共有_____枚棋子．
34．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
35．如图所示的图形都是由大小相同的黑点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有个黑点，第②个图形中一共有个黑点，第③个图形中一共有个黑点，…，按此规律排列下去，第个图形中黑点的个数为_______________．(用含的代数式表示)
36．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入，第2个格子填入，第3个格子填入，…，第个格子填入，以此类推．
设表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，当，，且时，该表中前20个数的和等于______．
37．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和的两点之间的距离，可列式表示为，或；表示数和的两点之间的距离可列式表示为．已知，则的最大值为______．
38．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则______．
39．如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为________．
40．如图，一根绳子对折以后用线段表示，在线段的三等分点处将绳子剪短，若所得三段绳长的 最大长度为，则这根绳子原长为________．
41．在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
42．观察等式：；；…，已知按一定规律排列的一组数：．若，用含m的式子表示这组数的和是__________．
43．如表，从左到右在每个小格中都填入一个整数、使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是 _____．
44．如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为__________．
45．如图，是一个由若干个小正方体搭成的几何体的主视图与视图，设搭这样的几何体最多需要m块小立方块，最少需要n块小立方块，则m+n=_____．
46．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个．
47．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是_______．
48．对于数轴上的两点P，Q（点P在点Q左边）给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为||POQ||．例如；P，Q两点表示的数如图所示，则|POQ|＝|PO﹣QO|＝|3﹣1|＝2．已知PQ＝3，||POQ||＝2，则此时点P表示的数为 _____．
49．一组“数值转换机”按照下面的程序计算，如果开始输入的为正整数，最后输出的结果为1339，则满足条件的的不同值最多有____________个．
50．如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
-2
-1
0
1
2
-12
-8
-4
0
4
…
…
﹣1
a
b
c
3
b
﹣5
…
期末难点特训（三）选填压轴题50道
1．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（ ）
A．1B．3C．7D．9
【答案】D
【分析】根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，进而可以得到这一列数中的第2021个数．
【详解】解：由题意可得，
a1＝7，
a2＝1，
a3＝7，
a4＝7，
a5＝9，
a6＝3，
a7＝7，
a8＝1，
…，
∵2021÷6＝336…5，
∴这一列数中的第2021个数是9，
故选：D．
【点睛】本题考查了数字类找规律，发现6次一循环是解题的关键．
2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为（ ）A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出方程组，求出m、n的值，再代入求出x即可．
【详解】解：根据表格可知：，
解得：，
∴整式为
代入得：-4x-4=8
解得：x=-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键．
3．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点A．
故选C．
【点睛】此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
4．若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M≤ND．不能确定
【答案】A
【分析】直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．
【详解】解：∵M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，
∴N﹣M＝（4x2+5x+3）﹣（3x2+5x+2）
＝4x2+5x+3﹣3x2﹣5x﹣2
＝x2+1，
∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴N＞M．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，正确合并同类项是解题的关键．
5．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．b＋c＜0C．a＋c＞0D．ac＞ab
【答案】B
【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．
6．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角
第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，
第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，
第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同
则，
先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．
故选择：B．
【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
7．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从这点开始跳，则经过次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意写出前几次跳动的停靠点，发现4次跳动后回到出发点，即每4次跳动为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定所停的位置即可．
【详解】从1这点开始跳，第1次停在数字3，
第2次跳动停在5，
第3次跳动停在2，
第4次跳动停在1，
…，
依此类推，每4次跳动为一个循环组依次循环，
2021÷4=505余1，
即经过2021次后与第1次跳动停的位置相同，对应的数字是3．
故选：C．
【点睛】本题考查是对图形变化规律的考查，读懂题目信息，理解跳动方法并求出每4次跳动为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短与垂线段最短可判断方案B比方案C、D中的管道长度最短，根据垂线段最短可判断方案B比方案A中的管道长度最短．
【详解】解：四个方案中，管道长度最短的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
9．甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：
第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．
此时，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（ ）
A．乙有4枚硬币B．乙有5枚硬币
C．乙有6枚硬币D．乙的硬币无法确定
【答案】C
【分析】可设每个人都发x枚硬币，根据题目要求用含x的代数式分别表示出每步之后甲、乙、丙手中硬币的数量，再根据甲的硬币数是丙的硬币数的2倍列出方程计算即可得解．
【详解】解：设每个人都发x枚硬币，由题意知，第一步中，甲有x枚硬币、乙有x枚硬币，丙有x枚硬币，
第二、三步后，甲有（x﹣2）枚硬币，乙有（x﹣1）枚硬币，丙有（x+3）枚硬币，
第四步后，甲有2（x﹣2）枚硬币，丙的硬币有x+3﹣（x﹣2）＝5（枚），
依题意有2（x﹣2）＝5×2，
解得x＝7，
此时乙有x﹣1＝7﹣1＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出四步后的一元一次方程即可．
10．如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x−24°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x−24°，于是利用平角定义可计算出x＝68°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°−∠B′FE＝112°，所以∠AEF＝112°．
【详解】如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE−∠CFE＝x−24°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x−24°，
而∠B′FE＋∠BFE＋∠C′FE＝180°，
∴x＋x＋x−24°＝180°，
解得x＝68°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°−∠B′FE＝180°−68°＝112°，
∴∠AEF＝112°．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
11．如图，在长方形中，，，点是上的点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为（ ）
A．或B．或或C．或D．或或
【答案】C
【分析】分为三种情况讨论，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE＝S四边形ABCD −S△CDP−S△APE−S△BCE建立方程求出其解即可；当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE＝PE•BC＝18建立方程求出其解即可．
【详解】解：设点P运动的时间为ts．
∵，
∴AE=4cm，BE=2cm
如图，当0＜t≤3时，S△PCE＝×2t×8＝18，解得t＝（s）；
如图，当3＜t≤7时，S△PCE＝40−S△CDP−S△APE−S△BCE＝48−×6×（2t-6）−×4×（14-2t）−×8×2=18
解之得：t＝6（s）；
如图，当7＜t≤9时，S△PCE＝×8×（18−2t）＝18，
解得t＝（s）．
∵＜7，
∴t＝应舍去
综上，当t＝s或6s时，△PCE的面积等于18cm2．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟知矩形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意找到数量关系列方程求解．
12．已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于（ ）
A．0B．110C．210D．220
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，推理出y20的所有可能的取值，从而计算绝对值之和即可．
【详解】解：若，则等于1或-1；
若，则等于2或或0；
…
，
若y20中有20项为1，0项为-1，则y20=20，
若y20中有19项为1，1项为-1，则y20=18，
…
以此类推，
若y20中有0项为1，20项为-1，则y20=-20，
∴y20的所有可能的取值为-20，-18，…，0，…，18，20，
则y20的这些所有的不同的值的绝对值的和等于0+（2+4+…+20）×2=220，
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的混合运算，发现规律是解题关键．
13．如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2B．-2C．0D．4
【答案】B
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，
∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，
∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；
∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=；
故选：B．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
14．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（ ）
A．第505个正方形的左下角B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角D．第506个正方形的右上角
【答案】D
【分析】观察图形可知每个正方形上标4个数，由2021÷4=505……1可得出2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，结合1所标的位置即可得出2021标在第506个正方形的右下角．
【详解】解：观察图形，可知：每个正方形上标4个数，
∵2021÷4=505……1，505+1=506，
∴2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，
∴2021标在第506个正方形的右上角．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化找出正方形四个顶点所标的数字的规律是解题的关键．
15．如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为( )
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】D
【分析】根据∠1=∠BOD+EOC∠BOE，利用等腰直角三角形的性质，求得∠BOD和∠EOC的度数，从而求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意，有，
∴，，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+∠COE∠BOE这一关系是解决本题的关键．
16．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（ ）
A．180元B．202.5元
C．180元或202.5元D．180元或200元
【答案】C
【分析】付款162元，那么他买的书的总价钱一定超过了100元，有可能享受九折优惠，还有可能享受8折优惠，不享受优惠即原价，利用打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8，由此列方程分别求出即可．
【详解】解：设这些书的原价是x元．
∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，
∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．
即享受9折优惠时，0.9x=162，
解得：x=180元；
享受8折优惠时，0.8x=162，
解得x=202.5；
故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据所给条件得到相应的关系式是解决问题的关键，注意分类讨论思想的渗透．
17．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用右图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是 （ ）
A．金字塔 B．拱桥
C．房屋D．金鱼
【答案】C
【分析】设正方形的边长为2，则①②都是直角边为的等腰直角三角形，据此还可得到其余图形的各边长；接下来结合勾股定理可判断边长之间的关系，据此可得到答案.
【详解】如图，
设正方形的边长为2，从而可知①②都是直角边为的等腰直角三角形；
③⑥都是直角边为的等腰直角三角形；
④是两边长分别为1和的平行四边形；
④是边长为的正方形；
⑦是直角边为1的等腰直角三角形，
观察图形可知，C中等腰直角三角形的直角边与平行四边形的长边不可能重合，故七巧板构不成图案C.
故选C.
【点睛】本题考查了图形拼接与勾股定理，根据勾股定理求出各图形的边长是解答本题的关键.
18．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．32B．33C．34D．35
【答案】C
【分析】根据前4个图形中黑色三角形的个数，总结出规律，然后根据规律得出答案即可．
【详解】第①个图形中有1个黑色三角形，
第②个图形中有4个黑色三角形，，
第③个图形中有8个黑色三角形，，
第④个图形中有13个黑色三角形，，
第⑤个图形中黑色三角形的个数为，
第⑥个图形中黑色三角形的个数为，
第⑦个图形中黑色三角形的个数为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形类规律，找到规律是解题的关键．
19．点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P对应的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点O
【答案】A
【分析】根据式子的符号判断数轴上点的位置，根据，，有理数的乘法法则和加法法则即可判断，，据此判断即可
【详解】解：，，
，且
∴点表示的数为
点表示的数为
故表示数b的点为点
故选A
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，加法法则，用数轴上的点表示有理数，掌握有理数的加法法则和乘法法则解题的关键．
20．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（ ）
A．8B．﹣8C．﹣12D．12
【答案】D
【分析】根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值．
【详解】∵2×5﹣1×（﹣2）=12，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，
∴y=0×3﹣6×（﹣2）=12．
故选D．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．
21．按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2021位上的数字是（ ）
A．1B．3C．7D．9
【答案】C
【分析】根据题意，进行六次操作后找到规律，是以7139四位数为周期循环出现，由此可以得出第2021位上的数字．
【详解】解：进行第一次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是71；
进行第二次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是713；
进行第三次操作，3×3＝9，积是一位数，所以得到的数是7139；
进行第四次操作，9×3＝27，积是两位数，所以得到的数是71397；
进行第五次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是713971；
进行第六次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是7139713；
进行第七次操作，3×9＝27，积是两位数，所以得到的数是71397139；
此时，根据以上规律，可以发现这个数是以7139四位数为周期循环出现；
所以，第2020次操作后：2021÷4＝55…1，意思是进行2020次操作后，7139已经完整循环了55次，还余下1次，
而第2021位上应是下一个循环的开头的数字7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，理解题意，找准变化的规律是解题的关键．
22．已知，求：a+b+c+d+e+f =（ ）
A．2B．0C．-1D．－2
【答案】C
【分析】令x=1，代入原式即可求解．
【详解】∵
∴当x=1时，a+b+c+d+e+f =
故选C．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据等式发现特点求解．
23．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 _____cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 _____cm．
【答案】 2或4##4或2 30
【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线上、在线段AB的延长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值；
（2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值；
【详解】解：（1）∵BE＝3AE，
∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm，
当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm，
故答案为：2或4．
（2）∵BE＝3AE，
∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE），
当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm，
故3ED+BE的最小值为30cm，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3（DE+AE）是解题的关键．
24．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________（用含的代数式表示）.
【答案】
【分析】由题意∠AOF可能为锐角或∠AOF也可能为钝角，故需讨论这两种情况．
【详解】解：由题意，需讨论一下两种情况：
如图1，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°．
∴∠AOF＝180°−∠AOC−∠COE＝180°−90°−m°＝90°−m°．
②如图2．
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°．
∵∠COE与∠DOF是对顶角，
∴∠COE＝∠DOF＝m°．
∴∠AOF＝∠AOD＋∠DOF＝90°＋m°．
综上：∠AOF＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂直的定义以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义以及角的和差关系是解决本题的关键．
25．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；
③；④，可以表示的余角的有____________（填序号即可）．
【答案】①②④
【详解】解：已知∠β的余角为：90°-∠β，故①正确；
∵∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，
∴∠α+∠β=180°，∠α＞90°，
∴∠β=180°-∠α，
∴∠β的余角为：90°-（180°-∠α）=∠α-90°，故②正确；
∵∠α+∠β=180°，
∴（∠α+∠β）=90°，
∴∠β的余角为：90°-∠β=（∠α+∠β）-∠β=（∠α-∠β），故④正确，③错误．
故答案为①②④．
26．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____．
【答案】2
【分析】根据已知条件得出方程y+1＝3，求出方程的解即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，
解得：y＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．
27．如图，若数轴上的有理数a，b满足|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，则＝_____．
【答案】
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0，然后化简绝对值，从而可求得答案．
【详解】解：由题意可知：a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0，
∵|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，
∴a+2b+a﹣b＝﹣a．
整理得：3a+b＝0，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的化简和数轴上表示的数以及整式加减，解题关键是通过数轴能够确定绝对值内各式的正负，进而依据绝对值的意义化简绝对值．
28．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．
【答案】①②④
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断②正确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了角度的计算，解题的关键是结合图形和题中信息准确判断．
29．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条．
【答案】
【分析】如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…找到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，即可求得点A、B、C在同一条直线上，最多可以画条直线．
【详解】如果所有点都不在同一直线上，
当仅有两个点时，最多可连成1条直线；
当有3个点时，最多可连成1+2=3条直线；
当有4个点时，最多可连成1+2+3=6条直线；
当有5个点时，最多可连成1+2+3+4=10条直线；
…；
可以得到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，
已知点A、B、C在同一条直线上，
则点A、B、C任意两点的连线都是同一条直线，
故最多可以画条直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了探究图形类规律以及直线的性质：两点确定一条直线．注意讨论点共线及不共线的情况，不要漏解．
30．对于正整数n，定义其中表示n的首位数字､末位数字的平方和．例如：，．规定，．例如：，．按此定义_____．
【答案】145
【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）=F8（4），然后根据所得的规律即可求解．
【详解】解：F1（4）=16，F2（4）=F（16）=37，
F3（4）=F（37）=58，F4（4）=F（58）=89，
F5（4）=F（89）=145，F6（4）=F（145）=26，
F7（4）=F（26）=40，F8（4）=F（40）=16，
……
通过计算发现，F1（4）=F8（4），
∴，
∴；
故答案为：145．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，新定义运算，能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
31．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为______．
【答案】6或12
【分析】分类讨论：C在线段AB的延长线上，C在线段AB的反向延长线上，根据BC=3AB，可得BC的长，根据中点的性质，可得BD，BE的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB=6，BC=3AB，
∴BC=18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=AB=3，BE=BC=9，
DE=BD+BE=9+3=12；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB=6，BC=3AB，
∴BC=18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=AB=3，BE=BC=9，
DE=BD-BE=9-3=6．
故线段DE的长为6或12．
故答案为6或12．
【点睛】本题考查两点间的距离，分类讨论是解题关键．
32．对任意有理数a、b．下面四个结论：①a+b＞a；②|﹣a|＝a；③a2≥0；④﹣|﹣a|＝|﹣（﹣a）|．其中，正确的结论有_____（填写序号）．
【答案】③
【分析】根据有理数的性质、平方及绝对值的特点即可求解．
【详解】解：①a+b＞a，当b为负数时，原式不成立，故此选项错误；
②|﹣a|＝a，当a＜0时，原式不成立，故此选项错误；
③a2≥0，正确；
④﹣|﹣a|＝|﹣（﹣a）|，只有a＝0时，原式成立，故此选项错误．
故答案为：③．
【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知平方及绝对值的特点．
33．将相同的棋子按如图所示的规律摆放，依此规律，第8个图形共有_____枚棋子．
【答案】32
【分析】根据每一个图形棋子的个数都是第几个图形乘以4，即可求出答案．
【详解】解：根据所给的图形可得：
第一个图有：4＝1×4（个），
第二个图有：8＝2×4（个），
第三个图有：12＝3×4（个），
第4个图有：16＝4×4（个），
…，
则第n个为4n；
∴第8个图形共有32枚棋子．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
34．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
【答案】30或110##110或30
【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
35．如图所示的图形都是由大小相同的黑点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有个黑点，第②个图形中一共有个黑点，第③个图形中一共有个黑点，…，按此规律排列下去，第个图形中黑点的个数为_______________．(用含的代数式表示)
【答案】
【分析】每幅图中每行一共两种黑点数，第副图，每行黑点数是个的行数是行，每行黑点数是个的行数是，即可求出结果．
【详解】解：第一幅图，每行1个黑点一共1行，
第二幅图，每行2个黑点一共2行，每行1个黑点一共1行，
第三幅图，每行3个黑点一共3行，每行2个黑点一共2行，
……
第副图，每行个黑点一共行，每行个黑点一共行，
∴黑点的个数是：．
故答案是：．
【点睛】本题考查找规律，解题的关键是找出图形中的规律，并用代数式表示出来．
36．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入，第2个格子填入，第3个格子填入，…，第个格子填入，以此类推．
设表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，当，，且时，该表中前20个数的和等于______．
【答案】35或55
【分析】根据表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等得到表格中从左向右每4个数字一个循环，根据得到或，可得前4个数的和，从而可得结果．
【详解】解：∵任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，
∴a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5，当，时，
∴a5=a1=1；同理a6=a2=5，
∴表格中从左向右每4个数字一个循环，
∵，
∴或，
∴或，
∴或，
∴前4个数的和为1+5+1=7或1+5+5=11，
∴该表中前20个数的和等 于7×5=35或11×5=55，
故答案为：35或55．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，以及学生观察、分析、总结规律的能力，得出格子中的数每4个为一个循环组依次循环是解题的关键．
37．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和的两点之间的距离，可列式表示为，或；表示数和的两点之间的距离可列式表示为．已知，则的最大值为______．
【答案】4
【分析】根据题意分别得到和的最小值，结合得到=4，=5，根据x和y的范围得到x+y的最大值．
【详解】解：由题意可得：
表示x与-3的距离和x与1的距离之和，
表示y与-2的距离和y与3的距离之和，
∴当-3≤x≤1时，有最小值，且为1-（-3）=4，
当-2≤x≤3时，有最小值，且为3-（-2）=5，
∵，
∴=4，=5，
∴x+y的最大值为：1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键．
38．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则______．
【答案】-2
【分析】根据，可得：，所以，据此求的值为多少即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
=
=
=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
39．如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为________．
【答案】12或30．
【分析】根据角平分线定义列出方程可求解．
【详解】解：（1）∵∠AOC=120°，
∵OP所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AOP=180°-∠AOC=120°（此时OP在角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在角平分线上），
∴10t=120或10t=300，
∴t=12或30，
故答案为：12或30．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，平角的定义，列出正确的方程是本题的关键．
40．如图，一根绳子对折以后用线段表示，在线段的三等分点处将绳子剪短，若所得三段绳长的 最大长度为，则这根绳子原长为________．
【答案】12或24
【分析】根据绳子对折后用线段AB表示，可得绳子长是AB的2倍，分两种情况讨论，根据三等分点得出线段之间的关系，由最长段为8进行求解.
【详解】解：设绳子沿A点对折，
当AP=AB时，三条绳子长度一样均为8，此时绳子原长度为24cm；
当AP=AB时，AP的2倍段最长为8cm,则AP=4，∴PB=2，此时绳子原长度为12cm.
∴绳子原长为12或24.
故答案为：12或24.
【点睛】本题考查了线段的度量，根据题意得出线段之间的和差及倍分关系是解答此题的关键.
41．在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
【答案】423
【分析】根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．
【详解】解：根据所给的图形可得：
第一个图有：5=1+1+3（个），
第二个图有：9=4+2+3（个），
第三个图有：15=9+3+3（个），
…，
则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3=423（个），
故答案为：423．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
42．观察等式：；；…，已知按一定规律排列的一组数：．若，用含m的式子表示这组数的和是__________．
【答案】##
【分析】根据条件，补全等式，可知，原式可化为，由此即可求得结果．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
即：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的数字规律，关键在于明确题意，发现式子的变化特点，进行整体代入求值．
43．如表，从左到右在每个小格中都填入一个整数、使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是 _____．
【答案】3
【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a＝3、c＝﹣1，再根据第9个数是﹣5可得b＝﹣5，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴﹣1+a+b＝a+b+c，
解得：c＝﹣1，
a+b+c＝b+c+3，
解得：a＝3，
∴数据从左到右依次为﹣1、3、b、﹣1、3、b，
∴第9个数与第三个数相同，即b＝﹣5，
∴每3个数“﹣1、3、﹣5”为一个循环组依次循环，
∵2021÷3＝673……2，
∴第221个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
44．如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为__________．
【答案】11或-1##-1或11
【分析】设PQ的长度为m，当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17，由此即可求解；当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，由此即可求解．
【详解】解：设PQ的长度为m，
当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17
∴当点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，
∴点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
故答案为：11或-1．
【点睛】此题综合考查了数轴上两点的距离，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
45．如图，是一个由若干个小正方体搭成的几何体的主视图与视图，设搭这样的几何体最多需要m块小立方块，最少需要n块小立方块，则m+n=_____．
【答案】15
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可．
【详解】解：有两种可能；
有主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多m为3+4+1=8个小立方块，最少n为个2+4+1=7小立方块．
m+n=15，
故答案为：15
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案．
46．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个．
【答案】
【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可.
【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1.
即：当n=3时，共有2个交点；
当n=4时，共有5个交点；
当n=5时，共有9个交点；…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个.
故答案为：.
【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律.
47．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是_______．
【答案】2
【分析】观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．
【详解】观察图形知道：
第一次点数五和点二数相对，
第二次点数四和点数三相对，
第三次点数二和点数五相对，
第四次点数三和点数四相对，
第五次点数五和点二数相对，
且四次一循环，
∵2021÷4=505…1，
∴滚动第2021次后与第一次相同，
∴朝下的数字是5的对面2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形类的变化规律问题，解题的关键是发现规律．
48．对于数轴上的两点P，Q（点P在点Q左边）给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为||POQ||．例如；P，Q两点表示的数如图所示，则|POQ|＝|PO﹣QO|＝|3﹣1|＝2．已知PQ＝3，||POQ||＝2，则此时点P表示的数为 _____．
【答案】﹣0.5或﹣2.5
【分析】先设出点P表示的数为x，再表示出点Q表示的数，列出关于x的方程，解出x即可得出答案．
【详解】解：设点P表示的数为x，则点Q表示的数为x+3，
则PO＝﹣x，QO＝x+3
∴||POQ||＝|﹣x﹣（x+3）|＝2，
∴﹣x﹣x﹣3＝﹣2或﹣x﹣x﹣3＝2，
解得x＝﹣0.5或x＝﹣2.5，
故答案为：﹣0.5或﹣2.5．
【点睛】本题主要考查新定义的绝对距离的概念，关键是要正确理解新定义的绝对距离．
49．一组“数值转换机”按照下面的程序计算，如果开始输入的为正整数，最后输出的结果为1339，则满足条件的的不同值最多有____________个．
【答案】3
【分析】根据题意可知，若输入x，则输出6x＋1，又分两种情况考虑，大于500，输出答案；否则重新输入．
【详解】解：设输入x，则直接输出6x＋1，且6x＋1＞0，那么就有
6x＋1＝1339，
解得：x＝223．
若不是直接输出6x＋1＞0，
那么就有：
①6x＋1＝223，
解得：x＝37；
②6x＋1＝37，
解得：x＝6；
③6x＋1＝6，
解得：x＝．
∵x为正整数，因此符合条件的一共有3个数，分别是223，37，6，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了求代数式的值，解决题目的关键是看懂图表后再分情况讨论．
50．如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，
C2＝1+1+＝，
C3＝1+1+×3＝，
C4＝1+1+×2+×3＝，
…
∴C3﹣C2= ，
C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；
C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，
…
则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．
-2
-1
0
1
2
-12
-8
-4
0
4
…
…
﹣1
a
b
c
3
b
﹣5
…
1．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（ ）
A．1B．3C．7D．9
2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为（ ）
A． B．C．D．
3．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
4．若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M≤ND．不能确定
5．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．b＋c＜0C．a＋c＞0D．ac＞ab
6．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
7．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从这点开始跳，则经过次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
9．甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：
第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．
此时，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（ ）
A．乙有4枚硬币B．乙有5枚硬币
C．乙有6枚硬币D．乙的硬币无法确定
10．如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A．B．C．D．
11．如图，在长方形中，，，点是上的点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为（ ）
A．或B．或或C．或D．或或
12．已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于（ ）
A．0B．110C．210D．220
13．如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2B．-2C．0D．4
14．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（ ）
A．第505个正方形的左下角B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角D．第506个正方形的右上角
15．如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为( )
A．15°B．20°C．25°D．30°
16．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（ ）
A．180元B．202.5元
C．180元或202.5元D．180元或200元
17．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用右图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是 （ ）
A．金字塔 B．拱桥
C．房屋D．金鱼
18．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．32B．33C．34D．35
19．点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P对应的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点O
20．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（ ）
A．8B．﹣8C．﹣12D．12
21．按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2021位上的数字是（ ）
A．1B．3C．7D．9
22．已知，求：a+b+c+d+e+f =（ ）
A．2B．0C．-1D．－2
23．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 _____cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 _____cm．
24．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________（用含的代数式表示）.
25．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；
③；④，可以表示的余角的有____________（填序号即可）．
26．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____．
27．如图，若数轴上的有理数a，b满足|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，则＝_____．
28．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．
29．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条．
30．对于正整数n，定义其中表示n的首位数字､末位数字的平方和．例如：，．规定，．例如：，．按此定义_____．
31．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为______．
32．对任意有理数a、b．下面四个结论：①a+b＞a；②|﹣a|＝a；③a2≥0；④﹣|﹣a|＝|﹣（﹣a）|．其中，正确的结论有_____（填写序号）．
33．将相同的棋子按如图所示的规律摆放，依此规律，第8个图形共有_____枚棋子．
34．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
35．如图所示的图形都是由大小相同的黑点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有个黑点，第②个图形中一共有个黑点，第③个图形中一共有个黑点，…，按此规律排列下去，第个图形中黑点的个数为_______________．(用含的代数式表示)
36．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入，第2个格子填入，第3个格子填入，…，第个格子填入，以此类推．
设表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，当，，且时，该表中前20个数的和等于______．
37．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和的两点之间的距离，可列式表示为，或；表示数和的两点之间的距离可列式表示为．已知，则的最大值为______．
38．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则______．
39．如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为________．
40．如图，一根绳子对折以后用线段表示，在线段的三等分点处将绳子剪短，若所得三段绳长的 最大长度为，则这根绳子原长为________．
41．在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
42．观察等式：；；…，已知按一定规律排列的一组数：．若，用含m的式子表示这组数的和是__________．
43．如表，从左到右在每个小格中都填入一个整数、使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是 _____．
44．如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为__________．
45．如图，是一个由若干个小正方体搭成的几何体的主视图与视图，设搭这样的几何体最多需要m块小立方块，最少需要n块小立方块，则m+n=_____．
46．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个．
47．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是_______．
48．对于数轴上的两点P，Q（点P在点Q左边）给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为||POQ||．例如；P，Q两点表示的数如图所示，则|POQ|＝|PO﹣QO|＝|3﹣1|＝2．已知PQ＝3，||POQ||＝2，则此时点P表示的数为 _____．
49．一组“数值转换机”按照下面的程序计算，如果开始输入的为正整数，最后输出的结果为1339，则满足条件的的不同值最多有____________个．
50．如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
-2
-1
0
1
2
-12
-8
-4
0
4
…
…
﹣1
a
b
c
3
b
﹣5
…
期末难点特训（三）选填压轴题50道
1．在一列数：a1，a2，a3，…，an中，a1＝7，a2＝1，从第三个数开始，每一个数都等于它前两个数之积的个位数字，则这一列数中的第2021个数是（ ）
A．1B．3C．7D．9
【答案】D
【分析】根据题意可以写出这列数的前几个数，从而可以发现数字的变化特点，进而可以得到这一列数中的第2021个数．
【详解】解：由题意可得，
a1＝7，
a2＝1，
a3＝7，
a4＝7，
a5＝9，
a6＝3，
a7＝7，
a8＝1，
…，
∵2021÷6＝336…5，
∴这一列数中的第2021个数是9，
故选：D．
【点睛】本题考查了数字类找规律，发现6次一循环是解题的关键．
2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时对应的整式的值：
则关于的方程的解为（ ）A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意得出方程组，求出m、n的值，再代入求出x即可．
【详解】解：根据表格可知：，
解得：，
∴整式为
代入得：-4x-4=8
解得：x=-3，
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元一次方程和解二元一次方程组，能求出m、n的值是解此题的关键．
3．如图，已知AB是圆柱底面直径，BC是圆柱的高在圆柱的侧面上，过点A、C嵌有一圈路径最短的金属丝．现将圆柱侧面沿BC剪开，所得的侧面展开图是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题．
【详解】解：因圆柱的展开面为长方形，AC展开应该是两直线，且有公共点A．
故选C．
【点睛】此题主要考查圆柱的展开图，以及学生的立体思维能力．
4．若M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，则M与N的大小关系是（ ）
A．M＜NB．M＞NC．M≤ND．不能确定
【答案】A
【分析】直接利用整式的加减运算法则结合偶次方的性质得出答案．
【详解】解：∵M＝3x2+5x+2，N＝4x2+5x+3，
∴N﹣M＝（4x2+5x+3）﹣（3x2+5x+2）
＝4x2+5x+3﹣3x2﹣5x﹣2
＝x2+1，
∵x2≥0，
∴x2+1＞0，
∴N＞M．
故选：A．
【点睛】本题考查了整式的加减，正确合并同类项是解题的关键．
5．有理数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，若|b|＞|c|，则下列结论中正确的是（ ）
A．abc＜0B．b＋c＜0C．a＋c＞0D．ac＞ab
【答案】B
【分析】根据题意，a和b是负数，但是c的正负不确定，根据有理数加减乘除运算法则讨论式子的正负．
【详解】解：∵，
∴数轴的原点应该在表示b的点和表示c的点的中点的右边，
∴c有可能是正数也有可能是负数，a和b是负数，
，但是的符号不能确定，故A错误；
若b和c都是负数，则，若b是负数，c是正数，且，则，故B正确；
若a和c都是负数，则，若a是正数，c是负数，且，则，故C错误；
若b是负数，c是正数，则，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查数轴和有理数的加减乘除运算法则，解题的关键是通过有理数加减乘除运算法则判断式子的正负．
6．在锐角内部由O点引出3种射线，第1种是将分成10等份；第2种是将分成12等份；第3种是将分成15等份，所有这些射线连同､可组成的角的个数是（ ）
A．595B．406C．35D．666
【答案】B
【分析】设锐角，第1种中间由9条射线，每个小角为，第2种中间由11条射线，每个小角为，第3种中间由14条射线，每个小角为，利用内部的三种射线与OA形成的角相等求出重合的射线，第一种第m被倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同，则，先看三种分法中无同时重合的，再看每两种分法重合情况，第1种, 第2种,共重合1条，第1种,第3种，共重合4条，，第2种,第3种,共重合2条，在中一共有射线数29条射线，29条射线分成的小角最多28个，所有角=1+2+3+…+28求和即可．
【详解】设锐角
第1种是将分成10等份；中间由9条射线，每个小角为，
第2种是将分成12等份；中间由11条射线，每个小角为，
第3种是将分成15等份，中间由14条射线，每个小角为，
设第1种, 第2种，第3种中相等的角的射线重合为1条，
第一种第m倍小角为，第二种n倍小角，与第三种p倍小角相同
则，
先看三种分法中同时重合情况除OA，OB外没有重合的，
再看每两种分法重合情况
第1种, 第2种, ，第一种第5条与第二种第6条重合，共重合1条，
第1种,第3种，，m=2，4，6，8,与P=3，6，9，12重合，共重合4条，
第2种,第3种, ,n=4，8与p=5，10重合，共重合2条，
在中一共有射线数=2+9+11+14-1-2-4=29条射线，
29条射线分成的所有角=1+2+3+…+28=个角．
故选择：B．
【点睛】本题考查射线分角问题，不同角的个数求法，掌握掌握三种分法中排出重合射线的条数是解题关键．
7．如图是一个圆，一只电子跳蚤在标有数字的五个点上跳跃．若它停在奇数点上时，则下一次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上时，则下一次沿逆时针方向跳一个点．若这只跳蚤从这点开始跳，则经过次跳跃后它所停在的点对应的数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意写出前几次跳动的停靠点，发现4次跳动后回到出发点，即每4次跳动为一个循环组依次循环，用2021除以4，根据商和余数的情况确定所停的位置即可．
【详解】从1这点开始跳，第1次停在数字3，
第2次跳动停在5，
第3次跳动停在2，
第4次跳动停在1，
…，
依此类推，每4次跳动为一个循环组依次循环，
2021÷4=505余1，
即经过2021次后与第1次跳动停的位置相同，对应的数字是3．
故选：C．
【点睛】本题考查是对图形变化规律的考查，读懂题目信息，理解跳动方法并求出每4次跳动为一个循环组依次循环是解题的关键．
8．如图，河道l的同侧有A，B两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至A，B两地，下面的四个方案中，管道长度最短的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据两点之间线段最短与垂线段最短可判断方案B比方案C、D中的管道长度最短，根据垂线段最短可判断方案B比方案A中的管道长度最短．
【详解】解：四个方案中，管道长度最短的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段．
9．甲、乙、丙三人按如下步骤摆放硬币：
第一步：每个人都发若干枚硬币（每个人的硬币数一样，且不少于2枚）；
第二步：甲拿出2枚硬币给丙；
第三步：乙拿出1枚硬币给丙；
第四步：甲有几枚硬币，丙就拿出几枚硬币给甲．
此时，若甲的硬币数是丙的硬币数的2倍，则此时（ ）
A．乙有4枚硬币B．乙有5枚硬币
C．乙有6枚硬币D．乙的硬币无法确定
【答案】C
【分析】可设每个人都发x枚硬币，根据题目要求用含x的代数式分别表示出每步之后甲、乙、丙手中硬币的数量，再根据甲的硬币数是丙的硬币数的2倍列出方程计算即可得解．
【详解】解：设每个人都发x枚硬币，由题意知，第一步中，甲有x枚硬币、乙有x枚硬币，丙有x枚硬币，
第二、三步后，甲有（x﹣2）枚硬币，乙有（x﹣1）枚硬币，丙有（x+3）枚硬币，
第四步后，甲有2（x﹣2）枚硬币，丙的硬币有x+3﹣（x﹣2）＝5（枚），
依题意有2（x﹣2）＝5×2，
解得x＝7，
此时乙有x﹣1＝7﹣1＝6．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出四步后的一元一次方程即可．
10．如图1是的一张纸条，按图图图，把这一纸条先沿折叠并压平，再沿折叠并压平，若图3中，则图2中的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设∠B′FE＝x，根据折叠的性质得∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，则∠BFC＝x−24°，再由第2次折叠得到∠C′FB＝∠BFC＝x−24°，于是利用平角定义可计算出x＝68°，接着根据平行线的性质得∠A′EF＝180°−∠B′FE＝112°，所以∠AEF＝112°．
【详解】如图，设∠B′FE＝x，
∵纸条沿EF折叠，
∴∠BFE＝∠B′FE＝x，∠AEF＝∠A′EF，
∴∠BFC＝∠BFE−∠CFE＝x−24°，
∵纸条沿BF折叠，
∴∠C′FB＝∠BFC＝x−24°，
而∠B′FE＋∠BFE＋∠C′FE＝180°，
∴x＋x＋x−24°＝180°，
解得x＝68°，
∵A′D′∥B′C′，
∴∠A′EF＝180°−∠B′FE＝180°−68°＝112°，
∴∠AEF＝112°．
故选：C．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．解决本题的关键是画出折叠前后得图形．
11．如图，在长方形中，，，点是上的点，且．点从点出发，以的速度沿点匀速运动，最终到达点．设点运动时间为，若三角形的面积为，则的值为（ ）
A．或B．或或C．或D．或或
【答案】C
【分析】分为三种情况讨论，当点P在CD上，即0＜t≤3时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可；当点P在AD上，即3＜t≤7时，由S△PCE＝S四边形ABCD −S△CDP−S△APE−S△BCE建立方程求出其解即可；当点P在AE上，即7＜t≤9时，由S△PCE＝PE•BC＝18建立方程求出其解即可．
【详解】解：设点P运动的时间为ts．
∵，
∴AE=4cm，BE=2cm
如图，当0＜t≤3时，S△PCE＝×2t×8＝18，解得t＝（s）；
如图，当3＜t≤7时，S△PCE＝40−S△CDP−S△APE−S△BCE＝48−×6×（2t-6）−×4×（14-2t）−×8×2=18
解之得：t＝6（s）；
如图，当7＜t≤9时，S△PCE＝×8×（18−2t）＝18，
解得t＝（s）．
∵＜7，
∴t＝应舍去
综上，当t＝s或6s时，△PCE的面积等于18cm2．
故选C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是熟知矩形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意找到数量关系列方程求解．
12．已知都是不等于0的有理数，若，则等于1或；若，则等于2或或0；若，则所有可能等于的值的绝对值之和等于（ ）
A．0B．110C．210D．220
【答案】D
【分析】根据绝对值的意义，推理出y20的所有可能的取值，从而计算绝对值之和即可．
【详解】解：若，则等于1或-1；
若，则等于2或或0；
…
，
若y20中有20项为1，0项为-1，则y20=20，
若y20中有19项为1，1项为-1，则y20=18，
…
以此类推，
若y20中有0项为1，20项为-1，则y20=-20，
∴y20的所有可能的取值为-20，-18，…，0，…，18，20，
则y20的这些所有的不同的值的绝对值的和等于0+（2+4+…+20）×2=220，
故选D．
【点睛】本题考查了绝对值的意义，有理数的混合运算，发现规律是解题关键．
13．如图，图1是一个三阶金字塔魔方，它是由若干个小三棱锥堆成的一个大三棱锥（图2），把大三棱锥的四个面都涂上颜色．若把其中1个面涂色的小三棱锥叫中心块，2个面涂色的叫棱块，3个面涂色的叫角块，则三阶金字塔魔方中“（棱块数）+（角块数）-（中心块数）”得（ ）
A．2B．-2C．0D．4
【答案】B
【分析】根据三阶魔方的特征，分别求出棱块数、角块数、中心块数，再计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵3个面涂色的小三棱锥为四个顶点处的三棱锥，共4个，
∴角块有4个；
∵2个面涂色的小三棱锥为每两个面的连接处，共6个，
∴棱块有6个；
∵1个面涂色的小三棱锥为每个面上不与其他面连接的部分，即图中的阴影部分的3个，
∴中心块有：（个）；
∴（棱块数）+（角块数）（中心块数）=；
故选：B．
【点睛】本题考查了三阶魔方的特征，认识立体图形，图形的规律；解题的关键是正确的认识三阶魔方的特征，从而进行解题．
14．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2021应标在（ ）
A．第505个正方形的左下角B．第505个正方形的右下角
C．第506个正方形的左上角D．第506个正方形的右上角
【答案】D
【分析】观察图形可知每个正方形上标4个数，由2021÷4=505……1可得出2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，结合1所标的位置即可得出2021标在第506个正方形的右下角．
【详解】解：观察图形，可知：每个正方形上标4个数，
∵2021÷4=505……1，505+1=506，
∴2021标在第506个正方形上，且位置与1所标的位置相同，
∴2021标在第506个正方形的右上角．
故选：D．
【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形的变化找出正方形四个顶点所标的数字的规律是解题的关键．
15．如图，若将三个含45°的直角三角板的直角顶点重合放置，则∠1的度数为( )
A．15°B．20°C．25°D．30°
【答案】D
【分析】根据∠1=∠BOD+EOC∠BOE，利用等腰直角三角形的性质，求得∠BOD和∠EOC的度数，从而求解即可．
【详解】解：如图，
根据题意，有，
∴，，
∴；
故选：D.
【点睛】本题考查了角度的计算，正确理解∠1=∠BOD+∠COE∠BOE这一关系是解决本题的关键．
16．学友书店推出售书优惠方案：①一次性购书不超过100元，不享受优惠；②一次性购书超过100元但不超过200元一律打九折；③一次性购书200元一律打八折．如果王明同学一次性购书付款162元，那么王明所购书的原价一定为（ ）
A．180元B．202.5元
C．180元或202.5元D．180元或200元
【答案】C
【分析】付款162元，那么他买的书的总价钱一定超过了100元，有可能享受九折优惠，还有可能享受8折优惠，不享受优惠即原价，利用打九折即原价×0.9，打八折即原价×0.8，由此列方程分别求出即可．
【详解】解：设这些书的原价是x元．
∵200×0.9=180，200×0.8=160，160＜162＜180，
∴一次性购书付款162元，可能有两种情况．
即享受9折优惠时，0.9x=162，
解得：x=180元；
享受8折优惠时，0.8x=162，
解得x=202.5；
故王明所购书的原价一定为180元或202.5元．
故选：C．
【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，根据所给条件得到相应的关系式是解决问题的关键，注意分类讨论思想的渗透．
17．七巧板是我国祖先的一项卓越创造．下列四幅图中有三幅是用右图所示的七巧板拼成的，则不能用七巧板拼成的那幅图是 （ ）
A．金字塔 B．拱桥
C．房屋D．金鱼
【答案】C
【分析】设正方形的边长为2，则①②都是直角边为的等腰直角三角形，据此还可得到其余图形的各边长；接下来结合勾股定理可判断边长之间的关系，据此可得到答案.
【详解】如图，
设正方形的边长为2，从而可知①②都是直角边为的等腰直角三角形；
③⑥都是直角边为的等腰直角三角形；
④是两边长分别为1和的平行四边形；
④是边长为的正方形；
⑦是直角边为1的等腰直角三角形，
观察图形可知，C中等腰直角三角形的直角边与平行四边形的长边不可能重合，故七巧板构不成图案C.
故选C.
【点睛】本题考查了图形拼接与勾股定理，根据勾股定理求出各图形的边长是解答本题的关键.
18．下列图形都是由同样大小的黑色三角形按一定规律组成的，其中第①个图形中有1个黑色三角形，第②个图形中有4个黑色三角形，第③个图形中有8个黑色三角形，第④个图形中有13个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑦个图形中黑色三角形的个数为（ ）
A．32B．33C．34D．35
【答案】C
【分析】根据前4个图形中黑色三角形的个数，总结出规律，然后根据规律得出答案即可．
【详解】第①个图形中有1个黑色三角形，
第②个图形中有4个黑色三角形，，
第③个图形中有8个黑色三角形，，
第④个图形中有13个黑色三角形，，
第⑤个图形中黑色三角形的个数为，
第⑥个图形中黑色三角形的个数为，
第⑦个图形中黑色三角形的个数为，
故选：C．
【点睛】本题主要考查图形类规律，找到规律是解题的关键．
19．点M，N，P和原点O在数轴上的位置如图所示，点M，N，P对应的有理数为a，b，c（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（ ）
A．点MB．点NC．点PD．点O
【答案】A
【分析】根据式子的符号判断数轴上点的位置，根据，，有理数的乘法法则和加法法则即可判断，，据此判断即可
【详解】解：，，
，且
∴点表示的数为
点表示的数为
故表示数b的点为点
故选A
【点睛】本题考查了有理数的乘法法则，加法法则，用数轴上的点表示有理数，掌握有理数的加法法则和乘法法则解题的关键．
20．通过观察下面每个图形中5个实数的关系，得出第四个图形中y的值是（ ）
A．8B．﹣8C．﹣12D．12
【答案】D
【分析】根据前三个图形中数字之间的关系找出运算规律，再代入数据即可求出第四个图形中的y值．
【详解】∵2×5﹣1×（﹣2）=12，1×8﹣（﹣3）×4=20，4×（﹣7）﹣5×（﹣3）=﹣13，
∴y=0×3﹣6×（﹣2）=12．
故选D．
【点睛】本题考查了规律型中数字的变化类，根据图形中数与数之间的关系找出运算规律是解题的关键．
21．按如下的方法构造一个多位数：先任意写一个整数n（0＜n＜10）作为第一位上的数字，将这个整数n乘以3，若积为一位数，则将其作为第2位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第2位上的数字；再将第2位上的数字乘以3，若积为一位数，则将其作为第3位上的数字，若积为两位数，则将其个位数字作为第3位上的数字；…以此类推．若先任意写的一个整数n是7作为第一位上的数字，进行2020次如上操作后得到了第2021位上的数字，则第2021位上的数字是（ ）
A．1B．3C．7D．9
【答案】C
【分析】根据题意，进行六次操作后找到规律，是以7139四位数为周期循环出现，由此可以得出第2021位上的数字．
【详解】解：进行第一次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是71；
进行第二次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是713；
进行第三次操作，3×3＝9，积是一位数，所以得到的数是7139；
进行第四次操作，9×3＝27，积是两位数，所以得到的数是71397；
进行第五次操作，7×3＝21，积是两位数，所以得到的数是713971；
进行第六次操作，1×3＝3，积是一位数，所以得到的数是7139713；
进行第七次操作，3×9＝27，积是两位数，所以得到的数是71397139；
此时，根据以上规律，可以发现这个数是以7139四位数为周期循环出现；
所以，第2020次操作后：2021÷4＝55…1，意思是进行2020次操作后，7139已经完整循环了55次，还余下1次，
而第2021位上应是下一个循环的开头的数字7．
故选：C．
【点睛】本题主要考查数字的变化规律，理解题意，找准变化的规律是解题的关键．
22．已知，求：a+b+c+d+e+f =（ ）
A．2B．0C．-1D．－2
【答案】C
【分析】令x=1，代入原式即可求解．
【详解】∵
∴当x=1时，a+b+c+d+e+f =
故选C．
【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是根据等式发现特点求解．
23．如图，AB＝8cm，点D为射线AC上一点，且AD＝10cm，点E为平面上任一点．且BE＝3AE．
（1）如果点E在直线AB上，则AE的长度为 _____cm；
（2）如果3ED+BE的值最小，请指明点E的位置，此时最小值是 _____cm．
【答案】 2或4##4或2 30
【分析】（1）点E在直线AB上有3种情况，点E在线段AB上、在线段BA的延长线上、在线段AB的延长线上，显然在射线AB上不合题意，分别就剩余两种情况求得AE的值；
（2）结合BE＝3AE知3ED+BE＝3（DE+AE），在△ADE中知当点E在线段AD上时，DE+AE最小，可求得3ED+BE的最小值；
【详解】解：（1）∵BE＝3AE，
∴当点E在线段AB上时，AE+BE＝AB，即AE+3AE＝8，解得：AE＝2cm，
当点E在线段BA的延长线上时，BE﹣AE＝AB，即3AE﹣AE＝8，解得：AE＝4cm，
故答案为：2或4．
（2）∵BE＝3AE，
∴3ED+BE＝3ED+3AE＝3（DE+AE），
当点E在线段AD上时，DE+AE最小，DE+AE＝AD＝10cm，
故3ED+BE的最小值为30cm，
故答案为：30．
【点睛】本题考查了线段的和差计算，两点之间线段最短，将3ED+BE转化为3（DE+AE）是解题的关键．
24．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________（用含的代数式表示）.
【答案】
【分析】由题意∠AOF可能为锐角或∠AOF也可能为钝角，故需讨论这两种情况．
【详解】解：由题意，需讨论一下两种情况：
如图1，
∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°．
∴∠AOF＝180°−∠AOC−∠COE＝180°−90°−m°＝90°−m°．
②如图2．
∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°．
∵∠COE与∠DOF是对顶角，
∴∠COE＝∠DOF＝m°．
∴∠AOF＝∠AOD＋∠DOF＝90°＋m°．
综上：∠AOF＝．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查垂直的定义以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义以及角的和差关系是解决本题的关键．
25．如果和互补，且，则下列式子中：①；②；
③；④，可以表示的余角的有____________（填序号即可）．
【答案】①②④
【详解】解：已知∠β的余角为：90°-∠β，故①正确；
∵∠α和∠β互补，且∠α＞∠β，
∴∠α+∠β=180°，∠α＞90°，
∴∠β=180°-∠α，
∴∠β的余角为：90°-（180°-∠α）=∠α-90°，故②正确；
∵∠α+∠β=180°，
∴（∠α+∠β）=90°，
∴∠β的余角为：90°-∠β=（∠α+∠β）-∠β=（∠α-∠β），故④正确，③错误．
故答案为①②④．
26．已知关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____．
【答案】2
【分析】根据已知条件得出方程y+1＝3，求出方程的解即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程x+3＝2x+b的解为x＝3，
∴关于y的一元一次方程（y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，
解得：y＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键．
27．如图，若数轴上的有理数a，b满足|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，则＝_____．
【答案】
【分析】根据点a、b在数轴上的位置可判断出a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0，然后化简绝对值，从而可求得答案．
【详解】解：由题意可知：a+2b＞0，a﹣b＜0，a＜0，
∵|a+2b|﹣|a﹣b|＝|a|，
∴a+2b+a﹣b＝﹣a．
整理得：3a+b＝0，
∴．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了绝对值的化简和数轴上表示的数以及整式加减，解题关键是通过数轴能够确定绝对值内各式的正负，进而依据绝对值的意义化简绝对值．
28．如图，∠AOB＝∠COD＝90°，∠COE＝∠BOE，OF平分∠AOD，下列结论：①∠AOE＝∠DOE；②∠AOD+∠COB＝180°；③∠COB﹣∠AOD＝90°；④∠COE+∠BOF＝180°．所有正确结论的序号是_____．
【答案】①②④
【分析】由∠AOB＝∠COD＝90°根据等角的余角相等得到∠AOC＝∠BOD，而∠COE＝∠BOE，即可判断①正确；
由∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°，而∠AOD+∠AOC＝90°，即可判断②正确；
由∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，没有∠AOC≠∠AOD，即可判断③不正确；
由OF平分∠AOD得∠AOF＝∠DOF，由①得∠AOE＝∠DOE，根据周角的定义得到∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，又∠COE＝∠BOE，即可判断④正确．
【详解】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＝∠BOD，
而∠COE＝∠BOE，
∴∠AOE＝∠DOE，所以①正确；
∠AOD+∠COB＝∠AOD+∠AOC+90°＝90°+90°＝180°，所以②正确；
∠COB﹣∠AOD＝∠AOC+90°﹣∠AOD，
而∠AOC≠∠AOD，所以③不正确；
∵OF平分∠AOD，
∴∠AOF＝∠DOF，
而∠AOE＝∠DOE，
∴∠AOF+∠AOE＝∠DOF+∠DOE＝180°，即点F、O、E共线，
∵∠COE＝∠BOE，
∴∠COE+∠BOF＝180°，所以④正确．
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查了角度的计算，解题的关键是结合图形和题中信息准确判断．
29．平面内有n个点A、B、C、D…，其中点A、B、C在同一条直线上，过其中任意两点画直线，最多可以画_____________________条．
【答案】
【分析】如果所有点都不在同一直线上，当仅有两个点时，可连成1条直线；当有3个点时，可连成3条直线；当有4个点时，可连成6条直线；当有5个点时，可连成10条直线…找到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，即可求得点A、B、C在同一条直线上，最多可以画条直线．
【详解】如果所有点都不在同一直线上，
当仅有两个点时，最多可连成1条直线；
当有3个点时，最多可连成1+2=3条直线；
当有4个点时，最多可连成1+2+3=6条直线；
当有5个点时，最多可连成1+2+3+4=10条直线；
…；
可以得到规律：当有n个点不在同一直线上时，最多可连成条直线，
已知点A、B、C在同一条直线上，
则点A、B、C任意两点的连线都是同一条直线，
故最多可以画条直线．
故答案为：．
【点睛】本题考查了探究图形类规律以及直线的性质：两点确定一条直线．注意讨论点共线及不共线的情况，不要漏解．
30．对于正整数n，定义其中表示n的首位数字､末位数字的平方和．例如：，．规定，．例如：，．按此定义_____．
【答案】145
【分析】根据题意分别求出F1（4）到F8（4），通过计算发现，F1（4）=F8（4），然后根据所得的规律即可求解．
【详解】解：F1（4）=16，F2（4）=F（16）=37，
F3（4）=F（37）=58，F4（4）=F（58）=89，
F5（4）=F（89）=145，F6（4）=F（145）=26，
F7（4）=F（26）=40，F8（4）=F（40）=16，
……
通过计算发现，F1（4）=F8（4），
∴，
∴；
故答案为：145．
【点睛】本题考查了有理数的乘方，新定义运算，能准确理解定义，多计算一些数字，进而确定循环规律是解题关键．
31．线段，在直线上截取线段，为线段的中点，为线段的中点，那么线段的长为______．
【答案】6或12
【分析】分类讨论：C在线段AB的延长线上，C在线段AB的反向延长线上，根据BC=3AB，可得BC的长，根据中点的性质，可得BD，BE的长，根据线段的和差，可得答案．
【详解】解：C在线段AB的延长线上，如图1：
∵AB=6，BC=3AB，
∴BC=18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=AB=3，BE=BC=9，
DE=BD+BE=9+3=12；
C在线段AB的反向延长线上，如图2：
∵AB=6，BC=3AB，
∴BC=18，
∵D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，
BD=AB=3，BE=BC=9，
DE=BD-BE=9-3=6．
故线段DE的长为6或12．
故答案为6或12．
【点睛】本题考查两点间的距离，分类讨论是解题关键．
32．对任意有理数a、b．下面四个结论：①a+b＞a；②|﹣a|＝a；③a2≥0；④﹣|﹣a|＝|﹣（﹣a）|．其中，正确的结论有_____（填写序号）．
【答案】③
【分析】根据有理数的性质、平方及绝对值的特点即可求解．
【详解】解：①a+b＞a，当b为负数时，原式不成立，故此选项错误；
②|﹣a|＝a，当a＜0时，原式不成立，故此选项错误；
③a2≥0，正确；
④﹣|﹣a|＝|﹣（﹣a）|，只有a＝0时，原式成立，故此选项错误．
故答案为：③．
【点睛】此题主要考查有理数的性质，解题的关键是熟知平方及绝对值的特点．
33．将相同的棋子按如图所示的规律摆放，依此规律，第8个图形共有_____枚棋子．
【答案】32
【分析】根据每一个图形棋子的个数都是第几个图形乘以4，即可求出答案．
【详解】解：根据所给的图形可得：
第一个图有：4＝1×4（个），
第二个图有：8＝2×4（个），
第三个图有：12＝3×4（个），
第4个图有：16＝4×4（个），
…，
则第n个为4n；
∴第8个图形共有32枚棋子．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
34．某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行的，即PQ∥MN． 如图所示，灯A射线从AM开始顺时针旋转至AN便立即回转，灯B射线从BP开始顺时针旋转至BQ便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度． 若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达BQ之前，A灯转动_________秒，两灯的光束互相平行．
【答案】30或110##110或30
【分析】分两种情况讨论：两束光平行；两束光重合之后（在灯B射线到达BQ之前）平行，然后利用平行线的性质求解即可．
【详解】解：设灯转动t秒，两灯的光束互相平行，即AC∥BD，
①当0＜t≤90时，如图1所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＝∠BDA，
∵AC∥BD，则∠CAM＝∠BDA，
∴∠PBD＝∠CAM
有题意可知：2t＝30＋t
解得：t＝30，
②当90＜t＜150时，如图2所示：
∵PQ∥MN，则∠PBD＋∠BDA＝180°，
∵AC∥BD，则∠CAN＝∠BDA，
∴∠PBD＋∠CAN＝180°，
∴30＋t＋（2t－180）＝180
解得：t＝110
综上所述，当t＝30秒或t＝110秒时，两灯的光束互相平行．
故答案为：30或110
【点睛】本题主要考查补角、角的运算、平行线的性质的应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质，注意分两种情况谈论．
35．如图所示的图形都是由大小相同的黑点按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有个黑点，第②个图形中一共有个黑点，第③个图形中一共有个黑点，…，按此规律排列下去，第个图形中黑点的个数为_______________．(用含的代数式表示)
【答案】
【分析】每幅图中每行一共两种黑点数，第副图，每行黑点数是个的行数是行，每行黑点数是个的行数是，即可求出结果．
【详解】解：第一幅图，每行1个黑点一共1行，
第二幅图，每行2个黑点一共2行，每行1个黑点一共1行，
第三幅图，每行3个黑点一共3行，每行2个黑点一共2行，
……
第副图，每行个黑点一共行，每行个黑点一共行，
∴黑点的个数是：．
故答案是：．
【点睛】本题考查找规律，解题的关键是找出图形中的规律，并用代数式表示出来．
36．如下表，从左边第1个格子开始依次在每个格子中填入一个正整数，第1个格子填入，第2个格子填入，第3个格子填入，…，第个格子填入，以此类推．
设表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，当，，且时，该表中前20个数的和等于______．
【答案】35或55
【分析】根据表中任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等得到表格中从左向右每4个数字一个循环，根据得到或，可得前4个数的和，从而可得结果．
【详解】解：∵任意4个相邻格子中所填正整数之和都相等，
∴a1+a2+a3+a4=a2+a3+a4+a5，当，时，
∴a5=a1=1；同理a6=a2=5，
∴表格中从左向右每4个数字一个循环，
∵，
∴或，
∴或，
∴或，
∴前4个数的和为1+5+1=7或1+5+5=11，
∴该表中前20个数的和等 于7×5=35或11×5=55，
故答案为：35或55．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，以及学生观察、分析、总结规律的能力，得出格子中的数每4个为一个循环组依次循环是解题的关键．
37．“数形结合”思想在数轴上得到充分体现，如在数轴上表示数5和的两点之间的距离，可列式表示为，或；表示数和的两点之间的距离可列式表示为．已知，则的最大值为______．
【答案】4
【分析】根据题意分别得到和的最小值，结合得到=4，=5，根据x和y的范围得到x+y的最大值．
【详解】解：由题意可得：
表示x与-3的距离和x与1的距离之和，
表示y与-2的距离和y与3的距离之和，
∴当-3≤x≤1时，有最小值，且为1-（-3）=4，
当-2≤x≤3时，有最小值，且为3-（-2）=5，
∵，
∴=4，=5，
∴x+y的最大值为：1+3=4，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，，用几何方法借助数轴来求解，数形结合是解答此题的关键．
38．历史上数学家欧拉最先把关于的多项式用记号来表示，把等于某数时的多项式的值用来表示．例如，对于多项式，当时，多项式的值为，若，则______．
【答案】-2
【分析】根据，可得：，所以，据此求的值为多少即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
=
=
=-2，
故答案为：-2．
【点睛】此题主要考查了代数式求值问题，要熟练掌握，求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值．题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．
39．如图1，为直线上一点，作射线，使，将一个直角三角尺如图摆放，直角顶点在点处，一条直角边在射线上．将图1中的三角尺绕点以每秒10°的速度按逆时针方向旋转（如图2所示），在旋转一周的过程中，第秒时，所在直线恰好平分，则的值为________．
【答案】12或30．
【分析】根据角平分线定义列出方程可求解．
【详解】解：（1）∵∠AOC=120°，
∵OP所在直线恰好平分∠AOC，
∴∠AOP=180°-∠AOC=120°（此时OP在角平分线的反向延长线上），或∠AOP=180°+120°=300°（此时OP在角平分线上），
∴10t=120或10t=300，
∴t=12或30，
故答案为：12或30．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，考查了角平分线定义，平角的定义，列出正确的方程是本题的关键．
40．如图，一根绳子对折以后用线段表示，在线段的三等分点处将绳子剪短，若所得三段绳长的 最大长度为，则这根绳子原长为________．
【答案】12或24
【分析】根据绳子对折后用线段AB表示，可得绳子长是AB的2倍，分两种情况讨论，根据三等分点得出线段之间的关系，由最长段为8进行求解.
【详解】解：设绳子沿A点对折，
当AP=AB时，三条绳子长度一样均为8，此时绳子原长度为24cm；
当AP=AB时，AP的2倍段最长为8cm,则AP=4，∴PB=2，此时绳子原长度为12cm.
∴绳子原长为12或24.
故答案为：12或24.
【点睛】本题考查了线段的度量，根据题意得出线段之间的和差及倍分关系是解答此题的关键.
41．在无限大的正方形网格中按规律涂成的阴影如图所示，第1、2、3个图中阴影部分小正方形的个数分别为5个、9个、15个，根据此规律，则第20个图中阴影部分小正方形的个数是_____．
【答案】423
【分析】根据每一个图形都是第几个图形的平方，再加上第几个图形数，每个图形都多出3，再加上3，即可求出答案．
【详解】解：根据所给的图形可得：
第一个图有：5=1+1+3（个），
第二个图有：9=4+2+3（个），
第三个图有：15=9+3+3（个），
…，
则第n个为n2+n+3，
第20个图有：400+20+3=423（个），
故答案为：423．
【点睛】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，根据规律进行解答．
42．观察等式：；；…，已知按一定规律排列的一组数：．若，用含m的式子表示这组数的和是__________．
【答案】##
【分析】根据条件，补全等式，可知，原式可化为，由此即可求得结果．
【详解】解：由题意可知：，
∵，
∴，
即：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的数字规律，关键在于明确题意，发现式子的变化特点，进行整体代入求值．
43．如表，从左到右在每个小格中都填入一个整数、使得任意三个相邻格子所填整数之和都相等，则第2021个格子中的整数是 _____．
【答案】3
【分析】根据三个相邻格子的整数的和相等列式求出a＝3、c＝﹣1，再根据第9个数是﹣5可得b＝﹣5，然后找出格子中的数每3个为一个循环组依次循环，在用2021除以3，根据余数的情况确定与第几个数相同即可得解．
【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴﹣1+a+b＝a+b+c，
解得：c＝﹣1，
a+b+c＝b+c+3，
解得：a＝3，
∴数据从左到右依次为﹣1、3、b、﹣1、3、b，
∴第9个数与第三个数相同，即b＝﹣5，
∴每3个数“﹣1、3、﹣5”为一个循环组依次循环，
∵2021÷3＝673……2，
∴第221个格子中的整数与第2个格子中的数相同，为3．
故答案为：3
【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键．
44．如图，数轴上A、B两点之间的距离AB＝12，有一根木棒PQ，PQ在数轴上移动，当Q移动到与A、B其中一个端点重合时，点P所对应的数为5，且点P始终在点Q的左侧，当Q移动到线段AB的中点时，点P所对应的数为__________．
【答案】11或-1##-1或11
【分析】设PQ的长度为m，当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17，由此即可求解；当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，由此即可求解．
【详解】解：设PQ的长度为m，
当点Q与点A重合时，此时点P对应的数为5，则点A对应的数为m+5，点B对应的数为m+17
∴当点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
当点Q与点B重合时，同理可得，点B对应的数为m+5，点A对应的数为m-7，
∴点Q到AB中点时，点P此时对应的数为：，
故答案为：11或-1．
【点睛】此题综合考查了数轴上两点的距离，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，体现了数形结合的优点．
45．如图，是一个由若干个小正方体搭成的几何体的主视图与视图，设搭这样的几何体最多需要m块小立方块，最少需要n块小立方块，则m+n=_____．
【答案】15
【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，第三层只有一块，相加即可．
【详解】解：有两种可能；
有主视图可得：这个几何体共有3层，
由俯视图可得：第一层正方体的个数为4，由主视图可得第二层最少为2块，最多的正方体的个数为3块，
第三层只有一块，
故：最多m为3+4+1=8个小立方块，最少n为个2+4+1=7小立方块．
m+n=15，
故答案为：15
【点睛】此题主要考查了由三视图判断几何体，关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就很容易得到答案．
46．已知（，且为整数）条直线中只有两条直线平行，且任何三条直线都不交于同一个点．如图，当时，共有2个交点；当时，共有5个交点；当时，共有9个交点；…依此规律，当图中有条直线时，共有交点________个．
【答案】
【分析】首先通过观察图形，找到交点个数与直线条数之间的规律，然后列出n 条直线时，交点个数关于n的代数式即可.
【详解】∵当n=3时，每增加一条直线，交点的个数就增加n−1.
即：当n=3时，共有2个交点；
当n=4时，共有5个交点；
当n=5时，共有9个交点；…，
∴n条直线共有交点2+3+4+…+(n−1)= 个.
故答案为：.
【点睛】本题考查了相交线.解题的关键是，仔细观察图形，发现规律.
47．有一个正六面体骰子，放在桌面上，将骰子沿如图所示的方式滚动，每滚动90°算一次，则滚动第2021次后，骰子朝下一面的点数是_______．
【答案】2
【分析】观察图形知道第一次点数五和点二数相对，第二次点数四和点数三相对，第三次点数二和点数五相对，第四次点数三和点数四相对，第五次点数五和点二数相对，且四次一循环，从而确定答案．
【详解】观察图形知道：
第一次点数五和点二数相对，
第二次点数四和点数三相对，
第三次点数二和点数五相对，
第四次点数三和点数四相对，
第五次点数五和点二数相对，
且四次一循环，
∵2021÷4=505…1，
∴滚动第2021次后与第一次相同，
∴朝下的数字是5的对面2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字及图形类的变化规律问题，解题的关键是发现规律．
48．对于数轴上的两点P，Q（点P在点Q左边）给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为||POQ||．例如；P，Q两点表示的数如图所示，则|POQ|＝|PO﹣QO|＝|3﹣1|＝2．已知PQ＝3，||POQ||＝2，则此时点P表示的数为 _____．
【答案】﹣0.5或﹣2.5
【分析】先设出点P表示的数为x，再表示出点Q表示的数，列出关于x的方程，解出x即可得出答案．
【详解】解：设点P表示的数为x，则点Q表示的数为x+3，
则PO＝﹣x，QO＝x+3
∴||POQ||＝|﹣x﹣（x+3）|＝2，
∴﹣x﹣x﹣3＝﹣2或﹣x﹣x﹣3＝2，
解得x＝﹣0.5或x＝﹣2.5，
故答案为：﹣0.5或﹣2.5．
【点睛】本题主要考查新定义的绝对距离的概念，关键是要正确理解新定义的绝对距离．
49．一组“数值转换机”按照下面的程序计算，如果开始输入的为正整数，最后输出的结果为1339，则满足条件的的不同值最多有____________个．
【答案】3
【分析】根据题意可知，若输入x，则输出6x＋1，又分两种情况考虑，大于500，输出答案；否则重新输入．
【详解】解：设输入x，则直接输出6x＋1，且6x＋1＞0，那么就有
6x＋1＝1339，
解得：x＝223．
若不是直接输出6x＋1＞0，
那么就有：
①6x＋1＝223，
解得：x＝37；
②6x＋1＝37，
解得：x＝6；
③6x＋1＝6，
解得：x＝．
∵x为正整数，因此符合条件的一共有3个数，分别是223，37，6，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了求代数式的值，解决题目的关键是看懂图表后再分情况讨论．
50．如图，已知图①是一块边长为1，周长记为C1的等边三角形卡纸，把图①的卡纸剪去一个边长为的等边三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边再剪去一个边长为的等边三角形后得到图③，依次剪去一个边长为、、…的等边三角形后，得到图④、⑤、⑥、…，记图n（n≥3）中的卡纸的周长为Cn，则Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长C1，C2，C3，C4，根据周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【详解】解：∵C1＝1+1+1＝3，
C2＝1+1+＝，
C3＝1+1+×3＝，
C4＝1+1+×2+×3＝，
…
∴C3﹣C2= ，
C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；
C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，
…
则C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．
故答案为：．
【点睛】此题考查图形的变化规律，通过观察图形，分析、归纳发现其中的运算规律，并应用规律解决问题．
-2
-1
0
1
2
-12
-8
-4
0
4
…
…
﹣1
a
b
c
3
b
﹣5
…
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