四川省成都市成都武侯外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市成都武侯外国语学校2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含解析），共28页。试卷主要包含了选择题 .，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．下列是关于x的一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
2．某几何体的主视图如图所示，则它的左视图为（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．对角线相等的四边形是平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
4．在正方形网格纸中的位置如图（一）所示，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，．将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A．B．
C．D．
6．关于反比例函数y的图象与性质，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第二、四象限B．y的值随x值的增大而减小
C．当x＞﹣2时，y＜﹣3D．点（1，6）和点（6，1）都在该图象上
7．2021年，成都已超额完成全年改造老旧小区300个的计划，大力促进了城市宜居品质提升．如图，某小区改造修建一个长32m，宽18m的矩形小花园，并在花园内修建一条水平、两条竖直的宽度相同的小路，余下部分种植花草进行绿化（图中阴影部分）．设小路宽为xm，若绿化面积为448m2，则可列方程为（ ）
A．32×18﹣32x﹣18x＝448B．32×18﹣64x﹣18x＝448
C．（32﹣x）（18﹣2x）＝448D．（32﹣2x）（18﹣x）＝448
8．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AE=CF，连接EF，BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，FC=2，则AB的长为（ ）

A．8B．8C．4D．6
二、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20 分)
9．若是方程的一个根，则 ．
10．已知，则 ．
11．如图，点P在反比例函数的图象上，连接，过点P作轴的垂线，垂足为Q，则的面积为 ．
12．如图，是一个面积为正方形微信二维码．小明利用所学概率知识估算二维码中黑色部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可估计黑色部分的面积约为 ．
13．如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA＝OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四边形OACB的面积为5cm2，则OC的长为 cm．
三、解答题 (本大题共5个小题，共48分)
14．计算
(1)解方程：；
(2)计算：．
15．已知关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求a的取值范围；
(2)若方程有两个相等的实数根，求a的值，并求出这两个相等的实数根．
16．小明、小颖和小凡做“剪刀、石头、布”游戏．游戏规则如下：由小明和小颖做“剪刀、石头、布”的游戏，如果两人的手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，那么按照“石头胜剪刀，布胜石头，剪刀胜布”的规则决定小明和小颖中的获胜者．假设小明和小颖每次出这三种手势的可能性相同．
(1)利用画树状图或列表的方法表示小明和小颖做“剪刀、石头、布”游戏的所有可能出现的结果（其中剪刀、石头、布分别用序号①、②、③表示）；
(2)在（1）的基础上，试说明该游戏对三人是否公平？
17．年5月30日9点31分，“神舟十六号”载人飞船在中国酒泉卫星发射中心点火发射，成功把景海鹏、桂海潮、朱杨柱三名航天员送入到中国空间站．如图，在发射的过程中，飞船从地面O处发射，当飞船到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是，仰角为，后 飞船到达B处，此时测得仰角为．
(1)求点A离地面的高度；
(2)求飞船从A处到B处的平均速度．(结果精确到，参考数据：)
18．已知一次函数与反比例函数的图象交于、B两点，交y轴于点C．
(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；
(2)过点C的直线交x轴于点E，且与反比例函数图象只有一个交点，求CE的长；
(3)我们把一组邻边垂直且相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形叫做“维纳斯四边形”．设点P是y轴负半轴上一点，点Q是第一象限内的反比例函数图象上一点，当四边形是“维纳斯四边形”时，求Q点的横坐标的值．
B卷（50分）
一、填空题(本大题共5个小题，每小题4分，共20分)
19．已知，代数式 ．
20．如图，在中，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，以为圆心，的长为半径画弧交于点，则 ．
21．已知关于的方程．若等腰三角形的一边长，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求此三角形的周长 ．
22．如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，E、F分别是边BC和对角线BD上的动点，且BE＝DF，则AE+AF的最小值为 ．
23．如图，点A是函数的图象上的点，点B、C的坐标分别为B(﹣，﹣)、C(，)．试利用性质：点“函数的图象上任意一点A都满足”求解下面问题：作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F．已知当A在函数的图象上运动时，OF的长度总等于 ．
二、解答题(本大题共3个小题，共30分)
24．一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件．
(1)若设降价元，降价后的销售量为件，请写出与的函数关系式．
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
25．如图1，在平面直角坐标系点中，，点B在y轴正半轴上且．直线的图象交y轴于点C，且射线平分，点P是射线上一动点．
(1)求直线的表达式和点C的坐标；
(2)连接、，当时，求点P的坐标；
(3)如图2，过点P作交x轴于点Q，连接，当与以点P、Q、C为顶点的三角形相似时，求点P的坐标．
26．【问题背景】如图1，在矩形中，点M，N分别在边，上，且，连接，点P在上，连接并延长至点Q，使，连接．
【尝试初探】求证：；
【深入探究】若，，点P为中点，连接，，求证：；
【拓展延伸】如图2，在正方形中，点P为对角线上一点，连接并延长至点Q，使，连接，若，求的值（用含n的代数式表示）
答案与解析
1．B
【分析】根据一元二次方程的概念判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A．是分式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
B．是一元二次方程，符合题意；
C．当a=0时，不是一元二次方程，不符合题意；
D．是一元三次方程，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的概念，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
2．D
【分析】根据从左面看到的是大小两个同心圆即可得到答案．
【详解】解：由题意得从左面看到的图形是大小两个同心圆，且都是实线，
故选D．
【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键．
3．D
【分析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形，对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，根据对角线的特点判断特殊四边形的方法逐一判断即可.
【详解】解：对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故A是假命题；
对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B是假命题；
对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故C是假命题；
对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D是真命题；
故选D
【点睛】本题考查的是平行四边形，菱形，矩形，正方形的判定，掌握“特殊四边形的判定方法”是解题的关键.
4．D
【分析】根据勾股定理求出AB，根据正弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：在Rt△ABC中，BC=3，AC=4，
由勾股定理得，AB=，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查的是解直角三角形，掌握正弦的定义是解题的关键．
5．A
【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．
【详解】A、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，
B、，，，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，
C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，
D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，
故选：A．
【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．
6．D
【分析】根据反比例函数解析式结合反比例函数的性质逐一判断即可．
【详解】解：∵反比例函数解析式为y，
∴反比例函数经过一、三象限，且在每个象限内y的值随x值的增大而减小，故A、B不符合题意；
∴当x＞0时，y＞0，故C不符合题意；
当x=1时，y=6，当x=6时，y=1，
∴点（1，6）和点（6，1）都在该图象上，故D符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的性质，熟知反比例函数图象的性质是解题的关键．
7．D
【分析】种植花草的部分可以合成一个矩形，由小路的宽为xm，可知合成后的矩形长为，宽为，根据矩形面积公式列等式，即可求解．
【详解】解：小路的宽为xm，纵向有2条路，横向有1条路，
种植花草的部分可以合成一个长为，宽为的矩形，
绿化面积为448m2，
，
故答案为：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，找出等量关系，正确列出一元二次方程是解题关键．
8．D
【分析】连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．
【详解】解：如图，连接OB，

∵BE=BF，OE=OF，
∴BO⊥EF，
∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，
由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，
∴∠BAC=∠ABO，
又∵∠BEF=2∠BAC，
即2∠BAC+∠BAC=90°，
解得∠BAC=30°，
∴∠FCA=30°，
∴∠FBC=30°，
∵FC=2，
∴BC=2，
∴AC=2BC=4，
∴AB=＝＝6，
故选D．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．
9．2
【分析】本题考查了一元二次方程解的定义，能使一元二次方程成立的未知数的值叫作一元二次方程的解．把代入即可求解．
【详解】解：把代入方程得，
解得．
故答案为：2．
10．##0.2
【分析】由比例的基本性质得：，把x的代数式代入即可求得值．
【详解】解：由条件得：，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的基本性质及求代数式的值，运用比例的基本性质是关键．
11．2
【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，过反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数系数k的几何意义即可求解．
【详解】解：的面积为．
故答案为：2．
12．
【分析】本题主要考查利用频率估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
用总面积乘以落入黑色部分的频率即可得出答案．
【详解】解：落入黑色部分的频率稳定在左右，正方形面积为
黑色部分面积占正方形二维码面积的
黑色部分的面积约为
故答案为：
13．5
【分析】根据边的关系证明 是菱形，根据菱形的面积即可求出答案．
【详解】解：∵ ， 为公共边，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴四边形 是菱形， ， 是对角线，
∴菱形的面积是： ， ，
∴ ，
故答案是： ．
【点睛】本题主要考查菱形的性质和判断，解题的关键是证明图形是菱形，就可以根据菱形的面积公式求出对角线的长度．
14．(1)，
(2)3
【分析】本题考查了因式分解法解一元二次过程、特殊角的三角函数值及实数的运算，解决（1）的关键是掌握十字相乘的一般步骤；解决（2）的关键是记住特殊角的三角函数值．
（1）利用因式分解法求解即可；
（2）先利用二次根式的性质，负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值化简各式，然后合并即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
即，
∴或，
∴，；
（2）解：
15．(1)
(2)；
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式直接进行求解即可；
（2）根据一元二次方程根的判别式求解a的值，然后代入进行求解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程x2+（2a+1）x+a2＝0有两个不相等的实数根，
，
解得：，
即当时，方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵方程有两个相等的实数根，
，
解得：，
即当时，方程有两个相等的实数根；
把代入原方程得：，
即，
解得：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式及解法．
16．(1)见解析
(2)该游戏对三人公平，理由见解析
【分析】（1）根据题意画出树状图即可；
（2）根据树状图求出，即可得到答案．
【详解】（1）解：树状图如下图所示；
（2）解：该游戏对三人公平，理由如下：
由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中小明、小颖、小凡获胜的结果数都为3中，
∴，
∴该游戏对三人公平．
【点睛】本题主要考查了画树状图或列表法求解概率，游戏的公平性，熟练掌握相关知识是解题的关键．
17．(1)4km
(2)
【分析】本题考查了解直角三角形之仰角俯角问题，正确地求得结果是解题的关键．
（1）根据直角三角形的性质即可得到结论
（2）在中，根据直角三角形的性质，在得到中，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论．
【详解】（1）在中，
，，
（2）在中，
，，
在中，
，
飞船从A处到B处的平均速度
18．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由一次函数解析式求得点，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，两解析式联立成方程组，解方程组即可求得点的坐标；
（2）设直线的解析式为设，由，整理得，，根据题意得到，求得，即可得到直线的解析式，从而即可求得点的坐标，然后利用勾股定理即可求得；
（3）通过证得，得出，，即可得出点的坐标，进而表示出点的坐标，代入，解方程即可求得点的横坐标．
【详解】（1）∵过，
∴，
∴，则，
又∵过，
∴，
∴反比例函数的表达式为．
∴，解得：或，
∴．
（2）令，则，∴．
设直线的解析式为设，∴，即：，
∵直线与反比例函数图象只有一个交点，
∴，
∴，
∴，令，则，
∴，
∴．
（3）由图可知在第一象限、不可能相等，
如图，当，时，点作轴于，轴于，与的交点为，，
设点的坐标为，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设（），
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，整理得，
解得（负数舍去），
∴点的横坐标的值为．
【点睛】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
19．
【分析】本题考查配方法的应用，解题的关键是掌握，把变形为：，再代入代数式，即可．
【详解】∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
20．
【分析】本题考查了勾股定理，由作法可得：，由勾股定理计算出，则，再计算出，即可得到答案，熟练掌握勾股定理，计算出是解此题的关键．
【详解】解：由作法得：，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
21．16或22
【分析】首先证明，再利用因式分解法计算出方程的两根，，则可设，，然后讨论：当、为腰；当、为腰，当、为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长即可．
【详解】解：，
，
，
无论取什么实数值，，
△，
即无论取什么实数值，方程总有实数根；
解方程，
因式分解得：，
解得：，，
，恰好是这个方程的两个实数根，设，，
当、为腰，则，而，，所以三角形的周长为：；
当、为腰，则，解得，
，因为6，2，2不构成三角形，所以这种情况不成立；
当、为腰 则，
，
三角形的周长为：．
综上，三角形的周长为16或22．
故答案为：16或22．
【点睛】本题考查一元二次方程和几何的综合应用．熟练掌握因式分解法解方程，以及等腰三角形的性质和三角形的三边关系是解题的关键．
22．
【分析】如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．证明，推出，，根据求解即可．
【详解】解：如图，的下方作，在上截取，使得，连接，．
四边形是菱形，，
，，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
的最小值为，
故答案为．
【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
23．
【分析】延长BF、AC交于点G．根据全等三角形的判定，得到△ABF≌△AGF，则AB=AG，BF=GF．根据点B和点C的坐标，知点B和点C关于原点对称，则OB=OC，从而根据三角形的中位线定理，得OF=CG=|AB−AC|=2×即可．
【详解】：延长BF、AC交于点G．
∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠BAF=∠GAF，
∵BF⊥AE，
∴∠AFB=∠AFG=90°，
在△ABF和△AGF中，
，
∴△ABF≌△AGF（ASA），
∴AB=AG，BF=GF．
∵B（-，-）、C（，），
∴OB=OC，
∴OF=CG=|AB−AC|=2×=．
∴点F在以点O为圆心，以为半径的圆上运动.
故答案为．
【点睛】本题是一道数形结合题，综合考查了反比例函数的图像与性质、全等三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、中心对称的性质．找出AB、AC的等值差以及让点F与这个等之差相关联是解题的关键.
24．(1)
(2)10
【分析】（1） 由销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，则销售量为件，进而可列出函数关系式；
（2）根据利润等于单件商品利润乘以销售量，列一元二次方程，解方程即可求得答案．
【详解】（1）依题意得：
∴y与x的函数关系式为：；
（2）设每件商品降价元时，该商店每天销售利润为1200元
依题意得：
整理得：
即
解得，
∵每件盈利不少于25元
∴
解得：
∴
答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数解析式，解题的关键是根据题意列出方程．
25．(1)，
(2)或
(3)
【分析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可求解；
(2) 过点P作轴交于点T，设，，分别求出，，由题意可得方程，即可求得t的值，即可求得点P的坐标；
(3)作轴于点M，作于点N，设点，可证得，根据相似三角形的性质，即可求得，再由，可求得，再分两种性质，即当或当时，分别计算，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
又，
．
∴设，
把点、分别代入解析式，
得，
解得，
．
在中，令，则，
；
（2）解：如图：过点P作轴交于点T，
设，，
，，，
．
解得，，
∴、，
故点P的坐标为或；
（3）解：作轴于点M，作于点N，设点
，，
．
，，
，
，
，
，
；
又，
，
又，
，
，
，
，
；
当时，，
，
此方程无解；
当时，，
，
，
解得，
，
综上，点P的坐标为．
【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，相似三角形的判定与性质，两点间距离公式，作出辅助线和采用分类讨论的思想是解决本题的关键．
26．（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理进行判定即可；
（2）连接,证是正方形，得垂直平分，在证明是平行四边形，利用平行四边形的性质判定即可；
在矩形中；
（3）过Q作交的延长线于M，于N，连接，结合题意用勾股定理逆定理证是直角三角形，然后借助和相似三角形解决．
【详解】（1）由题意可知在与中，
，
，
，
，
；
（2）如图：连接，
在矩形中，
，
，
是正方形，
P为中点，
垂直平分，，
，
由和可知，
，
，
，
，
是平行四边形，
，
；
（3）过Q作交的延长线于M，于N，连接，
在正方形中，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
是直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，，
,
，
，
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、矩形的性质、勾股定理的逆定理；三角形相似的证明和性质的应用是解题的关键．