2023-2024学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校试验部高二上学期12月月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市浑南区东北育才学校试验部高二上学期12月月考数学试题含答案，共28页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A．B．4C．D．－4
【答案】C
【分析】求出直线所过定点，根据与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，，求解即可.
【详解】因为圆的圆心为,半径，
又直线，化为，
则直线过定点，
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，
解得.
故选：.
2．已知直线：恒过点A，已知，动点P在直线：上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据直线的点斜式方程判断直线所过的定点，再结合点关于线对称的性质进行求解即可.
【详解】由化简得，
所以，
如下图所示：

由图形可知，点A、B在直线的同侧，
且直线的斜率为1，
设点B关于直线的对称点为点，
则，解得，，即点，
由对称性可知，
故选：D
3．如图，把椭圆绕短轴旋转形成的几何体称为“扁椭球”，其中a称为扁椭球长半径，b称为扁椭球短半径，称为扁椭球的“扁率”.假设一扁椭球的短半径为，且一棱长为1的正方体内接于扁椭球（即正方体的8个顶点都在扁椭球球面上），则此扁椭球的扁率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据旋转体特性可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，根据内接正方形与圆得关系求出一组代入椭圆方程即可求出a，最后得出答案.
【详解】由题可知“扁椭球”每一个水平切面都是圆形，所以正方体上方正方形与所在圆面内接，因为正方体棱长为1，所在圆半径为
根据图像的对称性可知，正方体上方正方形所在位置，，将其代入椭圆方程得，解得，
故选：B
4．已知过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，过点且斜率为－1的直线与相交于，两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到的距离的最大值为（ ）
A．6B．C．D．
【答案】D
【分析】利用椭圆的方程和性质及直线与椭圆位置关系即可解决.
【详解】由过椭圆左焦点且与长轴垂直的弦长为，可得椭圆过点，代入方程得.
设则，
两式作差得，
即，
因为恰好是的中点，所以，又因为直线AB斜率为-1，
所以，将它们代入上式得，
则联立方程解得.
所以椭圆上一点到的距离的最大值为.
故选：D
5．设抛物线的焦点为F，过点的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，，则与的面积之比（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据抛物线焦半径公式得到B点横坐标，进而利用抛物线方程求出B点纵坐标，直线AB的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用求出答案.
【详解】如图，过点B作BD垂直准线于点D，则由抛物线定义可知：，
设直线AB为， ，，，不妨设，则，
所以，解得：，则，解得：，则，
所以，解得：，则直线AB为，
所以当时，即，解得：，则，
联立与得：，则，
所以，其中.
故选：C
6．已知椭圆的左右焦点为，过的直线与椭圆交于AB两点，P为AB的中点，，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在中，由余弦定理可得的长度，进而根据边的关系得为直角三角形，根据焦点三角形即可得关系.
【详解】设则，所以
由于，所以为锐角，故，
在中，由余弦定理得，
因此,故为直角三角形，
所以，
由的周长为，
所以故，
故选：B
7．如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为，换元后利用基本不等式可得答案.
【详解】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆，
以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，

则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0,0.1)，
由，设，则，
记直线与平面ABCD所成角为，
则
设，
所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为，
故选：A.
【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题.
8．如图，为双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线于两点，且，为线段的中点，若对于线段上的任意点，都有成立，则双曲线的离心率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】取中点，根据向量数量积的运算律和向量线性运算可将已知数量积不等式化为，由此可确定，由三角形中位线性质知；设，结合双曲线定义可表示出，在和中，利用勾股定理可求得离心率.
【详解】取中点，连接，
，
，
，则，恒成立，
，又，，
设，由得：，
根据双曲线定义可知：，，
，即，，
，，又，，
，则离心率.
故选：D.
二、多选题
9．若直线L的一个方向向量，且L经过点，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线L与直线垂直
D．直线L上不存在与原点距离等于0.1的点
【答案】CD
【分析】根据题意先将直线的方程求出来；对于A，由直线斜率与倾斜角的关系即可判断；对于B，在直线方程中令，求出的值即可判断；对于C，判断两直线斜率之积是否为即可；对于D，算出原点到直线的距离即可判断.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为，
又经过点，所以直线的方程为：，
整理得.
对于A，由于直线的斜率为，所以其倾斜角为，故A选项不正确；
对于B，在直线方程中令，解得，
所以在轴上的截距等于，故B选项不正确；
对于C，将直线方程变形得，所以其斜率为，
又直线的斜率为，所以，所以直线与直线垂直，故C选项正确；
对于D，由于原点到直线的距离为，这表明了原点到直线上的任意一点的距离至少是，
因为，
因此上不存在与原点距离等于0.1的点，故D选项正确.
故选：CD,
10．下列命题中正确的是（ ）
A．双曲线与直线有且只有一个公共点
B．平面内满足的动点P的轨迹为双曲线
C．若方程表示焦点在y轴上的双曲线，则
D．已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程为
【答案】AC
【分析】A选项，联立求出双曲线与直线只有一个交点，A正确；B选项，举出反例；C选项，根据焦点在轴上，得到不等式组，求出；D选项，由双曲线焦距和渐近线方程，得到，，得到双曲线方程.
【详解】对于A，解方程组得唯一解,
所以双曲线与直线有且只有一个公共点，所以A对；
对于B，当时，满足的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；
对于C，若方程表示焦点在y轴上的双曲线，
则且，解得，所以C对；
对于D，设双曲线标准方程为，由，则，
渐近线方程为，即，由，解得，，
双曲线的标准方程为，所以D错.
故选：AC
11．已知抛物线的焦点为，定点和动点，都在抛物线上，且（其中为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．设点是线段的中点，则点的轨迹方程为
C．若（点在第一象限），则直线的倾斜角为
D．若弦的中点的横坐标2，则弦长的最大值为7
【答案】BCD
【分析】根据三角形的面积求得，从而求得抛物线的标准方程，利用相关点代入法、焦半径、弦长等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A．，抛物线的标准方程为，故A错误；
B．抛物线的焦点为，
，，则，，
代入，得，整理得，
所以点的轨迹方程为，B正确；
C．由于，所以三点共线，设直线的倾斜角为，
，，解得，
同理可得，依题意，即，
，所以为锐角，所以，C正确；
D．设直线的方程为，
由消去并化简得，
设，则 ，
，则，
，
所以当时，，，
满足.
所以D正确．

故选：BCD
12．已知双曲线的左、右焦点分别为是右支上一点，下列结论正确的有（ ）
A．若的离心率为，则过点且与的渐近线相同的双曲线的方程是
B．若点，则的最小值为
C．过作的角平分线的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为
D．若直线与其中一条渐近线平行，与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为
【答案】BD
【分析】对于A项，设出与共渐近线的双曲线的方程代入求解即可，对于B项，运用双曲线的定义及两点之间线段最短即可求解，对于C项，由三角形中位线性质可得，即可得点Q的轨迹为圆，转化为求圆上的点到直线的最大距离求解即可，对于D项，设直线的方程，进而求得点M的坐标，由求得点P的坐标，将点P的坐标代入双曲线的方程即可求得离心率.
【详解】于A项，因为双曲线的离心率为，即，则.
因为双曲线与的渐近线相同，则设双曲线的方程为（），
将代入得，解得，
所以双曲线的方程为，故A项不正确；
对于B项，如图所示，

因为是右支上一点，所以由双曲线定义可知，
又因为在双曲线内，所以，故B项正确；
对于C项，如图，延长并与相交于点B，连接.

由题可知，为的中点，则，
所以，则是以为圆心，为半径的圆上一点.
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为，故C项不正确.
对于D项，如图所示，

根据对称性，不妨设直线的方程为，
联立方程组得，
设，则，，
由，则，解得，
即，
将点代入双曲线的方程得，即，
所以双曲线的离心率，故D项正确.
故选：BD.
三、填空题
13．已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据,且双曲线上的点到焦点的最小距离为，得到，进而求得离心率的范围.
【详解】因为分别为的中点，所以.
又双曲线上的点到焦点的最小距离为，
所以，解得，
因此双曲线的离心率e的取值范围是．
故答案为：．
14．已知圆，从坐标原点O向圆C作两条切线OP，OQ，切点分别为P，Q，若，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据到直线距离范围得出到直线距离范围，再得出点到直线距离与关系得出范围.
【详解】
由题可知，在中，，即，
所在轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆上，
到直线的距离为，
则到直线的距离为，
到直线的距离也可表示为，，
可得的取值范围是
故答案为:
四、双空题
15．已知是椭圆的左焦点，点为该椭圆上一动点，若在椭圆内部，则的最大值为 ；的最小值为 ．
【答案】 8
【分析】设右焦点为，根据椭圆的定义得到，则，求出椭圆的左准线方程，根据圆锥曲线的第二定义，设到左准线的距离为，则，所以，则，即可得解.
【详解】椭圆中，，，则，
设右焦点为，则，离心率，
则，所以，
所以，当且仅当在的延长线与椭圆的交点时取等号；

又椭圆左准线方程为，
设到左准线的距离为，则，所以，
所以，
当且仅当在过点作左准线的垂线与椭圆的交点时取等号..

故答案为：；
五、填空题
16．如图抛物线的顶点为A，焦点为F，准线为，焦准距为4；抛物线的顶点为B，焦点也为F，准线为，焦准距为6．和交于P、Q两点，分别过P、Q作直线与两准线垂直，垂足分别为M、N、S、T，过F的直线与封闭曲线APBQ交于C、D两点，则下列说法正确的是

①；②四边形MNST的面积为；③；④的取值范围为.
【答案】①②③④
【分析】根据抛物线的定义可得判断①，以为原点建立平面直角坐标系，根据条件可得抛物线的方程为，可得，进而判断②，利用抛物线的定义结合条件可得可判断③，利用抛物线的性质结合焦点弦的性质可判断④.
【详解】设直线与直线分别交于由题可知，
所以，，故①正确；
如图以为原点建立平面直角坐标系，则，，
所以抛物线的方程为，

连接，由抛物线的定义可知，又，
所以，代入，可得，
所以，又，故四边形的面积为，故②正确；
连接，因为，所以，
所以，
故，故③正确；
根据抛物线的对称性不妨设点在封闭曲线的上部分，
设在直线上的射影分别为，
当点在抛物线，点在抛物线上时，，
当与重合时，最小，最小值为，
当与重合，点在抛物线上时，因为，
直线，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，，
所以；
当点在抛物线，点在抛物线上时，设，
与抛物线的方程为联立，可得，
设，则，，
当，即时取等号，故此时；
当点在抛物线，点在抛物线上时，根据抛物线的对称性可知，；
综上，，故④正确.
故答案为：①②③④.
【点睛】构建平面直角坐标系，结合抛物线定义可求解长度和角度问题，判断①②，
根据抛物线的对称性，判断，
从而，从而判断③，
分别讨论的位置，然后判断的取值范围，判断④，是本题的难点.
六、解答题
17．已知平行四边形的三个顶点的坐标为、、．
(1)求边的中垂线所在的直线方程和平行四边形的顶点D的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)8
【分析】（1）利用中点坐标公式，以及，结合点斜式求直线方程；（2）利用两点间距离公式和点到直线距离公式求解代入计算．
【详解】（1）如图，设边中点为E，
∵、，∴
边的中垂线所在的直线的斜率为，由直线的点斜式方程得边的中垂线所在的直线为，即．
设边中点为M，则M点坐标为，
设点D的坐标为，由已知得M为线段的中点，
有，解得，∴．
（2）由、得，直线的方程为：，
∴D到直线的距离，
∴．
18．某公园有一圆柱形建筑物，底面半径为2米，在其南面有一条东西走向的观景直道（图中用实线表示），建筑物的东西两侧有与直道平行的两段辅道（图中用虚线表示），观景直道与辅道距离5米．在建筑物底面中心O的北偏东45°方向米的点A处，有一台360°全景摄像头，其安装高度低于建筑物高度．请建立恰当的平面直角坐标系，并解决问题：

(1)在西辅道上与建筑物底面中心O距离4米处的游客，是否在摄像头监控范围内？
(2)求观景直道不在摄像头的监控范围内的长度．
【答案】(1)游客在该摄像头的监控范围内
(2)8.75米
【分析】（1）建立坐标系，利用直线和圆的位置关系可以判断；
（2）根据直线和圆相切求出切线，利用切线和观景直道所在直线的交点可得范围.
【详解】（1）设为原点，正东方向为轴，建立平面直角坐标系，，
因为，，则，依题意得，游客所在位置为，
则直线的方程为，
所以圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离，所以游客在该摄像头的监控范围内．
（2）由图知，过的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物挡住，
所以设直线过点且和圆相切，
①若直线垂直于轴，则直线不会和圆相切；
②若直线不垂直于轴，设，整理得，
所以圆心到直线的距离为，解得或，
所以或，
即或，
观景直道所在直线方程为，
设两条直线与的交点为D，E，
由，解得，
由，解得，
所以，
答：观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为8.75米．

19．已知圆与圆关于直线对称．
(1)求圆的方程；
(2)直线与圆交于两点，为坐标原点,设直线的斜率分别为，当时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的圆心坐标为，根据题意，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）联立方程组，得到，根据，求得，由，化简得到，结合韦达定理，求得，结合，求得，再代入不等式，求得或，进而求得的取值范围．
【详解】（1）由圆与圆关于直线对称．
设圆的圆心坐标为，
则，解得，
所以圆的方程为.
（2）由直线的方程为，
联立方程组，整理得，
根据题意，可得，解得，
设，则，
因为直线的斜率分别为，且，可得，即，
即，即，
代入可得，可得，
因为，可得，解得，
将代入，可得，解得或，
综上可得，实数的取值范围为．
七、证明题
20．如图，平面五边形中，△是边长为2的等边三角形，，，，将△沿翻折，使点翻折到点．
(1)证明：；
(2)若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在平面图形中取中点，连接，，由等边三角形性质、三角形全等有、，再应用线面垂直的判定、性质证结论；
（2）首先证两两垂直，再构建空间直角坐标系并确定相关点坐标，求直线的方向向量、平面的法向量，进而求线面角的正弦值.
【详解】（1）在平面图形中取中点，连接，，
∵△是边长为2的等边三角形，
∴，，故翻折后有，
又，则，，，
所以△△，即，则，
由，、平面，故平面，
∵，则，
∴平面，又平面，
∴．
（2）在面内作，交于，由平面，平面，
所以，故两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由（1）得，四边形为矩形，
在△中，，由余弦定理得，故，
所以，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量，则，令，则，
设直线与平面所成角为，则．
21．已知抛物线的焦点为F，抛物线H上的一点M的横坐标为5，为坐标原点，．
(1)求抛物线H的方程；
(2)若一直线经过抛物线H的焦点F，与抛物线H交于A，B两点，点C为直线上的动点．
①求证：．
②是否存在这样的点C，使得△ABC为正三角形?若存在，求点C的坐标；若不存在，说明理由，
【答案】(1)抛物线H的方程为；
(2)证明见解析；存在点，使得为正三角形，理由见解析.
【分析】(1) 由条件列方程求参数，由此可得抛物线H的方程； (2)设直线，，联立方程得关于的表达式，结合韦达定理和向量的表示方法，即可求证；可假设存在点，设的中点为，由直线和垂直关系求出点，由韦达定理和弦长公式求得弦，结合即可求解具体的的值，进而求解点；
【详解】（1）因为抛物线的方程为，M 抛物线上且的横坐标为5，
所以M的纵坐标为，
当点的坐标为时，过点作，垂足为,
因为，所以，所以
又，所以，
所以，所以，又
所以，
同理当点的坐标为时，
所以抛物线的方程为；
（2）①设直线，,
由，得，
则.
，
，
所以，所以
②假设存在这样的点，设的中点为，由①知;
，则，则，
则，而，由得，，所以存在点.
【点睛】本题主要考查抛物线轨迹方程的求法，韦达定理，向量法在解析几何中的具体应用，由特殊三角形的关系求解参数值，运算推理能力，综合性强，属于难题
22．已知椭圆C：的右顶点为，过左焦点F的直线交椭圆于M，N两点，交轴于P点，，，记，，（为C的右焦点）的面积分别为.
(1)证明：为定值；
(2)若，，求的取值范围.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）首先得到椭圆方程为，设点，利用向量关系得到，，再联立椭圆与直线方程得，则，再整体代换得定值.
（2），，，结合（1）中向量式得，
再代入有，联立解得，再结合的范围，利用导数或是对勾函数性质求出其范围.
【详解】（1）由题意得，左焦点F，，所以椭圆C的标准方程为：.
设，显然，令，，则，则
，，
由得，解得，同理.
联立，得
.
，从而（定值）
（2）
结合图象，不妨设，，，，
由得
代入，有，则，
解得
，，
设，则，设，则，
令，解得，令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，则，
且，则，则.
【点睛】方法点睛：对于解析几何中共线向量系数和定值问题，我们常用设线法，与圆锥曲线联立得到韦达定理式，将比例和用韦达定理的式子表示出来再整体代入计算，也可以通过构造关于和的一元二次方程，利用两根之和直接得到答案.
结论点睛： 定比分点坐标公式：若点,则点的坐标为