2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体高二（下）联考数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市H7教育共同体高二（下）联考数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  已知在等差数列中，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  函数在处的切线方程为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知等比数列的前项和为，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知函数在处有极小值，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知数列中，，则数列的前项和为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  某医院需安排四位医生到、、三个社区参加义诊活动，每位医生必须参加一个社区义诊活动，每个社区至少有一位医生由于交通原因，甲不能去社区，则不同的安排方法数为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知，，，则，，的大小关系为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，分别标记两次骰子正面朝上的点数，表示事件“第一次正面朝上的点数为”，表示事件“第二次正面朝上的点数为”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为”，表示事件“两次正面朝上的点数之和为”，则下列说法错误的是(    )

A. 与相互独立 B. 与互斥 C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 或为的最小值

10.  已知，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

11.  已知函数，则有(    )

A. 当时，在上递增
B. 当时，有个零点
C. 当时，关于对称
D. 当时，有个极值点

12.  已知数列中，，，下列说法正确的是(    )
参考公式：

A.
B.
C. 存在，使得
D.

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  除以，所得余数为______ ．

14.  在数列中，，则数列中的最大项是第______ 项

15.  已知，只有一条过原点的切线，则 ______ ．

16.  对任意，当时，，则的最小值为______ ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
设数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且．
求的通项公式；
求数列的前项和．

18.  本小题分
证明：，．
已知，，求的取值范围．

19.  本小题分
若数列的首项，且满足．
求数列的通项公式；
求数列的前项和．

20.  本小题分
甲、乙两队进行篮球冠军争夺赛，比赛采取三局二胜制，甲队每局取胜的概率为甲队有一名核心球员，如果核心球员在比赛中受伤，将不能参加后续比赛，甲队每局取胜的概率降为，若核心球员在每局比赛受伤的概率为．
在核心球员一直未受伤的条件下，甲队以：取胜的概率；
甲队以：取胜的概率．

21.  本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
设数列满足，求最小的实数，使得对一切正整数均成立．

22.  本小题分
已知，．
求的单调区间；
当时，函数有个零点，分别为，且满足，证明：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：在等差数列中，，得，公差，
所以．
故选：．
根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，即可求解作答．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
 

2.【答案】 

【解析】解：由，得，
，
则函数在处的切线方程为，
即．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数值，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，是基础题．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质、求和等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
由等比数列的性质和前项和公式得，，成等比数列，由此能求出的值．

【解答】

解：等比数列的前项和为，，，公比，

，，成等比数列，
，
．
故选C．

4.【答案】 

【解析】解：，
因为在处有极小值，
所以，得，
解得或，
当时，，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是函数的极小值点，符合题意，
当时，，
令得或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以是函数的极大值点，不符合题意，
所以，
故选：．
求导得，由于在处有极小值，则，解得，再检验是否在处取得极小值，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
，且，
数列是首项为，公比为的等比数列，
故的前项和为．
故选：．
根据的通项公式，可得为等比数列，利用等比数列的求和公式，即可得出答案．
本题考查等比数列的定义和数列的求和公式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

6.【答案】 

【解析】解：安排四位医生到、、三个社区参加义诊活动，即按，，进行分组，
甲单独去一个社区，且不能去社区，共种选择，再将剩余人分成组安排社区，共种选择，故共有种选择；
甲和另外人去一个社区，且不能去社区，共有种选择，再将剩余人分成组安排社区，共种选择，故共有种选择；
根据分类加法计数原理可知，不同的安排方法数为种．
故选：．
安排四位医生到、、三个社区参加义诊活动，即按，，进行分组，分甲单独去一个社区，甲和另外人去一个社区，两种情况讨论即可．
本题考查排列组合的应用，属于基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：，，，
构造函数，则，，，
，
令，解得，
当时，，在上单调递减，
故，
即．
故选：．
将，，变形，构造函数，求导判断单调性，再比较大小即可．
本题考查导数的综合应用，属于中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由题意得，，，，，
选项，，与相互独立，A正确；
选项，，，与互斥，B正确；
选项，，，C正确；
选项，，D错误．
故选：．
根据事件独立性的定义可判断；根据互斥事件的定义可判断；根据条件概率公式可判断，．
本题考查相互独立事件的定义，考查互斥事件的定义，考查条件概率，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：，，
又数列是以为公差的等差数列，
，又，，
故选项A正确，选项B正确；
，错误，即选项C错误；
由以上知，或为的最大值，没有最小值，故选项D错误．
故选：．
由等差数列性质及公式依次判断各选项即可．
本题考查等差数列的性质的应用，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用，是基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：令，可得，所以A正确；
，所以，所以B正确；
当时，，
当时，，
两式相加可得：，所以不正确；
，可知奇数项的系数为正，偶数项的系数为负，
所以令，可得，所以不正确．
故选：．
利用赋值法，结合二项式定理的通项公式，转化求解判断选项即可．
本题考查二项式定理的应用，是基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：项：当时，，则，恒成立，
所以在单调递增，所以A正确；
项：当时，，
而，可得，必有两个相同实根，
故有个零点，所以不正确；
项：当时，，
，，令，可得，此时，
所以当时，关于对称，所以C正确；
项：函数，，，可得或，此时函数有两个极值点，
故D不正确．
故选：．
当时，对函数求导，通过导函数的符号，判断函数的单调性，判断选项A；通过函数为，求解函数的零点个数，判断选项B；
通过二次导函数为，解出函数的对称中心，判断选项C；求解函数的导数的极值点的个数，判断选项D．
本题考查导数的应用，考查利用导数判断单调性和极值，考查利用导数解决恒成立问题，考查利用导数解决对称问题，考查学生逻辑推理能力和计算能力，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：由，，
可得，
则，
所以，
则，故A错误；
由，对也成立，故B正确；

，故D正确；


，故C错误．
故选：．
由已知可得，再由数列的恒等式可得，，可判断、；由数列的分组求和，结合等差数列的求和公式可判断；由数列的裂项相消求和和不等式的性质可判断．
本题考查数列的通项与恒等式、裂项相消求和，以及不等式的性质，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：．
该关系式除以，所得的余数为．
故答案为：．
直接利用二项展开式和数的整除问题求出结果．
本题考查的知识要点：二项展开式，数的整除问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意知：，解得；
，解得，
所以，，
所以．
故答案为：．
根据题意得到，，由此求解即可．
本题考查数列的函数的特征的应用，不等式的解法，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由，得，
设切点坐标为，则过切点的切线方程为，
把代入，可得．
，只有一条过原点的切线，
，又，．
故答案为：．
设切点坐标为，利用导数写出过切点的切线方程，代入坐标原点的坐标，可得关于的一元二次方程，再由判别式大于求解值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：因为，
所以，所以，
所以，所以，
因为，，所以
令，，则，
，
当时，，单调递增，
因为，
所以，所以，
所以，所以，
令，，，
令得，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，所以，
所以，所以的最小值为．
故答案为：．
由，得，进而可得，则，令，，则，求导分析的单调性，可得，令，，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

17.【答案】解：数列的前项和为，数列是公差为的等差数列，且，
故，整理得，
故．
由得：，
所以． 

【解析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式；
利用的结论，进一步利用分组法求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，分组法的求和，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：证明：令，，
，
令得舍或，
所以在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，即，
所以．
根据题意可得对任意恒成立，
所以只需，即可，
，，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，
因为，
所以，
所以，
又，
所以，
所以的取值范围 

【解析】令，求导分析单调性，可得，即可得出答案．
根据题意可得对任意恒成立，只需，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
 

19.【答案】解：数列的首项，且满足，
整理得，
当时，，，，
，
，，
时，，依然成立，故．
由于，
故，，
，，
得：，
整理得． 

【解析】利用叠乘法可得通项；利用错位相减法求和即可．
本题考查求数列的通项，考查数列求和，属于中档题．
 

20.【答案】解：在核心球员一直未受伤的条件下，甲队以：取胜的概率为．
甲队核心队员在每场比赛中都没有受伤，甲队以：取胜的概率为；
甲队核心队员第场比赛中受伤，甲队以：取胜的概率为；
甲队核心队员第场比赛中受伤，甲队以：取胜的概率为；
甲队核心队员第场比赛中受伤，甲队以：取胜的概率为；
则甲队以：取胜的概率为． 

【解析】根据相互独立事件的乘法公式计算即可；
根据核心球员是否受伤，以及在哪场比赛中受伤进行分类讨论，再利用互斥事件的概率和公式求解即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，是中档题．
 

21.【答案】证明：已知数列的首项，且满足，
则，可得，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列；
解：由可得，
又，
则

，
即，可得的最小值为． 

【解析】由题意可得，即可证明数列为等比数列；
由可得，，然后结合裂项求和法及公式求和法求解，结合题意得结论．
本题考查了利用数列递推式求数列的通项公式，重点考查了裂项求和法及公式求和法，属中档题．
 

22.【答案】解：，
当时，在上恒成立，在上单调递减，
当时，令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在上单调递减，在上单调递增．
令，即，
令，则，
在上，单调递增，
在上，单调递减，
所以，
即，，
设，则，
所以在上，单调递减，
又，
当，存在唯一，满足，且存在，，满足且，
要证，由，
设，即有，，即证，
即证，令，
即证，
即证恒成立，
令，
，
所以在上单调递减，
所以恒成立，即证． 

【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，分析的符号，的单调性．
令，即，令，则，分析的单调性，最值，可得的取值范围，设，求导分析的单调性，可得当，存在唯一，满足，且存在，，满足且，要证，设，即有，，即证，即证恒成立，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意分类讨论思想的应用，属于中档题．