2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高一上学期第二次联考数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年广东省佛山市H7教育共同体高一上学期第二次联考数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=x∈N−1≤x<4，集合B=xx2+x−6≤0，则A∩B=( )
A. −1,0,1,2B. 0,1,2C. −1,2D. −1,3
2.命题“∀x>1，lg2x>0”的否定是
( )
A. ∃x>1，lg2x>0B. ∃x>1，lg2x<0
C. ∃x≤1，lg2x≤0D. ∃x>1，lg2x≤0
3.若α是第二象限角，则点P(sinα,csα)在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4.函数fx=14x2−2x−8的单调递增区间是
( )
A. −∞,1B. −∞,−2C. 4,+∞D. 1,+∞
5.已知如lga+lgb=0(a>0且a≠1，b>0且b≠1)，则函数f(x)=a−x与函数g(x)=lgbx的图象可能是
( )
A. B. C. D.
6.不等式2kx2+kx−38≤0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是
( )
A. −37.已知函数fx=2−x，gx=x2，设函数Lx=fx,fx≤gxgx,fx>gx，则下列说法错误的是
( )
A. Lx是偶函数B. 函数Lx有两个零点
C. Lx在区间−1,0上单调递减D. Lx有最大值，没有最小值
8.若ea+lna>eb2+ln2b>0，ec( )
A. c2b>cC. a>b2>cD. c二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若ac2>bc2，则a>b
C. 若a>b>0,m>0，则baD. 若−110.下列说法正确的有( )
A. 锐角是第一象限角
B. 若角α的终边过点P3k,4k(k≠0)，则sinα=45
C. 半圆所对的圆心角是πrad
D. “sinα>0”是“角α为第一或第二象限角”的充要条件
11.有关函数fx=x+4x，下列说法正确的是
( )
A. fx是奇函数B. fx最小值为4
C. 当x≥1时，fx≥5D. 函数gx=fx+6有两个零点
12.已知x1，x2分别是函数fx=2x−1x和gx=lg2x−1x的零点，则
( )
A. 2x1−x2=0B. lg2x1+lg2x2=0
C. x2>2D. 2x1⋅lg2x2=1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数fx=lgx+3+ 2−x的定义域为______．
14.计算：2+1027−23+2lg32−lg349−5lg53=______．
15.若函数fx是定义在R上偶函数，gx=fx2x−2−x+3，则g2023+g−2023=______．
16.国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到真正的智慧场馆､绿色场馆．并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水､雨水过滤系统．若过滤过程中废水的污染物数量Nmg/L与时间t(小时)的关系为N=N0e−kt(N0为最初污染物数量)，且前4小时消除了20%的污染物，则污染物消除至最初的64%还需要过滤__________小时．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知不等式x2+ax+b≥0的解集为A=xx≤−2或x≥3，集合B=xt(1)求实数a，b的值；
(2)若A∩B=⌀，求实数t的取值范围．
18.(本小题12分)
已知θ∈0,π，且sinθ+csθ=15．
(1)求sinθcsθ的值；
(2)求sinθ−csθ的值；
(3)求tanθ的值．
19.(本小题12分)
已知函数fx=lg24x+1−x．
(1)判断函数fx的奇偶性，并证明；
(2)已知函数fx在0,+∞上单调递增，且f2m−1>fm+1，求m的取值范围．
20.(本小题12分)
已知函数fx=a−22x+1(a∈R).
(1)用定义证明函数fx是增函数；
(2)若a=1，且存在实数t，使得不等式ft2−2t+f2t2−k<0成立，求实数k的取值范围．
21.(本小题12分)
随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2023年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本400万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且y=x2+10x,0≤x<501832x+5400x−1683,50≤x≤100,100x∈N.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台．
(1)求企业获得年利润M(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式；
(2)当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．
22.(本小题12分)
已知函数fx=ax2−a+2x+2，a∈R．
(1)求不等式fx≥0的解集；
(2)若存在m>1使关于x的方程ax2−a+2x+2=m+1m−1有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】利用一元二次不等式解法解出集合B，利用集合的交集运算求解即可．
解：B=xx2+x−6≤0=xx+3x−2≤0=x−3≤x≤2，
又A=x∈N−1≤x<4=0,1,2,3，所以A∩B=0,1,2．
故选：B
2.【答案】D
【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题易求．
解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题知：
命题“∀x>1，lg2x>0”的否定是∃x>1，lg2x≤0．
故选：D
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查点的象限的确定，根据角的象限和三角函数的符号关系是解决本题的关键，属基础题．
根据α是第二象限，确定三角函数值的符号即可．
【解答】
解：∵α是第二象限，
∴sinα>0，csα<0，
则P(sinα,csα)在第四象限，
故选D．
4.【答案】A
【解析】【分析】利用指数型复合函数的单调性求解．
解：令t=x2−2x−8在−∞,1单调递减，1,+∞单调递增，又函数y=14t单调递减，
所以函数fx=14x2−2x−8在−∞,1单调递增，1,+∞单调递减．
故选：A．
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查对数运算及指数函数，对数函数的图象及性质，属于中档题．
分析可知，1a=b，再由指数函数及对数函数的性质即可得解．
【解答】
解：由lga+lgb=0可知，1a=b，故f(x)=a−x=bx，
故函数f(x)=a−x与函数g(x)=lgbx的单调性相同，
故选：B．
6.【答案】C
【解析】【分析】分k=0和k≠0两种情况讨论即可．
解：当k=0时，−38≤0恒成立，
当k≠0时，则k<0Δ=k2−4×2k×−38≤0，解得−3≤k<0，
综上所述，−3≤k≤0．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】【分析】画出函数Lx的图象，数形结合对各个选项逐个判断即可．
解：在同一直角坐标系中，画出函数fx=2−x，gx=x2的图象，
从而得函数Lx=fx,fx≤gxgx,fx>gx图象，如图实线部分：
对于A，因为函数Lx图象关于y轴对称，所以Lx是偶函数，正确；
对于B，根据零点的定义结合函数Lx的图象知，函数Lx有三个零点，分别为±2,0，错误；
对于C，从函数Lx图象观察得Lx在 区间−1,0上单调递减，正确；
对于D，从函数Lx图象观察得Lx有最大值，没有最小值，正确；
故选：B
8.【答案】B
【解析】【分析】根据题干式子结构，构造fx=ex+lnx，利用单调性的性质判定函数单调递增，然后利用函数的单调性比较大小即可．
解：因为ec设函数fx=ex+lnx，
因为函数y=ex在0,+∞上单调递增，函数y=lnx在0,+∞上单调递增，
所以函数fx=ex+lnx在0,+∞上单调递增，
因为ea+lna>e2b+ln2b>0>ec+lnc，即fa>f2b>fc，
所以a>2b>c．
故选：B
9.【答案】BC
【解析】【分析】举反例判断A，根据不等式的性质即可判断BD，作差法即可判断C．
解：当c=0时，ac2=bc2，由a>b得不到ac2>bc2，故 A错误；
因为ac2>bc2，所以c2>0，所以a>b，故 B正确；
b+ma+m−ba=b+ma−ba+ma+ma=a−bma+ma，又a>b>0,m>0，所以b+ma+m−ba>0，
即ba因为2故选：BC．
10.【答案】AC
【解析】【分析】根据象限角的定义判断A，根据正弦函数定义求解判断B，根据弧度制的定义判断C，根据正弦值的符号与终边所在象限的关系结合充分条件、必要条件定义判断D．
解：对于A：因为锐角的范围为0,π2，终边落在第一象限，故锐角为第一象限角，正确；
对于B：r= (3k)2+(4k)2=5|k|，当k>0时，sinα=45，当k<0时，sinα=−45，错误；
对于C：半圆所对的圆心角是πrad，正确；
对于D：当sinα>0时，角α的终边在第一或第二象限及y轴的正半轴，
当角α为第一或第二象限角时，则sinα>0，
所以“sinα>0”是“角α为第一或第二象限角”的必要不充分条件，错误；
故选：AC
11.【答案】AD
【解析】【分析】利用奇函数定义判断A，利用基本不等式求解判断BC，零点个数转化为方程根的个数判断D．
解：对于A，因为fx=x+4x的定义域为xx≠0，则定义域关于原点对称，
又f−x=−x+4−x=−x+4x=−fx，所以fx为奇函数，正确；
对于B，当x>0时，则fx=x+4x≥2 x×4x=4，当且仅当x=4x时，
即x=2时，等号成立，
当x<0时，x+4x=−−x+4−x≤−2 −x×4−x=−4，当且仅当−x=−4x，
即x=−2时，等号成立，所以fx=x+4x的值域为−∞,−4∪4,+∞，错误；
对于C，当x≥1时，fx=x+4x≥2 x×4x=4，当且仅当x=4x时，
即x=2时，等号成立，错误；
对于D，函数gx=fx+6的零点即方程x+4x+6=0的根，即x2+6x+4=0的根，
因为Δ=62−4×4=20>0，所以方程x2+6x+4=0有两个根，
所以函数gx=fx+6有两个零点，正确；
故选：AD
12.【答案】ABD
【解析】【分析】由fx零点为y=2x,y=1x交点横坐标，gx零点为y=lg2x,y=1x交点横坐标，结合y=2x,y=lg2x关于y=x对称，y=1x的图象关于y=x对称，数形结合得到x1=lg2x2=1x2x2=2x1=1x1，即可判断各项正误．
解：由题设，fx零点为y=2x,y=1x交点横坐标；gx零点为y=lg2x,y=1x交点横坐标；
由y=2x,y=lg2x关于y=x对称，y=1x的图象关于y=x对称，
所以x1，x2关于y=x对称，y=2x,y=lg2x,y=1x的图象如下：
所以点(x1,2x1)与点(x2,lg2x2)关于y=x对称，即x1=lg2x2=1x2x2=2x1=1x1,
故2x1−x2=0，2x1⋅lg2x2=1，lg2x1+lg2x2=lg2(x1x2)=0，A、B、D对；
若x2>2，即x2=2x1>2⇒x1>1，此时x1x2>2，与x1x2=1矛盾，C错．
故选：ABD
13.【答案】−3,2
【解析】【分析】根据对数型函数的定义域和二次根式的性质进行求解即可．
解：因为对数的真数大于零，二次根式被开方数为非负实数，
所以有x+3>02−x≥0，解得−3故答案为：−3,2
14.【答案】−716
【解析】【分析】利用指数幂运算和对数运算性质化简计算即可．
解：2+1027−23+2lg32−lg349−5lg53=6427−23+lg34−lg349−3
=433×−23+lg34+lg394−3=342+lg39−3=916−1=−716．
故答案为：−716
15.【答案】6
【解析】【分析】根据奇函数的性质，结合代入法进行求解即可．
解：令ℎx=fx2x−2−x，则ℎx的定义域为R，关于原点对称，
又ℎ−x=f−x2−x−2x=−fx2x−2−x=−ℎx，所以ℎx是R上的奇函数，
所以g2023+g−2023=ℎ2023+3+ℎ−2023+3=ℎ2023+ℎ−2023+6=0+6=6．
故答案为：6
16.【答案】4
【解析】【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时．
解：根据题意有，，可得0.8=e−4k，即e−k=0.814
设污染物消除至最初的64%还需要过滤x小时，
则0.64N0=N0e−k(x+4)，即0.64=e−k(x+4)
则e−kx+4=0.64，即0.814x+4=0.82，
则x+44=2，解之得x=4
故答案为：4
17.【答案】解：(1)
因为不等式x2+ax+b≥0的解集为A=xx≤−2或x≥3，
所以−2和3是方程x2+ax+b=0的两根，由韦达定理知Δ=a2−4b>0−2+3=−a−2×3=b,
解得a=−1，b=−6．
(2)
因为A=xx≤−2或x≥3，B=xt所以t≥−2t+1≤3，解得−2≤t≤2，故实数t的取值范围是−2≤t≤2．

【解析】【分析】(1)由不等式解集得−2和3是方程x2+ax+b=0的两根，利用韦达定理列方程求解即可；
(2)利用交集的结果直接列不等式求解参数范围即可．
18.【答案】解：(1)将sinθ+csθ=15两边平方可得sinθ+csθ2=125，
即sin2θ+cs2θ+2sinθcsθ=125，
因为sin2θ+cs2θ=1，
所以1+2sinθcsθ=125，解得：sinθcsθ=−1225，
(2)sinθ−csθ2=sin2θ+cs2θ−2sinθcsθ=1−2×−1225=4925，
因为θ∈0,π，所以sinθ>0
因为sinθcsθ=−1225<0，所以csθ<0，
所以sinθ−csθ>0，所以sinθ−csθ=75
(3)由sinθ+csθ=15sinθ−csθ=75解得：sinθ=45，csθ=−35，
所以tanθ=sinθcsθ=45−35=−43．

【解析】【分析】(1)将sinθ+csθ=15两边平方结合sin2θ+cs2θ=1即可求解；
(2)先计算sinθ−csθ2，在结合θ∈0,π以及sinθcsθ的符号判断sinθ−csθ的符号即可求解；
(3)由sinθ−csθ的值以及sinθ+csθ=15解方程组即可得sinθ和csθ的值，由tanθ=sinθcsθ即可求解．
19.【答案】解：(1)
∵4x>0，∴4x+1>1，∴fx定义域为R，
由f−x=lg24−x+1+x=lg21+4x4x+x=lg21+4x−lg24x+x，
=lg24x+1−xlg24+x=lg24x+1−x=fx，
∴fx为偶函数．
(2)
∵fx=lg24x+1−x=lg24x+12x=lg22x+12x，
令t=2x，函数y=t+1t在1,+∞上单调递增，t=2x在R上单调递增，
当x≥0时，2x≥1，y=2x+12x在0,+∞单调递增，
∴fx在0,+∞上单调递增，
又函数fx为偶函数，所以函数fx在0,+∞上单调递增，在−∞,0上单调递减，
∵f2m−1>fm+1，∴2m−1>m+1，
两边平方得4m2−4m+1>m2+2m+1，即mm−2>0，
解得m<0或m>2，
所以所求不等式的解集为−∞,0∪2,+∞．

【解析】【分析】(1)根据函数奇偶性的定义判断出fx是偶函数．
(2)根据函数的单调性、奇偶性求得不等式f2m−1>fm+1的解集．
20.【答案】解：(1)
对任意x1，x2∈R，x1f(x1)−f(x2)=22x2+1−22x1+1=−2(2x2−2x1)(2x1+1)(2x2+1)，
因为x1因此f(x)在R上递增．
(2)
当a=1时，fx=1−22x+1=2x−12x+1，因为f(x)的定义域是R，
所以f(x)+f(−x)=2x−12x+1+2−x−12−x+1=2x−12x+1+2x2−x−12x2−x+1=2x−12x+1+1−2x2x+1=0，
所以f(x)是奇函数，
由ft2−2t+f2t2−k<0可得f(t2−2t)即k>3t2−2t有解．
当t=13时，3t2−2t=3t−132−13的最小值为−13，所以k>−13；

【解析】【分析】(1)根据函数单调性的定义即可求证f(x)的单调性，
(2)根据函数的奇偶性以及单调性将问题转化为t2−2t<−2t2+k，由参数分离和二次函数的最值，可得k的范围；
21.【答案】解：(1)
每百台高级设备售价为90万元，年产量x(百辆)时销售收入为90x万元，
总成本为400+y=x2+10x+400,0≤x<501832x+5400x−1283,50≤x≤100,
所以M(x)=90x−x2+10x+400,0≤x<5090x−1832x+5400x−1283,50≤x≤100
=−x2+80x−400,0≤x<50−32x−5400x+1283,50≤x≤100,x∈N．
所以年利润Mx=−x2+80x−400,0≤x<50−32x−5400x+1283,50≤x≤100,x∈N．
(2)
由(1)当0≤x<50时，M(x)=−x2+80x−400=−(x−40)2+1200，
故当x=40∈0,50(百台)时，M(x)max=1200(万元)，
当50≤x≤100时，M(x)=−32x+5400x+1283≤−2 32x⋅5400x+1283=1103，
当且仅当32x=5400x即x=60(百台)时，等号成立，此时M(x)max=1103(万元)，
因为1200万元>1103万元，
所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1200万元．

【解析】【分析】(1)根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系；
(2)分0≤x<50和50≤x≤100两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可．
22.【答案】解：(1)
由题意得：ax2−a+2x+2≥0，即ax−2x−1≥0
①当a=0时，不等式ax−2x−1≥0即为：−2x+2≥0，解得：x≤1
②当a≠0，方程ax−2x−1的两根分别为x1=1，x2=2a．
当a<0时，有2a<1，函数fx=ax2−a+2x+2图象开口向下，此时不等式fx≥0的解集为x2a≤x≤1．
当a>0时，有2a>0．
当2a>1，即0当2a=1，即a=2时，函数fx=ax2−a+2x+2图象开口向上，此时不等式fx≥0解集为R．
当2a<1，即a>2时，函数fx=ax2−a+2x+2图象开口向上，此时不等式fx≥0解集为xx≤2a或x≥1．
综上可得：当a=0时，不等式fx≥0的解集为：xx≤1；
当a<0时，不等式fx≥0的解集为x2a≤x≤1；
当0当a=2时，不等式fx≥0解集为R；
当a>2时，不等式fx≥0解集为xx≤2a或x≥1．
(2)
令t=m−1+1m−1+1．
∵m>1
∴t=m−1+1m−1+1≥2 m−1⋅1m−1+1=3，当且仅当m=2时等号成立．
∵存在m>1使关于x的方程ax2−a+2x+2=m+1m−1有四个不同的实根．
∴存在t≥3使关于x的方程ax2−a+2x+2=t有四个不同的实根．
令g(x)=ax2−a+2x+2
∵g(−x)=gx
∴g(x)=ax2−a+2x+2为偶函数．
∴存在t≥3使关于x的方程ax2−a+2x+2=t有四个不同的实根等价于存在t≥3使关于x的方程ax2−a+2x+2−t=0有两个不同的正实根．
则Δ=−a+22−4a2−t>0a+2a>02−ta>0．
所以存在t≥3使成立Δ=−a+22−4a2−t>0，即存在t≥3使4at+a2−4a+4>0成立．
由2−ta>0，t≥3，a+2a>0，得a<−2．
∴关于t的函数y=4at+a2−4a+4在3,+∞上单调递减．
则ymax=a2+8a+4>0，解得：a<−4−2 3
∵−4−2 3<−2
∴a<−4−2 3．
综上可得：当存在m>1使关于x的方程ax2−a+2x+2=m+1m−1有四个不同的实根，实数a的取值范围为−∞,−4−2 3．

【解析】【分析】本题考查含参一元二次不等式的解法，函数与方程之间的关系.解题关键在于：第(1)问对参数a的讨论以及一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系的掌握和灵活使用；第(2)问先利用基本不等式及函数性质将关于x的方程ax2−a+2x+2=m+1m−1有四个不同的实根转化为关于x的方程ax2−a+2x+2−t=0有两个不同的正实根；再结合根与系数的关系列出不等式组，逐个进行求解．
(1)按照a=0和a≠0分为两种情况，当a=0时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当a≠0时不等式为一元二次不等式，根据一元二次不等式、一元二次方程和二次函数之间的关系进行求解．
(2)先令t=m−1+1m−1+1，由m>1，利用基本不等式得t≥3，；再将关于x的方程ax2−a+2x+2=m+1m−1有四个不同的实根转化为关于x的方程ax2−a+2x+2−t=0有两个不同的正实根，结合根与系数的关系即可求解．