云南省宣威市第三中学2023-2024学年高二上学期开学收心考试数学试题

高二年级上学期开学收心考试卷

数    学

时间：120分钟   满分：150分

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1．若集合，，则（　　）

A． B． C． D．

2．复数满足，则在复平面内对应的点位于 (   )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

3．命题“，都有”的否定是（    ）

A．，都有 B．，使得

C．，使得 D．，使得

4．最近几个月，新冠肺炎疫情又出现反复，各学校均加强了疫情防控要求，学生在进校时必须走测温通道，每天早中晚都要进行体温检测并将结果上报主管部门。某班级体温检测员对一周内甲、乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A．甲同学体温的极差为

B．甲同学体温的众数为

C．乙同学体温的中位数与平均数相等

D．乙同学体温的第百分位数为

5．在ΔABC中，为线段上一点，且，则（    ）

A． B． C． D．

6．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（    ）

A．向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

C．向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度

D．向左平移个单位长度，再向下平移1个单位长度

7．已知事件A和B相互独立，且，则（    ）

A． B． C． D．

8．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了C，D两点，在C，D处测得旗杆的仰角分别为。在水平面上测得且C､D的距离为15米，则旗杆的高度为多少米？（    ）

A．13 B． C．15 D．

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9．关于复数（i为虚数单位），下列说法正确的是（　　）

A． B．在复平面上对应的点位于第二象限

C． D．

10．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列为假命题的是（    ）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

11．下列结论正确的是（    ）

A．，

B．且是的充分不必要条件

C．命题“，使得”的否定是“，都有”

D．“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件

12．已知函数的最小正周期为，则该函数的图象（    ）

A．关于点对称 B．关于直线对称

C．关于点对称              D．关于直线对称

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13．设向量，的夹角的余弦值为，且，，则         。

14．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为         。（结果保留π）

15．某汽车店有甲、乙、丙、丁、戊5种车型在售，小王从中任选2种车型试驾，则甲车型被选到的概率为         。

16．在长方体中，，，则异面直线，所成的角的余弦值为           。

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）某班名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：

(1)求这次数学考试学生成绩的众数和平均数；

(2)从成绩在的学生中任选人，求此人的成绩都在中的概率。

18．（12分）已知向量，，，且。

(1)求实数的值；

(2)求向量与的夹角。

19．（12分）正三棱柱的底面正三角形的边长为，为的中点，。

(1)证明：平面；

(2)求该三棱柱的体积。

20．（12分）如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：  

(1)这一组的频数､频率分别是多少？

(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数､众数､中位数。

(3)从成绩是分以上（包括分）的学生中选两人，求他们在同一分数段的概率。

21．（12分）如图，在三棱锥中，，D，E分别是的中点。

(1)求证：平面;

(2)求证：平面。

22．（12分）在锐角ΔABC中，，，分别为角，，所对的边且。

(1)确定角的大小；

(2)若且ΔABC的面积为，求的值。

参考答案

1．D  【分析】直接利用并集的定义进行运算即可.

【详解】∵，，∴. 故选：D.

2．D  【分析】利用复数的除法运算求解

【详解】由题得在复平面内对应的点为(1,-2),

所以在复平面内对应的点在第四象限,  故选：D

3．B  【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即得.

【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，

所以命题“，都有”的否定是“，使得”. 故选：B.

4．D  【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用众数的概念可判断B选项；利用中位数和平均数的定义可判断C选项；利用百分位数的定义可判断D选项.

【详解】甲同学的体温的极差为，故A选项正确；

甲同学的体温从低到高依次为、、、、、、，

故众数为，故B选项正确；

乙同学的体温从低到高依次为、、、、、、，

乙同学的体温的中位数为，平均数也为，故C选项正确；

因为，故乙同学体温的第百分位数为，故D错误.    故选：D.

5．C  【分析】待求向量中含有，先根据得到向量表达式，然后插入点，根据向量的线性运算求解.

【详解】由于，由于为线段上一点，则，故，

整理可得.  故选：C

6．C  【分析】由平移变换和伸缩变换求解即可.

【详解】要得到函数，需把函数的向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得出的图像.

故选：C

7．A  【分析】由相互独立事件的概率乘法公式可得答案.

【详解】依题意可． 故选：A

8．C  【分析】设旗杆的高度为，在中，利用余弦定理求解.

【详解】如图所示：

设旗杆的高度为，

所以，

在中，由余弦定理得，

即，

即，

解得或（舍去）， 故选：C

9．ACD  【分析】利用复数的运算法则，共轭复数的定义，几何意义即可求解

【详解】

所以   故A正确

，则在复平面上对应的点为位于第三象限   故B错误

   故C正确

   故D正确   故选：ACD

10．BCD  【分析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐一分析四个选项得答案．

【详解】若，则与内的所有直线垂直，

又，则内存在直线与平行，可得，则，故A正确；

若，，则与的关系不确定，故B错误；

若，，则或，故C错误；

若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，故D错误．

故选：BCD．

11．BCD  【分析】A选项，由得到方程无解；B选项，可能得到，故B正确；C选项，存在量词命题的否定是全称量词命题，把存在改为任意，把结论否定；D选项，求出方程有一正根和一负根时的取值范围，从而判断出结论.

【详解】A选项，中，故方程无解，A错误；

B选项，且，则，但可能得到，

故且是的充分不必要条件，B正确；

C选项，命题“，使得”的否定是“，都有”，C正确；

D选项，有一正根和一负根，故，解得：，

所以“”是“关于的方程有一正根和一负根”的充要条件，D正确.

故选：BCD

12．AD  【分析】根据周期可计算出的值，然后根据余弦型函数的对称中心和对称轴对应的函数值的特点判断各选项的正误．

【详解】由已知可得，所以．

因为，所以是对称中心，A正确．

因为，所以直线不是对称轴，B错误．

因为，所以不是对称中心，C错误．

因为，所以直线是对称轴，D正确，   故选AD．

13．  【分析】设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．

【详解】解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，

又，，所以，

所以．

故答案为：．

14．/  【分析】首先根据弧长公式求半径，再根据扇形面积公式，即可求解.

【详解】根据条件可知扇形所在圆的半径，

此扇形的面积.   故答案为：

15．/  【分析】列出随机试验的样本空间，再确定事件甲车型被选到所包含的基本事件数，利用古典概型概率公式求随机事件甲车型被选到的概率.

【详解】随机试验小王从甲、乙、丙、丁、戊5种车型中任选2种车型试驾的可能结果为：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共含10个基本事件，其中随机事件甲车型被选到包含基本事件（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），所以随机事件甲车型被选到的概率.

故答案为：.

16．  【分析】连接，证明，则或其补角即为异面直线，所成角的平面角，再解即可.

【详解】如图，连接，   因为且，

所以四边形为平行四边形，所以，

则或其补角即为异面直线，所成角的平面角，

在中，，

由余弦定理得，

即异面直线，所成的角的余弦值为.

故答案为：.  

17．(1)众数为；平均数为  (2)

【分析】（1）由频率和为可求得；根据频率分布直方图估计众数和平均数的方法直接计算可得结果；

（2）根据频率可求得成绩在和的人数，列举出所有基本事件，并找出满足题意的基本事件个数，由古典概型概率公式可求得结果.

【详解】（1），；

由频率分布直方图可知：这次数学考试学生成绩的众数为；

平均数为.

（2）由（1）得：成绩在的人数为，记为；成绩在的人数为，记为；

从上述人中，任选人，则有，，，，，，，，，，共种情况；

其中人的成绩都在中的情况有：，，，共种；

人的成绩都在中的概率.

18．（1）；（2）.

【分析】（1）计算出平面向量的坐标，利用平面向量垂直的坐标表示可得出关于实数的等式，由此可求得实数的值；

（2）利用平面向量夹角余弦的坐标表示可求得的值，结合角的取值范围可求得结果.

【详解】（1），，则，

又，且，，解得；

（2），，因此，.

【点睛】本题考查利用平面向量垂直的坐标表示求参数，同时也考查了平面向量夹角的计算，考查计算能力，属于基础题.

19．(1)证明见解析   (2)

【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到线线平行，从而线面平行；

（2）求出底面正三角形的面积，进而利用柱体体积公式进行求解.

【详解】（1）证明：连接，设，连接

∵是正三棱柱的侧面，   ∴为矩形，

∴是的中点，   ∴是的中位线，

∴，    又平面，平面，

∴平面.

（2）因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为2，为的中点

所以，，  故，

又平面，，  所以正三棱柱的体积

20．(1)，   (2)，，   (3)

【分析】（1）先求得，，，，各组的频率，再利用对立事件的概率求解，进而得到频数；

（2）根据频率分布直方图，利用平均数的平均数､众数､中位数的定义求解；

（3）易得和之间的人数分别为4人和2人，然后利用古典概型的概率求解.

【详解】（1）根据题意，的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

的这一组的频率为，

则这一组的频率为，

其频数为；

（2）这次竞赛的平均数为，

一组的频率最大，人数最多，则众数为，

分左右两侧的频率均为，则中位数为；

（3）记“取出的人在同一分数段”为事件，

因为之间的人数为，设为､､､，

之间有人，设为､，

从这人中选出人，有

、、、､、、、

、、、､、、、，共个基本事件，

其中事件E包括、、、、、、，共个基本事件，

则.

21．(1)见解析,  (2)见解析.

【分析】(1)根据线面平行的判定定理证明线面平行;

(2)根据线面垂直的判定定理证明线面垂直.

【详解】（1）证明：由题知D,E分别是的中点,,

平面平面,

平面,得证;

（2）证明：由题知,D是的中点,

,

平面,平面且,

故平面得证.

22．(1)  (2)

【分析】（1）由正弦定理边化角，即可求解；

（2）由面积公式和余弦定理列方程可得.

【详解】（1）由，  结合正弦定理可得，

，   ，   因为ΔABC为锐角三角形，  所以.

（2）因为ΔABC的面积，  所以解得.

由余弦定理可得，

所以，  解得.