2023-2024学年福建省华安县第一中学高二上学期第二次月考（12月）数学试题含答案

2023-2024学年福建省华安县第一中学高二上学期第二次月考（12月）数学试题一、单选题1．准线方程为的抛物线的标准方程是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可设抛物线的标准方程为，从而可得，求解即可.【详解】由抛物线的准线方程为，可知抛物线是焦点在轴负半轴上的抛物线，设其方程为，则其准线方程为，得.该抛物线的标准方程是.故选：D.2．已知椭圆的一个焦点坐标为，则的值为（    ）A．1 B．3 C．7 D．9【答案】B【分析】根据焦点坐标确定，然后计算．【详解】由题意，，∴，，故选：B．3．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是A．B．C．D．【答案】A【详解】试题分析：设圆上任一点为，中点为，根据中点坐标公式得，，因为在圆上，所以，即，化为，故选A.【解析】1、圆的标准方程；2、“逆代法”求轨迹方程. 【方法点晴】本题主要考查圆的标准方程、“逆代法”求轨迹方程，属于难题.求轨迹方程的常见方法有:①直接法，设出动点的坐标，根据题意列出关于的等式即可；②定义法，根据题意动点符合已知曲线的定义，直接求出方程；③参数法，把分别用第三个变量表示，消去参数即可；④逆代法，将代入.本题就是利用方法④求的轨迹方程的.4．在等差数列中，，则的值为（    ）A． B．11 C．22 D．33【答案】B【分析】根据等差数列的性质求解即可.【详解】由等差数列的性质可知：，而，所以，即.故选：B.5．若双曲线经过点，且一渐近线方程是，则这条双曲线的虚轴长（    ）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】根据已知条件设出双曲线方程，利用点在双曲线上及双曲线的虚轴长的定义即可求解.【详解】由题意知，设双曲线的方程为，因为双曲线经过点，所以.所以双曲线的方程为.由双曲线的方程知，双曲线的焦点在轴上，即，于是，故这条双曲线的虚轴长为.故选：C.6．已知双曲线的一条渐近线与圆交于两点，且是正三角形，则双曲线的离心率为（    ）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】由题意，设渐近线方程为（其中），根据垂径定理和点到直线的距离公式分别求出圆心到渐近线的距离，建立方程，解方程可得，结合离心率的概念即可求解.【详解】设双曲线渐近线被圆所截得的弦长为，圆的半径为，圆心到渐近线的距离为d，圆方程，即，又由题可知，由垂径定理得.不妨设渐近线方程为（其中），又圆的圆心坐标为，圆心到渐进线的距离为，所以，解得，又，所以双曲线的离心率为.故选：B.7．过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，，把直线与椭圆联立，求出，，即可求出.【详解】由，得，，，左焦点为．则过左焦点F，倾斜角为60°直线l的方程为．代入，得，设，，则，，又，根据弦长公式得：，且，∴，故选：A．8．在平面直角坐标系中，点到点的距离与到直线的距离相等，记动点的轨迹为，是圆：上的动点．则的最小值为（    ）A． B． C．27 D．【答案】D【分析】根据抛物线的定义可得，再设，表达出即可得最小值.【详解】因为点到点的距离与到直线的距离相等，故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，故.由题意可得，当且仅当共线时取等号，设，则，当时,.所以故的最小值为.故选：D二、多选题9．已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ）A．是递增数列 B．C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10【答案】BD【分析】利用与的关系及数列的单调性的定义，根据数列的通项公式及二次函数的性质，结合数列的性质及一元二次不等式的解法即可求解.【详解】当时，，当时，，取时，此式也满足，故的通项公式为.对于A，由，得，所以是递减数列，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，由二次函数的性质知，当或时，取最大值，故C错误；对于D，令，即，解得，又，所以的最大值为.故D正确.故选：BD.10．已知椭圆：的两个焦点为，，是上任意一点，则（    ）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据椭圆的定义可判定A、B，根据椭圆方程及二次函数的性质可判定C，根据基本不等式可判定D.【详解】对AB，设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为，因为，所以，，，所以，，故A错误，B正确；对C，设，，，则，即，当时取得最大值，故C正确；对D，由椭圆定义及基本不等式可知：，故D正确．故选：BCD11．已知点P为圆上的动点，直线l过点，过l上一点Q作圆O的切线QC，QD，切点分别为C，D，则下列说法正确的有(    )A．当∠PAB最大时，B．点P到l的距离的最大值为C．四边形CQDO的面积的最小值为9D．四边形CQDO的面积最小时，直线OQ的方程为【答案】BC【分析】选项A，当PA与圆相切时，∠PAB最大；选项B，点P到l最大距离为圆心到直线l的距离加上半径；选项C，D，当时，四边形CQDO的面积最小.【详解】对于A，如图1，当PA与圆相切时，∠PAB最大，设圆半径为，,，，，故A错误；对于B，由已知直线l的方程为，当点P到l的距离最大时，最大距离为圆心到直线l的距离加上半径，即为，故B正确；对于C，如图2，QC，QD是圆O的切线，则，，四边形CQDO的面积，四边形CQDO的面积最小时，即为取最小，又，即，所以当最小时，取最小，即当时，，则，四边形CQDO的面积的最小值为9，故C正确；对于D，四边形CQDO的面积最小时，，直线OQ的斜率为，方程为，故D错误；故答案为：BC.12．已知抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，过的直线交抛物线于两点，，则（    ）A．的准线方程为B．若，则C．若，则的斜率为D．过点作准线的垂线，垂足为，若轴平分，则【答案】BCD【分析】根据抛物线的几何意义求出，即可得到抛物线的方程，再根据抛物线的定义判断A、B、D，设，，，，直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元列出韦达定理，根据焦半径公式计算即可判断C；【详解】解：因为抛物线：（）的焦点到准线的距离为2，所以，所以抛物线方程为，则焦点，准线为，故A错误；若，则，所以，所以，故B正确；可设，，，，直线的方程为，与抛物线联立，消去，可得，可得，，由抛物线的定义可得即，即，解得，则直线的斜率为，故C正确；对于D，若轴平分，则，又轴，所以，所以，所以，即，所以，故D正确；故选：BCD三、填空题13．已知正项等比数列满足，，其公比q= 【答案】2【分析】根据等比数列的基本量关系求解即可.【详解】由题意，，因为，故，解得.故答案为：214．过点的直线与椭圆相交于两点，且恰为中点，则直线的方程为 .【答案】【分析】结合点差法求得直线的方程.【详解】椭圆，由，令得：，所以在椭圆内，同时，当直线的斜率不存在，即直线时，，不是线段的中点，所以直线的斜率存在.设，则，两式相减并化简得，即，所以直线的方程为，即.故答案为：15．若是双曲线的两个焦点，P是双曲线左支上的点，且的面积是16，则 【答案】32【分析】根据已知条件及双曲线的定义，再利用余弦定理及三角形的面积公式即可求解.【详解】由，得，即，所以，即 ，根据已知条件做出图形如图所示设，则由双曲线的定义知，①，②，由余弦定理得③，联立①②③，得，即，又，所以，所以，即.所以为直角三角形，所以，解得.故答案为：.四、双空题16．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等边三角形，则双曲线离心率为 ，若的面积为，则 ．【答案】 2 【分析】求出交点为，结合等边三角形，得，可求出，进而的离心率与渐近线方程，结合面积公式进而可求.【详解】由双曲线的两条渐近线方程为，则与直线的交点为，双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形是等边三角形，则，即，得，即，则；则双曲线的两条渐近线方程为抛物线的准线方程为，则，解得.故答案为：；.五、解答题17．已知抛物线的顶点为，焦点坐标为．（1）求抛物线方程；（2）过点且斜率为1的直线与抛物线交于，两点，求线段的值．【答案】（1）．（2）【解析】（1）由题得，解之即得抛物线的方程；（2）设直线方程为，利用弦长公式求解.【详解】解：（1）∵焦点坐标为∴，，∴抛物线的方程为．（2）设直线方程为，设，，联立消元得，∴，，，∴．∴线段的值为．【点睛】本题主要考查抛物线方程的求法，考查弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.18．已知直线l：与圆C：相切.(1)求实数a的值；(2)已知直线m：与圆C相交于A，B两点，若的面积为2，求直线m的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）由圆心到直线的距离等于半径可求得参数值；（2）由三角形面积求得圆心到直线的距离，然后再由圆心到直线的距离公式求得得直线方程．【详解】（1）将圆C：化为标准方程，得，故圆心，半径为.因为直线l：与圆C相切，所以，解得，所以圆C的标准方程为.（2）设圆心C到直线m的距离为d.则，所以，解得.故，解得或. 所以直线m的方程为或.19．记为数列的前项和，为数列的前项和，若，且(1)证明：数列是等比数列；(2)若成立，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）根据已知条件及等比数列的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及等比数列的通项公式，利用分组求和法及等比数列的前项和公式，结合指数不等式的解法即可求解.【详解】（1）由，即，而所以是以3为首项，3为公比的等比数列（2）由（1）知，即，由可得，整理可得，解得，因为，所以的最小值为5．20．已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同的A、两点．(1)求抛物线的方程；(2)如果，证明直线过定点，并求定点坐标.【答案】(1)(2)证明见解析，定点【分析】（1）将已知点坐标代入抛物线方程求得即得；（2）设，，设，代入抛物线方程应用韦达定理得，，代入可求得，从而得定点坐标.【详解】（1）由题意可知，将点代入抛物线方程，可得，解得，则抛物线方程为．（2）因为直线与抛物线相交于不同的A、两点，所以直线不与x轴平行，可设，与联立，得，设，，∴，．，由，解得，∴过定点．21．已知圆，圆，动圆P与圆内切，与圆外切，动圆圆心P的运动轨迹记为C；(1)求C方程；(2)若，直线过圆的圆心且与曲线C交于A，B两点，求面积的最大值．【答案】(1)(2)3【分析】（1）由圆与圆的位置关系得出点轨迹是椭圆，求出后可得轨迹方程；（2）设，，设直线方程为，代入椭圆方程应用韦达定理得，由求出面积化为的函数，用换元法求得最大值．【详解】（1）设动圆P的半径为，∵动圆P与圆内切，与圆外切，∴，且.于是，所以动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆.圆与内切于点，因此点与点不重合，，从而，所以.故动圆圆心的轨迹的方程为．（2）设，，设直线方程为，联立方程组整理得，则，，．因为过点，所以．令，，，设，则，即，所以在上单调递增，则当时，，则的最大值为3．故面积的最大值为3．【点睛】方法点睛：椭圆中最值问题，一般设交点坐标为，设出直线方程为（或），代入椭圆方程应用韦达定理得（或）然后用两交点坐标表示出要求最值的量，如本题中三角形面积，转化为关于其中某个参数（两个参数时需要由条件寻找参数间关系）的函数，然后由函数的性质或不等式的知识求得最值．22．已知椭圆经过点，且离心率为，过椭圆右焦点为，的直线与E交于两点，点的坐标为.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，证明：【答案】(1)(2)证明见解析【分析】(1)根据题意，得到，，结合，求得的值，即可求解；(2)当与轴重合与轴垂直时，得到，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，化简得到，联立方程组，得到所以，得到，得到，即可得证.【详解】（1）解：由椭圆经过点，且离心率为，可得，，又因为，解得，所以椭圆方程为.（2）解：当与轴重合时，.当与轴垂直时，为的垂直平分线，所以，当与轴不重合也不垂直时，设的方程为，，则，直线、的斜率之和为，由，可得，联立方程组，整理得，所以， 则，从而，故、的倾斜角互补，所以，综上可得，.【点睛】知识方法总结：对于直线与圆锥曲线问题的求解策略：1、研究直线与圆锥曲线位置关系，一般转化为研究直线方程于圆锥曲线方程组成的方程组解的问题，结合一元二次方程方程的根与系数的关系，结合韦达定理转化为方程的性质，进行求解；2、对于直线与圆锥曲线的客观题解答时，注意图形的几何性质的应用，利用数形结合法求解，有时更加方便；3、合理应用“设而不求”法，在“设而不求”的技巧中，要注意运算的合理性，目的性，同时合理应用根与系数的关系、中点坐标公式，向量平行与垂直关系等，使得思路更加清晰，运算得以简化，从而迅速地解决问题.