微专题12　空间中的平行与垂直关系(几何法、向量法)

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【真题体验】
1.(2022·全国乙卷)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，BC的中点，则( )
A.平面B1EF⊥平面BDD1
B.平面B1EF⊥平面A1BD
C.平面B1EF∥平面A1AC
D.平面B1EF∥平面A1C1D
2.(2021·浙江卷)如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，则( )
A.直线A1D与直线D1B垂直，直线MN∥平面ABCD
B.直线A1D与直线D1B平行，直线MN⊥平面BDD1B1
C.直线A1D与直线D1B相交，直线MN∥平面ABCD
D.直线A1D与直线D1B异面，直线MN⊥平面BDD1B1
3.(2023·全国甲卷)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.
(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；
(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1－BB1C1C的高.
4.(2023·全国乙卷)如图，在三棱锥P－ABC中，AB⊥BC，AB＝2，BC＝2eq \r(2)，PB＝PC＝eq \r(6)，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，点F在AC上，BF⊥AO.
(1)求证：EF∥平面ADO；
(2)若∠POF＝120°，求三棱锥P－ABC的体积.
【热点突破】
热点一 空间线面位置关系的判定
判断空间线、面位置关系的常用方法
(1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断；
(2)利用直线的方向向量、平面的法向量判断；
(3)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线、面的位置关系，并结合有关定理进行判断.
例1 (1)(多选)(2023·淄博模拟)若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的有( )
A.若α∥β，m⊂α，则m∥β
B.若α⊥β，m⊥α，则m∥β
C.若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D.若m⊥n，m∥α，则n∥α
(2)(多选)(2023·茂名五校联考)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是底面ABCD的中心，点M是侧面BB1C1C内的一个动点(含边界)，且OM∥平面C1A1D，则以下关系一定正确的是( )
A.OM∥DC1 B.VM－C1A1D＝VC－C1A1D
C.OM⊥B1C D.OM⊥BD1
易错提醒 1.易遗漏定理中的条件.
2.易直接将平面几何中的结论应用到立体几何中.
训练1 (1)(2023·贵州适应性测试)如图，在四面体ABCD中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列结论正确的是( )
A.平面ABC⊥平面ABDB.平面ABD⊥平面BDC
C.平面ABC⊥平面BDED.平面ABC⊥平面ADC
(2)(2023·酒泉调研)已知l，m表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，l⊥α，m⊂β，则有下面四个命题：
①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.
其中所有真命题是________.(填序号)
热点二 几何法证明平行、垂直
1.直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.
(3)面面平行的判定定理：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒α∥β.
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.
2.直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α⇒a∥b.
(3)面面垂直的判定定理：a⊂β，a⊥α⇒α⊥β.
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β.
例2 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点.求证：
(1)PE⊥BC；
(2)平面PAB⊥平面PCD；
(3)EF∥平面PCD.
规律方法 平行关系及垂直关系的转化
训练2 如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1.求证：
(1)AB∥平面A1B1C；
(2)平面ABB1A1⊥平面A1BC.
热点三 向量法证明平行、垂直
1.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔v1∥v2.
(2)设直线l的方向向量为v，在平面α内的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2.
(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔v⊥u.
(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1∥u2.
2.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·v2＝0.
(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔v∥u.
(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0.
例3 如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点.
求证：(1)BE⊥DC；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面PCD⊥平面PAD.
规律方法 利用向量证明线面平行的三种方法
(1)证直线的方向向量与平面内的一条直线的方向向量平行；
(2)证直线的方向向量与平面的法向量垂直；
(3)证直线的方向向量能写为平面内两不共线向量的线性表达式.
训练3 如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.