2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高二上学期数学联考试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高二上学期数学联考试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线过点、，则该直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率的关系可求得直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由已知可得，故.
故选：A.
2．若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点在直线上的概率是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据题意，得到基本事件的总数，利用列举法求得所求事件中包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，连续抛两次骰子得到的点数分别是，可得基本事件的总数为种情况，
其中点在直线上包含两种情况情况，
由古典概型的概率计算公式，可得概率为.
故选：D.
3．在空间直角坐标系中，点，点B关于y轴对称的点为C，则=（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【详解】首先确定B关于y轴对称的点坐标，再应用空间两点距离公式求.
【分析】由题设，故.
故选：C
4．若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解.
【详解】因为动点满足关系式，
所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12，
而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆，
且，即，又，，
所以动点M的轨迹方程为.
故选：C.
5．如图，在圆锥SO中，AB是底面圆的直径，D，E分别为SO，SB的中点，，，则直线AD与直线CE所成角的余弦值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.
【详解】
以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，，
所以直线AD与直线CE所成角的余弦值为．
故选：C
6．规定：投掷飞镖次为一轮，若次中至少两次投中环以上为优秀．根据以往经验某选手投掷一次命中环以上的概率为．现采用计算机做模拟实验来估计该选手获得优秀的概率：用计算机产生到之间的随机整数，用、表示该次投掷未有环以上，用、、、、、、、表示该次投掷在环以上，经随机模拟试验产生了如下组随机数：
据此估计，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】找出组随机数中代表“次中至少两次投中环以上”的数组的组数，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】由题意可知，随机模拟试验产生了如下组随机数中，
代表“次中至少两次投中环以上”的数组共组，
因此，该选手投掷轮，可以拿到优秀的概率为.
故选：A.
7．若直线，与圆的四个交点能构成正方形，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析可知，两直线过圆心，可求得、的值，即可得出的值.
【详解】圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为，
直线的斜率为，直线的斜率为，且，则，
因为直线，与圆的四个交点能构成正方形，
则这两条直线都经过圆心，所以，，解得，因此，.
故选：D.
8．如图，正方体的棱长为，为的中点，在侧面上，若，则面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】以为原点建立空间直角坐标系，设，由可得，由此得到关系；从而利用表示的面积，利用二次函数最值求得面积的最值.
【详解】以为坐标原点可建立如下图所示空间直角坐标系
则，，，，，
设，则，

当时，
故选：
【点睛】本题考查立体几何中三角形面积最值的求解问题，关键是能够将所求三角形面积利用一个变量表示出来，得到二次函数的形式，利用二次函数的最值求得面积的最值.
二、多选题
9．己知曲线表示椭圆，下列说法正确的是（ ）
A．m的取值范围为B．若该椭圆的焦点在y轴上，则
C．若，则该椭圆的焦距为4D．若，则该椭圆的离心率为
【答案】BCD
【分析】根据题意，结合椭圆的标准方程和椭圆的几何性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由曲线表示椭圆，则满足，
解得且，所以A不正确；
该椭圆的焦点在y轴上，则满足解得，所以B正确；
当时，椭圆的方程为，可得，则，
此时椭圆的焦距为，所以C正确；
当时，椭圆的方程为，可得，则，
此时椭圆的离心率为，所以D正确.
故选：BCD
10．已知随机事件、发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A．若与互斥，则
B．若与相互独立，则
C．若，则事件与相互独立
D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用互斥事件的概率公式可判断A选项；利用独立事件的概率公式以及并事件的概率公式可判断B选项；利用独立事件的概念可判断C选项；由交事件的定义可判断D选项.
【详解】对于A选项，若与互斥，则，A对；
对于B选项，若与相互独立，则，
所以，，B对；
对于C选项，若，且，
所以，事件与相互独立，C对；
对于D选项，若，则，所以，，D错.
故选：ABC.
11．如图，在三棱柱中，、分别是、上的点，且．若，，
，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】设，，，利用向量的加减法则，以为基底可得，可得A错误；由计算可得，可知B正确；分别表示出可得不为零，可得C错误；利用C中结论，分别求出，即可得，即D正确.
【详解】设，，，
对于A选项，因为，，
所以，，
所以，故A错误；
对于B选项，因为，，，
所以，
所以，故B正确；
对于C选项，易知，
此时
，所以与不垂直，即C错误；
对于D选项，因为，，
所以，
因为，所以，
，所以，
所以，故D正确.
故选：BD.
12．在平面直角坐标系中，直线，圆，则（ ）
A．圆经过坐标原点
B．当时，直线与圆相交，且相交弦长为
C．直线与圆必相交
D．直线与圆相交弦长的最小值为
【答案】BCD
【分析】利用点与圆的位置关系可判断A选项；利用直线与圆的位置关系结合勾股定理可判断BCD选项.
【详解】圆的圆心为，半径为，
对于A选项，因为，
所以，圆不经过坐标原点，A错；
对于B选项，当时，圆的方程为，
因为，此时，直线过圆心，且相交弦长为，B对；
对于C选项，因为圆心到直线的距离为，
所以，，故直线与圆必相交，C对；
对于D选项，由C选项可知，的最大值为，
故直线与圆相交弦长的最小值为，D对.
故选：BCD.
三、填空题
13．已知椭圆，的上顶点为，两个焦点为，是等边三角形，椭圆的离心率是 ．
【答案】/0.5
【分析】根据题意得出，由椭圆的定义得出，即可得出，从而得出椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的焦距，
是等边三角形，的上顶点为，
，
，
，
，
故答案为：.
14．甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为、、，若每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为 ．
【答案】/
【分析】利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率.
【详解】甲、乙、丙三人进行投篮比赛，每轮比赛各投篮一次，命中的概率分别为、、，
每次投球三入互不影响，则在一轮比赛中，三人中恰有两人投篮命中的概率为
.
故答案为：.
15．在空间直角坐标系中，，则点到直线的距离为 .
【答案】
【分析】先求出直线的单位方向向量，然后利用点到直线距离的向量公式求解即可.
【详解】取，,则，,
所以点到直线的距离为.
故答案为：
16．已知点、，直线上存在点，使得，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【分析】设点，求出点的轨迹方程为，分析可知，直线与圆有公共点，利用直线与圆的位置关系可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】设点，因为点、，且，
则，整理可得，
所以，点在圆上，
又因为点在直线上，且圆的圆心为，半径为，
则直线与圆有公共点，
所以，，整理可得，解得.
所以，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
17．已知的三个顶点是，，．
(1)求边上的高所在的直线方程；
(2)求的面积，
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）利用垂直关系和两点连线斜率公式可求得三条高所在直线斜率，利用直线点斜式方程可整理得到结果；
（2）利用点到直线距离公式和两点间距离公式可分别求得底边长和高，代入三角形面积公式即可.
【详解】（1），，，
边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，边上的高所在直线斜率，
边上的高所在直线方程为：，即；
边上的高所在直线方程为：，即；
边上的高所在直线方程为：，即.
（2）所在直线方程为：，即，
点到边的距离，
又，
的面积.
18．已知盒子装有个红球个白球，盒子装有个红球个白球，它们除了颜色不同外大小材质相同．
(1)若甲从盒中一次抽取个球，求两个球颜色不同的概率；
(2)若甲从盒中，乙从盒中分别有放回地抽取两次，每次每人抽取球，求甲、乙共抽到个红球的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用列举法计算古典概型的概率即可；
（2）由甲、乙共抽到3个红球的情况有：①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球，②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球，③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球，④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球，分别计算即可求得结果.
【详解】（1）解：设盒中的个红球分别为，，，，2个白球分别为，，
则甲从盒中抽取个球的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，，共15个，
两个球颜色不同的基本事件有，，，，，，，共8个，
所以甲从盒中抽取2个球，两个球颜色不同的概率为.
（2）解：由题意知，甲、乙共抽到3个红球的情况有：
①甲第一次抽到红球，第二次抽到白球，乙两次都抽到红球的概率为，
②甲第一次抽到白球，第二次抽到红球，乙两次都抽到红球的概率为，
③甲两次都抽到红球，乙第一次抽到红球，第二次抽到白球的概率为，
④甲两次都抽到红球，乙第一次抽到白球，第二次抽到红球的概率为，
所以甲、乙共抽到3个红球的概率为.
五、证明题
19．如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为，，的中点.

(1)证明：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取的中点G，连接，，利用线线平行证明线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面夹角正弦值.
【详解】（1）证明：取的中点，连接，，
因为F，G分别为，的中点，
所以，，
又E为的中点，，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
（2）
解：在直三棱柱中，平面，
又平面，平面，
所以，，又，
故以B为原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，
所以，， ，
设平面的法向量为，
则令得，，
所以平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，则，
即直线与平面所成的角的正弦值为.
六、解答题
20．已知圆过点，圆心在直线上，且圆与轴相切．
(1)求圆的方程；
(2)已知圆与圆交于、两点，过直线上（除线段部分）一点分别作两圆的切线，切点分别为点、，求证：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设圆心，由已知可得出，且圆的半径为，利用圆过点可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标以及圆的半径，即可得出圆的方程；
（2）求出直线的方程，设点，则，利用勾股定理可证得结论成立.
【详解】（1）设圆心，则，可得，即圆心，
又因为圆与轴相切，则圆的半径为，
因为圆过点，则，解得，
故圆心，圆的半径为，
故圆的方程为.
（2）将圆和圆的方程作差可得，即直线的方程为.
设点，则，
过直线上（除线段部分）一点分别作两圆的切线，切点分别为点、，
设切线与圆切于点，切线切圆于点，
，
，
所以，，故.
21．已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求C的方程；
(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由题意可得，，从而可求得椭圆的方程，
（2）先判断出直线l的斜率存在，设，代入椭圆方程中，化简利用根与系数的关系和弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点O到直线l的距离，从而可表示出三角形OAB的面积，解方程可求出，进而可得直线方程
【详解】（1）由已知，，，
所以C的方程为
（2），
①若l斜率不存在，易知；
②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得：
，，，
所以
点O到直线l的距离为，
所以，
解之得，，
所以l的方程为或，
七、证明题
22．如图，等腰梯形中，，，现以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
(1)证明：平面平面；
(2)若为上的一点，点到平面的距离为，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由、可证得平面，由面面垂直的判定可证得结论；
（2）以中点为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，利用点到平面距离的向量求法可求得的值，根据二面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）证明：在梯形中，取中点，连接，

，，四边形为平行四边形，，
，；
，，平面，平面，
平面，平面平面.
（2）解：分别取中点，连接，
，为中点，，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
分别为中点，，平面，
则以为坐标原点，正方向为轴的正方向，可建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，
，，，，，
设，
则，
设平面的法向量，
则，令，解得：，，；
点到平面的距离，解得：，；
平面轴，平面的一个法向量，
，
所以，平面与平面夹角的余弦值为.