湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高二上学期阶段性检测数学试卷

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟．满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 曲线在处的切线斜率为（ ）
A. 0B. 1C. 2D.
2. 设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 36B. 45C. 54D. 63
3. 圆与圆的位置关系为（ ）
A. 内切B. 相交C. 外切D. 外离
4. 椭圆的两焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两边，则椭圆的离心率是（ ）
A B. C. D.
5. 已知等比数列的前项和为，且,则 ( ）
A. B. C. D.
6. 设F是椭圆上的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（ ）
A. B. 3C. D.
7. 已知圆锥的底面积为π，侧面积是底面积的2倍，则该圆锥外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 定义在上的可导函数，满足，且，若，则的大小关系是（ ）
A. B.
C D.
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
9. 已知直线，直线，则下列结论正确的是（ ）
A. 在轴上的截距为B. 过定点
C. 若，则或D. 若，则
10. 已知等差数列 的首项为，公差为，前项和为，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A. B. 使得成立的最大自然数
C. D. 中最小项为
11. 若的图象在处的切线分别为，且，则（ ）
A.
B. 的最小值为2
C. 在轴上的截距之差为2
D. 在轴上的截距之积可能为
12. 已知是抛物线的焦点，直线经过点交抛物线于A、B两点，则下列说法正确的是（ ）
A. 以为直径的圆与抛物线的准线相切
B. 若，则直线的斜率
C. 弦的中点的轨迹为一条抛物线，其方程为
D. 若，则的最小值为18
第Ⅱ卷
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 双曲线的左焦点到其渐近线的距离为__________.
14. 若函数有两个不同的极值点，则实数的取值范围是___________.
15. 已知双曲线的左、右顶点分别为，左焦点为为上一点，且轴，过点的直线与线段交于点（异于），与轴交于点，直线与轴交于点，若（为坐标原点），则的离心率为___________．

16. 用表示自然数的所有正因数中最大的那个奇数，例如：9的正因数有1、3、9，，10的正因数有1、2、5、10，.记，则（1）______.（2）______.
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 已知圆．
（1）直线过点且与圆相切，求直线的方程；
（2）圆与圆交于两点，求公共弦长．
18. 已知数列的首项，且满足．
（1）证明：是等比数列；
（2）求数列前n项和．
19. 已知函数．
（1）当，求的单调区间；
（2）若有三个零点，求取值范围．
20. 已知椭圆经过点，左焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点作任意直线与椭圆交于，两点，轴上是否存在定点使得直线，的斜率之和为？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由.
21. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，与交于点，平面平面为线段上的一点．

（1）证明：平面；
（2）若二面角余弦值为，求的值．
22. 已知函数．
（1）若，求函数图象在处的切线方程；
（2）若对任意的恒成立，求a的取值范围；
（3）求证：，，