2023-2024学年湖南省长沙市第一中学高二上学期第二次阶段性检测（12月）数学试卷含答案

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一､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若复数满足，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
3. 设是定义在上的奇函数，则（ ）
A. B. 0C. 1D. 2
4. 已知直线与直线，若，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D. 或
5. 已知为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 26B. 27C. 28D. 29
6. 函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
8. 已知双曲线的右焦点为，过点且斜率为3的直线与双曲线分别交于两点，若是线段的中点，且，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 树人中学为了解高二年级学生每天的体育活动时间，随机抽取200名学生统计每天体育运动的时间，按照时长（单位：分钟）分成六组，对统计数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 这200名学生每天体育活动时间的众数是55
C. 这200名学生每天体育活动时间的中位数小于60
D. 这200名学生中有60人每天体育活动时间低于50分钟
10. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且弦的中点到直线的距离为6，则（ ）
A.
B. 两点到抛物线的准线的距离之和为12
C. 线段的长为12
D. 的最大值为36
11. 如图，在棱长为2的正方体中，点在平面内且，则以下结论正确的是（ ）
A. 异面直线与所成的角是
B. 三棱锥的体积为
C. 存在点，使得
D. 点到平面距离的最小值为
12. 已知，下列说法正确的是（ ）
A. 函数图象关于点对称
B. 函数的最小正周期为
C. 若，则在上存在极大值
D. 时，
三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设等比数列，且，则__________．
14. 若圆上恰有四个点到直线距离等于1，则的取值范围为__________．
15. 如图，在三棱锥中，，点在线段上，且，则直线与直线所成角的余弦值为__________．
16. 已知函数，若方程恰有5个不等实根，则实数的取值范围是__________．
四､解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
17. 在一次奥运会男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛．假设每场比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，且各场比赛结果相互独立．比赛方案采用五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）．
（1）求前2场比赛中，甲至少赢得一场的概率；
（2）已知前2场比赛甲、乙各胜一场，求最终甲获胜的概率．
18. 已知的内角所对的边分别是，已知．
（1）求角；
（2）若的面积为，求取最小值时的周长．
19. 已知数列的首项，且满足．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，求数列的前项和．
20. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2正方形，是正三角形，．
（1）求证：平面平面；
（2）直线上是否存在点，使得直线与平面所成角为若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知椭圆的离心率为，且经过点．
（1）求椭圆方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，试问以为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出定点；若不过定点，说明理由．
22. 已知．
（1）当时，证明：在上单调递增；