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2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年陕西省咸阳市武功县普集高级中学高二上学期12月月考数学试题含答案，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第11项B．第12项C．第13项D．第14项
【答案】B
【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.
【详解】数列，即数列，
由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，
所以通项公式，
令，解得.
故选：B.
2．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【详解】由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故选：D．
3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标，再结合离心率求出方程作答.
【详解】抛物线的准线方程为，则双曲线的焦点坐标为，
而双曲线的离心率为，令其实半轴长为，则，即有，虚半轴长，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】D
【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.
【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，
，解得：，，
所以冬至的日影长为尺.
故选：D
5．若数列满足，，，则（ ）
A．B．－2C．3D．
【答案】A
【分析】代入计算出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．
【详解】，则，，，，
所以数列是周期数列，且周期是4，因此，
故选：A．
6．设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为，为等差数列，
所以，，所以，
故选：D
7．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率
【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故选：B
二、多选题
9．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；
B选项，根据向量平行列出方程组，求出；
C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；
D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.
【详解】当时，，解得：，故A错误；
令，则，，故B正确；
，所以，解得：，故C正确；
当，，
因为，，故D正确．
故选：BCD
10．椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为3B．椭圆C的长轴长为10
C．椭圆C的离心率为D．椭圆C上存在点P，使得为直角
【答案】BC
【分析】由椭圆方程，计算，由焦距、长轴、离心率的定义可判断ABC，当点P为上顶点或者下顶点时，最大，分析可判断D
【详解】由题意，
椭圆的焦距为，A错误；
椭圆的长轴长为，B正确；
椭圆的离心率，C正确；
当点P为上顶点或者下顶点时，最大，此时又为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得为直角，D错误
故选：BC
11．已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列B．
C．D．当最小时，
【答案】BCD
【分析】由数列前项和为，可求数列通项，然后逐个验证选项.
【详解】，当时，；
当时，
注意到时也满足，
所以数列的通项公式为，，
，是递增数列，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，当最小时，，D选项正确.
故选：BCD.
12．已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切D．直线的斜率之积为定值
【答案】CD
【分析】由直线l过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，
因为抛物线的焦点在直线l上，可得，则，所以A错误；
对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误；
对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为D点，
过D点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确；
对于D中，设，联立方程组，
整理得，可得，则，
所以D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．已知等差数列的前三项为，，，则实数 .
【答案】0
【分析】由这3项成等差数列可求得．
【详解】由题意，解得，
故答案为：0.
【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，等差数列中连续的3项仍然成等差数列．
14．圆关于直线对称的圆的方程为 .
【答案】
【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设点关于直线对称点为，则
，解得，即，
所以圆关于直线对称的圆的方程为
，
故答案为：
15．等差数列的前n项和记为，且，，则 .
【答案】
【分析】利用等差数列的求和公式，建立方程组，可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，则.
故答案为：.
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
四、解答题
17．平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求△的面积.
【答案】(1)；
(2)5.
【分析】（1）根据已知两点，求得直线斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式，求得三角形的高，再结合两点之间的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.
【详解】（1）直线的斜率，故直线的方程为，
即.
（2）点A到直线的距离，
又，
则△的面积.
18．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解；
（2）先求前项和，再建立方程求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2）.
因为，所以，解得或.
因为，所以.
19．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；
（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出直线斜率，即可求解.
【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；
（2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，
故直线l的方程为或.
20．已知数列满足：，.
(1)计算数列的前4项；
(2)求证：是等差数列；
(3)求的通项公式.
【答案】(1)，，，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次计算.
（2）将给定的等式两边取倒数，再结合等差数列定义推理即得.
（3）利用（2）的结论，求出的通项公式.
【详解】（1）数列中，，，则，，，
所以数列的前4项为，，，．
（2）由（1）知，，将等号两端取倒数得，，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）知，即，
所以数列的通项公式为.
21．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且，.
(1)证明：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设，连接，证明 ，，原题即得证；
（2）证明平面，再以点O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）证明：设，连接.
因为四边形是菱形，所以O是的中点.
因为，所以.
因为四边形是菱形，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.
（2）因为，所以，所以.
因为，又平面.
所以平面.
因为O，E分别是，的中点，所以，所以平面.
故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，故，，，设平面的法向量，则，
令，得.
设平面的法向量，则，
令，得.设二面角为，
则.
所以.
22．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
一、单选题
1．已知数列，则是这个数列的（ ）
A．第11项B．第12项C．第13项D．第14项
【答案】B
【分析】根据被开方数的特点求出数列的通项公式，最后利用通项公式进行求解即可.
【详解】数列，即数列，
由数列的前几项观察归纳，知被开方数是以6为首项，4为公差的等差数列，
所以通项公式，
令，解得.
故选：B.
2．直线过圆的圆心，并且与直线垂直，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】求圆心坐标，由垂直可得斜率，然后根据点斜式可得.
【详解】由可知圆心为，
又因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，
由点斜式得直线，
化简得直线的方程是．
故选：D．
3．已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点在抛物线的准线上，且双曲线的离心率等于，则双曲线的标准方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出双曲线的焦点坐标，再结合离心率求出方程作答.
【详解】抛物线的准线方程为，则双曲线的焦点坐标为，
而双曲线的离心率为，令其实半轴长为，则，即有，虚半轴长，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B
4．《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到:冬至､小寒､大寒､立春､雨水､惊蛰､春分､清明､谷雨､立夏､小满､芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列.若冬至､大寒､雨水的日影子长的和是尺，芒种的日影子长为尺，则冬至的日影子长为（ ）
A．尺B．尺C．尺D．尺
【答案】D
【解析】根据题意转化为等差数列，求首项.
【详解】设冬至的日影长为，雨水的日影长为，根据等差数列的性质可知，芒种的日影长为，
，解得：，，
所以冬至的日影长为尺.
故选：D
5．若数列满足，，，则（ ）
A．B．－2C．3D．
【答案】A
【分析】代入计算出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．
【详解】，则，，，，
所以数列是周期数列，且周期是4，因此，
故选：A．
6．设等差数列，的前项和分别为，，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用等差中项求解即可.
【详解】因为，为等差数列，
所以，，所以，
故选：D
7．如图，在直三棱柱中，D为棱的中点，，，，则异面直线CD与所成角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.运用异面直线的空间向量求解方法，可求得答案.
【详解】解：以C为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，则，，
所以.
又因为异面直线所成的角的范围为，所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：A.
8．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若A为线段的中点，且，则C的离心率为（ ）
A．B．2C．D．3
【答案】B
【分析】由题意可得为直角三角形，再结合A为线段的中点，可得AO垂直平分，可表示出直线，再联立渐近线方程可以得到，，的关系，进而得到双曲线离心率
【详解】由题意可知，过的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，当两个交点分别在第二和第三象限时不符合，
A为线段的中点，当交点在轴上方或轴下方时，根据对称性结果是一样的，选择一种即可，如图.
根据双曲线可得，，，两条渐近线方程，
，为的中点，
，又A为线段BF1的中点，垂直平分，
可设直线为①，直线为②，直线为③，
由②③得，交点坐标，点还在直线上，，可得，
，所以双曲线C的离心率，
故选：B
二、多选题
9．已知空间向量，则下列选项中正确的是（ ）
A．当时，B．当时，
C．当时，D．当时，
【答案】BCD
【分析】A选项，根据垂直得到数量积为0，列出方程，求出，A错误；
B选项，根据向量平行列出方程组，求出；
C选项，根据向量运算法则计算出，利用模长公式列出方程，求出；
D选项，先利用向量夹角余弦公式计算出两向量夹角的余弦，进而计算出正弦值.
【详解】当时，，解得：，故A错误；
令，则，，故B正确；
，所以，解得：，故C正确；
当，，
因为，，故D正确．
故选：BCD
10．椭圆C的方程为，焦点为，，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的焦距为3B．椭圆C的长轴长为10
C．椭圆C的离心率为D．椭圆C上存在点P，使得为直角
【答案】BC
【分析】由椭圆方程，计算，由焦距、长轴、离心率的定义可判断ABC，当点P为上顶点或者下顶点时，最大，分析可判断D
【详解】由题意，
椭圆的焦距为，A错误；
椭圆的长轴长为，B正确；
椭圆的离心率，C正确；
当点P为上顶点或者下顶点时，最大，此时又为锐角，可得，故，因此椭圆C上不存在点P，使得为直角，D错误
故选：BC
11．已知数列的前项和为，则下列结论正确的有（ ）
A．是递减数列B．
C．D．当最小时，
【答案】BCD
【分析】由数列前项和为，可求数列通项，然后逐个验证选项.
【详解】，当时，；
当时，
注意到时也满足，
所以数列的通项公式为，，
，是递增数列，A选项错误；
，B选项正确；
，C选项正确；
，，当最小时，，D选项正确.
故选：BCD.
12．已知抛物线的焦点在直线上，直线与抛物线交于点（为坐标原点），则下列说法中正确的是（ ）
A．B．准线方程为
C．以线段为直径的圆与的准线相切D．直线的斜率之积为定值
【答案】CD
【分析】由直线l过定点，得到，可判定A正确；根据抛物线的几何性质，可得判定B错误；过点作准线的垂线，根据抛物线的定义得到，可判定C正确；联立方程组，结合韦达定理，得到，求得，可判定D正确.
【详解】对于A中，由直线，可化为，可得直线过定点，
因为抛物线的焦点在直线l上，可得，则，所以A错误；
对于B中，由抛物线的准线方程为，所以B错误；
对于C中，过点作准线的垂线，垂足分别为，的中点为D点，
过D点作准线的垂线，垂足为，可得，所以C正确；
对于D中，设，联立方程组，
整理得，可得，则，
所以D正确.
故选：CD.
三、填空题
13．已知等差数列的前三项为，，，则实数 .
【答案】0
【分析】由这3项成等差数列可求得．
【详解】由题意，解得，
故答案为：0.
【点睛】本题考查等差数列的概念与性质，等差数列中连续的3项仍然成等差数列．
14．圆关于直线对称的圆的方程为 .
【答案】
【分析】求出圆的圆心关于直线的对称点，就是所求圆的圆心，而半径不变，从而可求出圆的方程
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设点关于直线对称点为，则
，解得，即，
所以圆关于直线对称的圆的方程为
，
故答案为：
15．等差数列的前n项和记为，且，，则 .
【答案】
【分析】利用等差数列的求和公式，建立方程组，可得答案.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，
解得，则.
故答案为：.
16．已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
【答案】13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
四、解答题
17．平面直角坐标系中，已知△三个顶点的坐标分别为，，.
(1)求边所在的直线方程；
(2)求△的面积.
【答案】(1)；
(2)5.
【分析】（1）根据已知两点，求得直线斜率，再利用点斜式即可求得直线的方程；
（2）利用点到直线的距离公式，求得三角形的高，再结合两点之间的距离公式以及三角形面积公式，即可求得结果.
【详解】（1）直线的斜率，故直线的方程为，
即.
（2）点A到直线的距离，
又，
则△的面积.
18．已知是等差数列的前项和，，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据等差数列回到基本量，解出首项和公差即可求解；
（2）先求前项和，再建立方程求解即可.
【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，
所以.
解得.
所以.
（2）.
因为，所以，解得或.
因为，所以.
19．已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点．
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；
（2）先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出直线斜率，即可求解.
【详解】（1）设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；
（2）设圆心到直线到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；
当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，
故直线l的方程为或.
20．已知数列满足：，.
(1)计算数列的前4项；
(2)求证：是等差数列；
(3)求的通项公式.
【答案】(1)，，，；
(2)证明见解析；
(3).
【分析】（1）根据给定的递推公式，依次计算.
（2）将给定的等式两边取倒数，再结合等差数列定义推理即得.
（3）利用（2）的结论，求出的通项公式.
【详解】（1）数列中，，，则，，，
所以数列的前4项为，，，．
（2）由（1）知，，将等号两端取倒数得，，即，
所以数列是以为首项，1为公差的等差数列.
（3）由（2）知，即，
所以数列的通项公式为.
21．如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，E是的中点，且，.
(1)证明：平面；
(2)若，，求二面角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）设，连接，证明 ，，原题即得证；
（2）证明平面，再以点O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求解.
【详解】（1）证明：设，连接.
因为四边形是菱形，所以O是的中点.
因为，所以.
因为四边形是菱形，所以.
因为平面，平面，且，
所以平面.
（2）因为，所以，所以.
因为，又平面.
所以平面.
因为O，E分别是，的中点，所以，所以平面.
故以O为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，，，故，，，设平面的法向量，则，
令，得.
设平面的法向量，则，
令，得.设二面角为，
则.
所以.
22．椭圆的右焦点为F、右顶点为A，上顶点为B，且满足．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线l与椭圆有唯一公共点M，与y轴相交于N（N异于M）．记O为坐标原点，若，且的面积为，求椭圆的标准方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；
（2）由（1）可知椭圆的方程为，设直线的方程为，将直线的方程与椭圆方程联立，由可得出，求出点的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得的值，即可得出椭圆的方程.
【详解】（1）解：，
离心率为.
（2）解：由（1）可知椭圆的方程为，
易知直线的斜率存在，设直线的方程为，
联立得，
由，①
，，
由可得，②
由可得，③
联立①②③可得，，，故椭圆的标准方程为．
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