河北省石家庄市第八十九中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题

这是一份河北省石家庄市第八十九中学2023-2024学年九年级上学期月考数学试题，共25页。
注意事项：
1．答卷前将密封线左侧的项目填写清楚
2．答案须用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔书写
一、选择题（本大题共16个小题，共38分，1~6题，每小题3分；7~16小题，每小题2分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）
1. 如图，是外接圆，半径为，若，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】连接和，证明为等边三角形，得到的度数，再利用圆周角定理得出．
【详解】解：连接和，

∵半径为，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
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【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出辅助线．
2. 反比例函数的图象过点，下列各点在反比例函数的图象上的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】求得，由反比例函数系数判断即可得出结论．
【详解】解：反比例函数的图象过点，
，
A、，故点在反比例函数的图象上，故此选项符合题意；
B、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意；
C、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意；
D、，故点不在反比例函数的图象上，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数系数是解题的关键．
3. 某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“科”字所在面相对的面上的汉字是（ ）

A. 创B. 造C. 未D. 来
【答案】B
【解析】
【分析】正方体的展开图，相对的两个面中间相隔一个正方形，据此解答.
【详解】解：在原正方体中，与“科”字所在面相对的面上的汉字是“造”；
故选：B.
【点睛】本题考查了正方体的展开图，明确正方体的展开图，相对的两个面中间相隔一个正方形是解题关键.
4. 如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A. aB. bC. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．
【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．
5. 如图，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于O，则图中线段的比不能表示sinA的式子为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正弦的概念进行判断，然后根据余角的定义找与∠A相等的角再结合正弦定义解答即可.
【详解】解：∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴sinA=,故A正确；
∵∠A+∠ACE=90°，∠ACE+∠COD=90°，
∴∠A=∠COD，
∴sinA=sin∠COD= ,故B正确；
∵∠BOE=∠COD，
∴∠A=∠BOE，
∴sinA=sin∠BOE=.故D正确
​​​​​​​故答案为C.
【点睛】本题考查了正弦的定义以及根据直角三角形的性质寻找相等的角，其中根据直角三角形的性质寻找与∠A相等的角是解答本题的关键.
6. 对于两个事件：
事件1：任意掷一枚质地均匀正方体骰子，掷出的点数是小于6；
事件2：口袋中有除颜色外其他都完全相同的2个红球和1个白球，从中摸出2个球．其中至少一个是红球；
有如下说法，其中正确的是（ ）
A. 事件1、2均为必然事件B. 事件1、2均为随机事件
C. 事件1是随机事件，事件2是必然事件D. 事件1是必然事件，事件2是随机事件
【答案】C
【解析】
【分析】根据随机事件与必然事件的概念判定事件1是随机事件，事件2是必然事件即可.
【详解】解：任意掷一枚质地均匀的正方体骰子，掷出的点数是小于6，是随机事件；
口袋中有除颜色外其他都完全相同的2个红球和1个白球，从中摸出2个球．其中至少一个是红球，是必然事件；
所以事件1是随机事件，事件2是必然事件，
故选：C．
【点睛】本题考查随机事件与必然事件，掌握根据随机事件与必然事件的概念判定事件是随机事件还是必然事件解题的关键．
7. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查根判别式，熟练掌握一元二次方程的根和判别式的关系是解题的关键．根据根的判别式及一元二次方程的定义得出关于k的不等式组，即可求出结果．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
即，
解得：且，
故选：B．
8. 为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如下表：
关于以上数据，说法正确的是（ ）
A. 甲、乙的众数相同B. 甲、乙的中位数相同
C. 甲的平均数小于乙的平均数D. 甲的方差小于乙的方差
【答案】D
【解析】
【分析】分别根据众数、中位数、平均数、方差的定义进行求解后进行判断即可得.
【详解】甲：数据7出现了2次，次数最多，所以众数为7，
排序后最中间的数是7，所以中位数是7，
，
=4.4，
乙：数据8出现了2次，次数最多，所以众数为8，
排序后最中间的数是4，所以中位数是4，
，
=6.4，
所以只有D选项正确，
故选D.
【点睛】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，熟练掌握相关定义及求解方法是解题的关键.
9. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移抛物线解析式的变化原则：“上加下减，左加右减”，即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，
∴新抛物线为，即．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数图像与几何变换，熟记平移规律“左加右减，上加下减”，是解题的关键．
10. 如图，点A，B，D在上，，是⊙O的切线，B为切点，的延长线交于点C，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】由圆周角定理可求的度数，根据切线的性质可得，进而可求出的度数．
【解答】解：∵，,
∴，
∵是的切线，B为切点，
∴，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质定理，熟记和圆有关的各种性质和定理是解题的关键．
11. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 对称轴为B. 顶点坐标为C. 函数的最大值是－3D. 函数的最小值是－3
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的图象及性质进行判断即可．
【详解】二次函数的对称轴为，顶点坐标为
∵
∴二次函数图象开口向下，函数有最大值，为
∴A、B、D选项错误，C选项正确
故选：C
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．
12. 如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，原正方形铁皮的面积为，则无盖箱子的外表面积为（ ）

A. 1B. 4C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得出原正方形铁皮的边长为，从而得到原正方形铁皮的面积为，即，解得，从而得到无盖箱子的外表面积为，即可得到答案．
【详解】解：正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为，
原正方形铁皮的边长为，
原正方形铁皮的面积为，
又正方形铁皮的面积为，
，
解得，
无盖箱子的外表面积为，
故选：D．
【点睛】本题考查方程的实际应用，读懂题意，准确表示出各个边长，根据等量关系列出方程求解是解决问题的关键．
13. 如图为一个指纹锁的部分设计图，尺寸如图所示，求所在圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点O作半径于点D，利用垂径定理得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点O作半径于点D，设所在的的半径为，
由垂径定理得，，
在中，，即，
解得，
故选：B．
14. 题目：“如图，在中，，，，以点为圆心的的半径为，若对于的一个值，与只有一个交点，求的取值范围．”对于其答案，甲答：．乙答：．丙答：．则正确的是（ ）

A. 只有乙答的对B. 甲、乙的答案合在一起才完整
C. 乙、丙的答案合在一起才完整D. 三人的答案合在一起才完整
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理求出，再根据等面积法求出斜边上的高为，再根据半径的情况，分别作出图形，进行判断即可得到答案．
【详解】解：，，
，
斜边上的高为：，
当时，画出图如图所示：
，
此时在圆内部，与只有一个交点，
当时，画出图如图所示，
，
此时与只有一个交点，
当时，画出图如图所示：
，
此时与只有一个交点，
三人的答案合在一起才完整，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，直线与圆的位置关系，等面积法，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
15. 如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图②），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的图像性质和路程与速度时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案．
【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为，
最高车速为，
在最高车速下的行驶时间，
同理可得，在最低车速下的行驶时间为，
通过段限速区间的行驶时间应该在之间．
，
B选项符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图像性质以及路程公式．
16. 如图，是抛物线的部分图象，其过点，，且，则下列说法错误的是（ ）

A. B. 该抛物线必过点
C. 当时，y随x增大而增大D. 当时，
【答案】D
【解析】
【分析】将代入解析式可判断A，结合题意，由（1）可知，当时可判断B，结合题意求得抛物线的对称轴即可判断C，结合对称轴利用对称性可得，即当时，可判断D．
【详解】解：（1）将代入解析式得，
故A正确，不符合题意；
（2）结合题意，由（1）可知，当时，
，
，
，
，
抛物线必过点，
故B正确，不符合题意；
（3）结合题意可知，
抛物线的对称轴为：，
当时，随增大而增大，
故当时，随增大而增大，
故C正确，不符合题意；
（4）结合题意由（3）可知，
，
，
当时，
故D错误，符合题意；
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质；解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质
二、填空题（本大题共3个小题，共10分。17小题2分，18、19小题各4分，每空2分）
17. 如图①，A，B表示某游乐场摩天轮上的两个轿厢．图②是其示意图，点O是圆心，半径r为，点A，B是圆上的两点，圆心角，则的长为_________．（结果保留）

【答案】
【解析】
【分析】利用弧长公式直接计算即可．
【详解】∵半径，圆心角，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式，并规范计算是解题的关键．
18. 北斗卫星导航系统是中国自行硏制的全球卫星导航系统，其由空间段、地面段和用户段三部分组成，可在全球范围内全天候、全天时为各类用户提供高精度、高可靠定位、导航、授时服务．如图，小敏一家自驾到风景区C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西方向行驶10千米至B地，再沿北偏东60°方向行驶一段距离到达风景区C，小敏发现风景区C在A地的北偏东方向．则的度数为______；B、C两地的距离是______．（结果保留根号）
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作，垂足为，根据题意可得：，，，，从而可得，然后利用平角定义可得，从而利用三角形内角和定理进行计算，求出的度数；先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】解：如图，过点作，垂足为，
由题意得：，，，，
，
，
，
，
的度数为；
在中，千米，，
（千米），
在中，，
（千米），
，两地的距离为千米．
故答案为：，
19. 如图，这是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度（喷水头距喷灌架底部的距离）是1米，喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线．现将喷灌架置于坡度为的坡地底部点O处，草坡上距离O的水平距离为30米处有一棵高度约为米的石榴树．

（1）喷射出的水流与坡面之间的最大铅直高度是____________米；
（2）若要对这棵石榴树进行喷灌，则需将喷灌架向后移动____________米．
【答案】 ①. ②. 5
【解析】
【分析】（1）设喷射出的水流与坡面之间的铅直高度为米，则，再根据二次函数的性质求最大值即可；
（2）设将喷灌架向后移动米，根据时抛物线上的点的纵坐标值等于时的函数值，再列一元二次方程即可．
【详解】（1）设喷射出的水流与坡面OA之间的铅直高度为米，则
，
∴最大铅直高度是米；
（2）设将喷灌架向后移动米，则图中时
抛物线上的点的纵坐标值等于时的函数值，
当时，点B的纵坐标为，
当时，，
解得，（不符合题意，舍去）．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确理解题意、熟练掌握待定系数法及二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．
三、解答题（本大题共7个小题；共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 如图所示的是一个几何体的三视图，俯视图是等边三角形，主视图和左视图均为矩形，其数据信息如图所示（单位：），请解答以下问题：
（1）这个几何体的名称为______．
（2）求a的值及该几何体的体积．
【答案】（1）正三棱柱
（2），
【解析】
【分析】（1）根据三视图形状即可得到几何体的形状；
（2）根据几何体形状即可得到答案；
【小问1详解】
解：∵俯视图是等边三角形，主视图和左视图均为矩形，
∴这个几何体的名称为：正三棱柱，
故答案为：正三棱柱；
【小问2详解】
解：∵俯视图是等边三角形，
∴a是一边上的高，
∴，
∴几何体的体积为：．
【点睛】本题考查根据几何体三视图判断几何体形状及三角函数，直三棱柱的体积公式，解题的关键是熟练掌握三视图判断出形状．
21. 如图，已知是等边三角形的外接圆，连接并延长交于点D，交于点E，连接．
（1）写出图中一个度数为的角：______；
（2）求证：．
【答案】（1）（答案不唯一，填中任意一个都可）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，系数三角形的判定，三角形外接圆的性质，证明是解题的关键．
（1）根据外接圆得到是的，即可得到，再根据圆周角定理可得，由此可得答案；
（2）先证明，再由直径所对的圆周角是直角得到，由圆周角定理得到，由此即可证明结论．
【小问1详解】
解：∵是等边三角形的外接圆，
∴点O是等边三角形三边垂直平分线的交点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：（答案不唯一，填中任意一个都可）；
【小问2详解】
证明：∵，
∴，
∵是直径，
∴，
∴，
又∵，
∴．
22. 随着高铁、地铁的大量兴建以及铁路的改扩建，我国人民的出行方式越来越多，出行越来越便捷．为保障旅客快捷、安全的出人车站，每个车站都修建了如图所示的出入闸口．某车站有四个出人闸口，分别记为A、B、C、D．

（1）一名乘客通过该站闸口时，求他选择A闸口通过的概率；
（2）当两名乘客通过该站闸口时，请用树状图或列表法求两名乘客选择相同闸口通过的概率．
【答案】（1）
（2），作图见解析
【解析】
【分析】（1）直接运用概率公式计算即可；
（2）先画出树状图确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数，然后运用概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：一名乘客通过该站闸口时，他选择A闸口通过的概率为．
【小问2详解】
解：根据题意画出画树状图如下：

由树状图可知共有16种等可能的结果，其中两名乘客选择相同闸口通过的有4种结果，
∴两名乘客选择相同闸口通过的概率．
【点睛】本题主要考查了运用树状图求概率、概率公式等知识点，正确画出树状图、正确确定所有等可能结果数和两名乘客选择相同闸口的结果数是解答本题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，的边垂直于x轴，垂足为点B，反比例函数的图象经过的中点C，交于点D，且．若点D的坐标为．
（1）求反比例函数的表达式．
（2）设点E是x轴上一动点，若的面积等于6，求点E的坐标．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）根据点D的坐标与的长度，表示出点C的坐标，然后将点C的坐标代入即可求得；
（2）根据的面积求出的长度，然后分类讨论点E的位置即可．
【小问1详解】
解：∵点D的坐标为，，
∴点A的坐标为，
∵点C是的中点，
∴点C的坐标为，
把点C、D的坐标代入，
得，
解得：，
则反比例函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：设点E的坐标为，
由（1）知，，
∵，
∴，
当点E在点B左侧时，；
当点E在点B右侧时，．
综上所述，点E的坐标为或．
【点睛】本题考查了反比例函数，相关知识点有：待定系数法求函数表达式、根据面积求点的坐标等，点C的坐标的准确表示是解题关键．
24. 如图1是由三个宽度相等的四边形并列向左倾斜置于基座上组合而成的宣传牌，基座在水平地面上，将其抽象为图2，左侧较高的四边形中，，，，，，基座高．（参考数据：，，，，，结果精确到）

（1）求与地面所成的角度；
（2）求点D到地面的距离（即宣传牌的高度）．
【答案】（1）与地面所成的角度为
（2）点D到地面的距离约为
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
（1）过点A作的平行线，根据平行线的性质求出的大小即可；
（2）通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系求出即可．
【小问1详解】
解：如图，过点A作BC的平行线与过点D作BC的垂线相交于点N，

∵，
∴，
又∵，
∴，
即与地面所成的角度为；
【小问2详解】
过点A作，交的延长线于点M，
在中，，，
∴，
在中，，，
∴，
∴点D到地面距离为，
答：点D到地面的距离约为．
25. 如图，，以线段上一点为圆心，以、的长为半径在的同侧分别作圆心角相等的扇形，扇形，连接、、．
（1）若，求的度数；
（2）当时，若与扇形所在的圆相切于点，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）证，得到，又由，得，从而，从而即可求解；
（2）由是切线得到是直角三角形，由得到，进而得到，，所以．
【小问1详解】
解：如图，在和中，
，
∴，
∴，
∵扇形和扇形圆心角相等，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：∵与扇形所在的圆相切于点，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵中，，
∴．
【点睛】本题在圆的背景下考查角的和与差，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数，切线的性质，熟练运用圆的知识是解决本题的关键．
26. 如图1，公园的一组同步喷泉由间隔2米的6个一样的喷泉组成，呈抛物线形的水流从垂直于地面且高为1m的喷嘴中向同一侧喷出，其最高点随时间匀速变化，发现由最高变为最低用时5s，然后从最低变为最高，又用时5s，重复循环．建立如图2所示的平面直角坐标系，变化的抛物线的对称轴始终为直线，水流最高时距地面2m，水流在地面的落点距喷嘴最远水平距离为3m．

（1）求水流最高时所对应的抛物线解析式；
（2）水流最低时，对应抛物线的顶点坐标为_________，在喷泉水流高低变化过程中，水流始终经过对称轴右侧一点，该点的坐标为____________．
（3）当水流最高时，淇淇以2m/s的速度从喷泉最高处的正下方跑过，若淇淇的身高为1.6m，请通过计算说明，他是否会被淋湿?
【答案】（1）
（2），
（3）会被淋湿
【解析】
【分析】（1）根据题意可得顶点坐标，设解析式，代入求解即可；
（2）设解析式，代入求解即可；
（3）通过计算淇淇跑过喷泉的时间和喷泉从最高到最低的时间，结合淇淇的身高进行判断即可．
【小问1详解】
由对称轴为直线，水流最高时距地面2m，可得顶点坐标为
设抛物线的解析式为
将喷嘴坐标代入
得
解得
∴抛物线的解析式为
【小问2详解】
设水流最低时对应抛物线的解析式为
由题意，得
解得
∴水流最低时对应抛物线的解析式为
令，得
故顶点坐标为
喷泉的形状一直是抛物线，对称轴始终为直线，且始终经过点
所以喷泉始终经过点A关于对称轴的对称点
故答案为：；．
【小问3详解】
淇淇跑过喷泉用时为（s）
而喷泉从最高2米到最低米用时5s
∵
∴淇淇会被淋湿
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等，求二次函数的解析式是解题的关键．甲
2
6
7
7
8
乙
2
3
4
8
8