(新高考)高考数学一轮复习学案+分层提升10.3《二项式定理》(2份打包，原卷版+教师版)

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知识梳理
1．二项式定理
2.二项式系数的性质
(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项 SKIPIF 1 < 0 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 相等，且同时取得最大值．
(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n.
常用结论
1．两个常用公式
(1)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)＝2n.
(2)Ceq \\al(0,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(4,n)＋…＝Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(3,n)＋Ceq \\al(5,n)＋…＝2n﹣1.
2．二项展开式的三个重要特征
(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.
(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.
(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)Ceq \\al(k,n)an﹣kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．( )
(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．( )
(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( )
(4)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同．( )
教材改编题
1．(x﹣1)10的展开式的第6项的系数是( )
A．Ceq \\al(6,10) B．﹣Ceq \\al(6,10)
C．Ceq \\al(5,10) D．﹣Ceq \\al(5,10)
2．(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
3．在(1﹣2x)10的展开式中，各项系数的和是________．
题型一 通项公式的应用
命题点1 形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
例1 (1)(1﹣2eq \r(x))8展开式中x项的系数为( )
A．28 B．﹣28
C．112 D．﹣112
(2)若n∈Z，且3≤n≤6，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x3)))n的展开式中的常数项为______．
命题点2 形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2 (1)(x3﹣2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,\r(x))))6的展开式中x6的系数为( )
A．6 B．10 C．13 D．15
(2)二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(x,a)))(1﹣2x)4的展开式中x3项的系数是﹣70，则实数a的值为( )
A．﹣2 B．2
C．﹣4 D．4
教师备选
1.已知正整数n≥7，若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))(1﹣x)n的展开式中不含x5的项，则n的值为( )
A．7 B．8
C．9 D．10
2．在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为( )
A．60 B．30
C．15 D．12
思维升华 (1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可．
(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．
跟踪训练1 (1)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3－\f(1,x)))4的展开式中常数项为________．
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,x2)))(1＋2x)5的展开式中，含x3的项的系数是( )
A．﹣112 B．﹣48
C．48 D．112
题型二 二项式系数与项的系数的问题
命题点1 二项式系数和与系数和
例3 (1)(多选)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(x))))n的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则( )
A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64
C．常数项为﹣135 D．常数项为135
(2)已知多项式(1﹣2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝______，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝______.
命题点2 系数与二项式系数的最值问题
例4 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(2,x2)))6的展开式中二项式系数最大的项为第________项，系数最大的项为________．
教师备选
1．(多选)已知(1﹣2x)2 022＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 022x2 022，下列命题中正确的是( )
A．展开式中所有项的二项式系数的和为22 022
B．展开式中所有奇次项系数的和为eq \f(32 022－1,2)
C．展开式中所有偶次项系数的和为eq \f(32 022＋1,2)
D.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋eq \f(a3,23)＋…＋eq \f(a2 022,22 022)＝﹣1
2．(多选)已知(x﹣3)8＝a0＋a1(x﹣2)＋a2(x﹣2)2＋…＋a8(x﹣2)8，则下列结论正确的有( )
A．a0＝1
B．a6＝﹣28
C.eq \f(a1,2)＋eq \f(a2,22)＋…＋eq \f(a8,28)＝﹣eq \f(255,256)
D．a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
思维升华 赋值法的应用
一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)＋g(﹣1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为eq \f(1,2)[g(1)﹣g(﹣1)]．
跟踪训练2 (1)已知(2x﹣1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于( )
A．1 B．243
C．121 D．122
(2)(多选)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)－x))6的展开式中，下列说法正确的是( )
A．常数项为160
B．第4项的二项式系数最大
C．第3项的系数最大
D．所有项的系数和为64
题型三 二项式定理的综合应用
例5 (1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于( )
A．0 B．1 C．11 D．12
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是( )
A．1.23 B．1.24
C．1.33 D．1.34
教师备选
已知n为满足S＝n＋Ceq \\al(1,27)＋Ceq \\al(2,27)＋Ceq \\al(3,27)＋…＋Ceq \\al(27,27)(n≥3)能被9整除的正数n的最小值，则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,x)))n的展开式中，系数最大的项为( )
A．第6项 B．第7项
C．第11项 D．第6项和第7项
思维升华 二项式定理应用的题型及解法
(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．
(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3 (1)设n为奇数，那么11n＋Ceq \\al(1,n)·11n﹣1＋Ceq \\al(2,n)·11n﹣2＋…＋Ceq \\al(n－1,n)·11﹣1除以13的余数是( )
A．﹣3 B．2
C．10 D．11
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是( )
A．0.940 B．0.941
C．0.942 D．0.943
课时精练
1．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,x)))6的展开式中，含x4项的系数为( )
A．4 B．6
C．10 D．15
2．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(1,\r(3,x))))n的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是( )
A.eq \f(55,2) B．﹣eq \f(55,2)
C．﹣28 D．28
3．(x2﹣x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为( )
A．﹣9 B．9
C．﹣21 D．21
4．已知(x﹣m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0等于( )
A．﹣32 B．32
C．64 D．﹣64
5．(ax﹣y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为﹣2，则实数a的值为( )
A．﹣eq \f(1,3) B．﹣1 C．1 D.eq \f(1,3)
6．已知在(2x﹣1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则Ceq \\al(1,n)＋Ceq \\al(2,n)＋Ceq \\al(3,n)＋…＋Ceq \\al(n,n)的值为( )
A．28 B．28﹣1
C．27 D．27﹣1
7．(多选)已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(3,\r(x))))n的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是( )
A．2，n,10成等差数列
B．各项系数之和为64
C．展开式中二项式系数最大的项是第3项
D．展开式中第5项为常数项
8．(多选)已知(2﹣eq \r(3)x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是( )
A．a3＝﹣360
B．(a0＋a2＋a4＋a6)2﹣(a1＋a3＋a5)2＝1
C．a1＋a2＋…＋a6＝(2﹣eq \r(3))6
D．展开式中系数最大的为a2
9．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x3＋\f(1,x)))6的展开式中，x6的系数是________．
10．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(2,x)))n的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是________．
11．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(2,\r(x))))n的展开式中共有7项，则常数项为________(用数字作答)．
12．已知多项式(x﹣1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________，a2＋a3＋a4＝________.
13．已知n为正整数，若1.1510∈[n，n＋1)，则n的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
14．设(x﹣1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝________，2a2＋3a3＋4a4＝________.
15．已知Sn是数列{an}的前n项和，若(1﹣2x)2 022＝b0＋b1x＋b2x2＋…＋b2 022x2 022，数列{an}的首项a1＝eq \f(b1,2)＋eq \f(b2,22)＋…＋eq \f(b2 022,22 022)，an＋1＝Sn·Sn＋1，则S2 022等于( )
A．﹣eq \f(1,2 022) B.eq \f(1,2 022)
C．2 022 D．﹣2 022
16．(多选)已知n∈N*，n≥2，p，q>0，p＋q＝1，设f(k)＝Ceq \\al(k,2n)pkq2n﹣k，其中k∈N，k≤2n，则( )
A.eq \i\su(k＝0,2n,f)(k)＝1B.eq \i\su(k＝0,2n,k)f(k)＝2npq
C．若np＝4，则f(k)≤f(8)D.eq \i\su(k＝0,n,f)(2k)二项式定理
(a＋b)n＝Ceq \\al(0,n)an＋Ceq \\al(1,n)an﹣1b1＋…＋Ceq \\al(k,n)an﹣kbk＋…＋Ceq \\al(n,n)bn(n∈N*)
二项展开式的通项
Tk＋1＝Ceq \\al(k,n)an﹣kbk，它表示展开式的第k＋1项
二项式系数
Ceq \\al(k,n)(k＝0,1，…，n)