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2023-2024学年浙江省金华市东阳外国语学校高二上学期12月检测数学试题含答案
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这是一份2023-2024学年浙江省金华市东阳外国语学校高二上学期12月检测数学试题含答案，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．45B．49C．56D．63
【答案】D
【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前项和公式求解即可.
【详解】由题意，，解得，
故.
故选：D
2．“k<2”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可
【详解】∵方程为双曲线，∴，
∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
3．设函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据得出关于的等式，即可解出实数的值.
【详解】，则，
所以，，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.
4．如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离．
【详解】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0).
则有，，
设平面的法向量为，
则 即
令，得平面的一个法向量为，又，
所以A1到平面的距离.
故选：D.
5．为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（ ）
A．325万元B．581万元C．721万元D．980万元
【答案】B
【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解.
【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）；
由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，
所以这五年的旅游总收入是（万元），
所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（万元），
故选：B.
6．已知，P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点P的横坐标为，利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式即可求解.
【详解】设点P的横坐标为，则点P处的切线倾斜角与的关系为．
∵，
∴，
∴，即，
∴点P的横坐标的取值范围为．
故选：D
7．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．
【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒
二、多选题
9．已知数列中，，能使的n可以为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】AD
【分析】通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案．
【详解】由，，得：，，，
所以数列是周期为3的数列，所以，
故选：AD．
10．已知直线l：与圆C：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点A在圆C上，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，因为点A在圆C内，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相离，故B正确；
对于C，因为点A在圆C外，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，因为点A在直线l上，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相切，故D正确；
故选：ABD.
11．已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】首先求得满足的轨迹方程，再转化为判断直线与双曲线右支有交点，即可求解.
【详解】，所以点是以为焦点的双曲线的右支，
此时，，，，
所以双曲线方程是，，
“B型直线”是指直线与双曲线，有交点，
A. ，，，且，所以存在正根，即直线与双曲线右支有交点，所以是“型直线”，故A正确；
B.是双曲线的渐近线，所以直线不会和双曲线有交点，所以不是“型直线”，故B正确；
C.和双曲线，有交点，所以是“型直线”，故C正确；
D.联立，代入解得，那么是“型直线”，故D正确.
故选：ACD
12．已知数列满足，，且，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．数列的前n项和为
【答案】ABD
【分析】摆动数列需要分类讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再进行计算.
【详解】因为，，所以，，
，，故A正确；
当时，，，
两式相减得，，所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
故B正确；
当时，.
当时，，，
两式相减得，，所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，
所以当时，；
∵ |，∴不是等差数列，故C错误；
因为，
所以，
设，则，
所以
，
故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知二面角为锐角，平面的法向量为，平面的法向量为，则 ，二面角的大小为 .
【答案】 /45°
【分析】利用空间向量夹角公式求解两个法向量的余弦值，结合二面角为锐角，得到二面角的大小.
【详解】
设二面角大小为（），因为二面角为锐角，故，解得：
故二面角的大小为
故答案为：，
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
15．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则 ．
【答案】
【分析】由抛物线的对称性得，然后再利用抛物线定义列式计算得，，从而代入计算.
【详解】如图所示，延长BF交抛物线C于点，由题意，，
由抛物线的对称性可得，，又因为，
，
所以，解得．
故答案为：.
【点睛】在抛物线中，若过焦点的直线的倾斜角为，则弦长.
16．已知数列中，，且点，，与直线的方向向量共线，若函数（，且），则函数的最小值是 .
【答案】
【分析】根据向量与直线方向向量共线可得，由等差数列的定义及通项公式可求解，把表示出来，做差判断单调性，利用单调性求解.
【详解】因为与直线的方向向量共线，
所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故，
，
，（，且）
（ ，且）是增函数，
故的最小值是
故答案为：
四、解答题
17．已知{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，a1＝16，2a3+3a2＝32.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝lg2an，求证：数列{bn}是等差数列；
(3)若数列{bn}的前n项和Sn，求Sn的最大值.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)10.
【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，利用a1＝16，2a3+3a2＝32求出q值后，即可得到{an}的通项公式；(2)由(1)可知bn＝lg22﹣n+5＝﹣n+5，然后利用等差数列的定义即可求解；(3)利用(2)中结论，并结合二次函数的性质即可求出Sn的最大值.
【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
由2a3+3a2＝32，得2a1q2+3a1q＝32，又a1＝16，得2q2+3q﹣2＝0，解得，
所以；
(2)证明：由(1)可知，
则当n＝1时，b1＝4，且，
所以bn+1﹣bn＝﹣n+4﹣(﹣n+5)＝﹣1，
故数列{bn}是以4为首项，﹣1为公差的等差数列；
(3)，
故当n＝4或5时，Sn有最大值，且最大值为S4＝S5＝10.
18．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2) .
【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.
解析：
（Ⅰ）由，得
因为所以
（Ⅱ）
19．以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线切于点.
(1)求这个圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的中点为，通过相切关系求得，然后设直线的方程为，代入抛物线方程，韦达定理求得，进而求出圆心和半径，即可求解圆的方程；
（2）利用面积分割得，再结合（1）中的韦达定理求解即可.
【详解】（1）由抛物线的方程知其准线为，设焦点弦的中点为，
因为以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切于点，所以，
所以，所以抛物线的方程为，其焦点，
设，设直线的方程为，代入抛物线方程得，，.
所以，所以，所以直线的方程为，
，所以，
所以的中点坐标为，，
所以以为直径的圆的方程为：，
即所求圆的方程为：.
（2）
.
20．如图，长方体被经过的动平面所截，分别与棱，交于点，，得到截面，已知，.
（1）求证：；
（2）若直线与截面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由于，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题可知，若设出点，则可表示出点的坐标，从而可得到向量坐标，得，所以；
（2）设，先求出平面的法向量，然后利用空间向量结合向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系.则，，，，.
依题意易得，设，则，
所以，而，所以，所以.
（2）因为，，，设平面的法向量为，则，令，则，
设直线与截面所成角为，所以，
解得，所以.
【点睛】此题考查了空间图形证明线线垂直，求线面角等，利用了空间向量证明线线垂直和求线面角，考查运算能力，属于中档题.
21．已知数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】（1）对式子，变形化简得，
根据定义即可证明数列为等差数列，求出；
（2）先化简，再用数学归纳法证明不等式，在证明从到的递推式时，可用分析法推导.
【详解】解：（1）由，得，
所以数列是以1为首项1为公差的等差数列，
即，化简得.
（2）因为，
下面用数学归纳法证明:
①当时，左边，右边，不等式成立；
②假设当，时不等式成立，即有
则当时，，
而此时不等式右为应为，
下面再证明，
即只需证明，
即只需证明，这显然成立，
即时，不等式也成立.
综合①②可得，成立.
【点睛】本题考查了等差数列的概念和通项公式，还考查了与有关的不等式，可用数学归纳法证明，属于中档题.
22．已知椭圆左焦点为，点到椭圆上的点的距离最小值是1，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，求的内切圆半径的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求椭圆的方程；
（2）设的直线方程为，与椭圆方程联立得出韦达定理，点三点共线且斜率相等结合韦达定理得出直线过定点，设所求内切圆半径为， 结合面积公式以及对勾函数的单调性得出结果.
【详解】（1）依题意解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因为不与坐标轴垂直，可设的直线方程为，
设点，则，
联立得，
则
因为点三点共线且斜率一定存在，
所以，所以，
将代入，化简可得，
故，解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点，
设所求内切圆半径为，因为，所以，
令，则，所以，
因为，对勾函数在区间上单调递增，
所以，则.
所以内切圆半径的范围为.
一、单选题
1．等差数列的前项和为，且，，则（ ）
A．45B．49C．56D．63
【答案】D
【分析】根据等差数列的下标和性质，结合前项和公式求解即可.
【详解】由题意，，解得，
故.
故选：D
2．“k<2”是“方程表示双曲线”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件和必要条件的定义，双曲线方程的定义进行分析即可
【详解】∵方程为双曲线，∴，
∴或，∴“”是“方程为双曲线”的充分不必要条件，
故选：A.
3．设函数，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】根据得出关于的等式，即可解出实数的值.
【详解】，则，
所以，，解得.
故选：D.
【点睛】本题考查导数的计算，考查计算能力，属于基础题.
4．如图，在直三棱柱中，，，，M为AB的中点.则A1到平面的距离为( )
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，用空间向量法求点到平面的距离．
【详解】如图，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立直角坐标系，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，A1(2,0,3)，B1(0,2,3)，M(1,1,0).
则有，，
设平面的法向量为，
则 即
令，得平面的一个法向量为，又，
所以A1到平面的距离.
故选：D.
5．为平衡城市旅游发展和生态环境保护，某市计划通过五年时间治理城市环境污染，预计第一年投入资金81万元，以后每年投入资金是上一年的倍；第一年的旅游收入为20万元，以后每年旅游收入比上一年增加10万元，则这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（ ）
A．325万元B．581万元C．721万元D．980万元
【答案】B
【分析】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，利用数列的求和公式即可求解.
【详解】根据题意可知，这五年投入的金额构成首项为，公比为的等比数列，
所以这五年投入的资金总额是（万元）；
由题意可知，这五年的旅游收入构成首项为，公差为的等差数列，
所以这五年的旅游总收入是（万元），
所以这五年的投入资金总额与旅游总收入差额为（万元），
故选：B.
6．已知，P为曲线上的点，且曲线C在点P处的切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】设点P的横坐标为，利用导数求切线的斜率，根据倾斜角范围求斜率范围，建立不等式即可求解.
【详解】设点P的横坐标为，则点P处的切线倾斜角与的关系为．
∵，
∴，
∴，即，
∴点P的横坐标的取值范围为．
故选：D
7．已知点是直线：和：的交点，点是圆：上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意分析可知点的轨迹是以的中点，半径的圆，结合圆的性质运算求解.
【详解】因为直线：，即，
令，解得，可知直线过定点，
同理可知：直线过定点，
又因为，可知，
所以直线与直线的交点的轨迹是以的中点，半径的圆，
因为圆的圆心，半径，
所以的最大值是.
故选：B.
8．已知椭圆：的左、右焦点分别是，，是椭圆上的动点，和分别是的内心和重心，若与轴平行，则椭圆的离心率为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接PO，则三点共线，延长交轴于点，则由平行于轴得，从而可得，根据三角形内心的性质可得，从而可得离心率．
【详解】∵是的中点，G是的重心，∴三点共线，
延长交轴于点，则由平行于轴知，，
则,设内切圆半径为r，
则，
∴椭圆的离心率为．
故选：A﹒
二、多选题
9．已知数列中，，能使的n可以为（ ）
A．22B．24C．26D．28
【答案】AD
【分析】通过计算找到数列的周期即可得出所求的答案．
【详解】由，，得：，，，
所以数列是周期为3的数列，所以，
故选：AD．
10．已知直线l：与圆C：，点，则下列说法正确的是（ ）
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【分析】根据直线和圆相切、相交、相离的等价条件进行求解即可.
【详解】对于A，因为点A在圆C上，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相切，故A正确；
对于B，因为点A在圆C内，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相离，故B正确；
对于C，因为点A在圆C外，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相交，故C错误；
对于D，因为点A在直线l上，所以，
所以圆心到直线的距离为，
所以直线l与圆C相切，故D正确；
故选：ABD.
11．已知两点，若直线上存在点P，使，则称该直线为“B型直线”．下列直线中为“B型直线”的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】首先求得满足的轨迹方程，再转化为判断直线与双曲线右支有交点，即可求解.
【详解】，所以点是以为焦点的双曲线的右支，
此时，，，，
所以双曲线方程是，，
“B型直线”是指直线与双曲线，有交点，
A. ，，，且，所以存在正根，即直线与双曲线右支有交点，所以是“型直线”，故A正确；
B.是双曲线的渐近线，所以直线不会和双曲线有交点，所以不是“型直线”，故B正确；
C.和双曲线，有交点，所以是“型直线”，故C正确；
D.联立，代入解得，那么是“型直线”，故D正确.
故选：ACD
12．已知数列满足，，且，则（ ）
A．B．数列是等差数列
C．数列是等差数列D．数列的前n项和为
【答案】ABD
【分析】摆动数列需要分类讨论，分别求出奇数项和偶数项的通项公式，再进行计算.
【详解】因为，，所以，，
，，故A正确；
当时，，，
两式相减得，，所以的奇数项是以为首项，4为公差的等差数列，
故B正确；
当时，.
当时，，，
两式相减得，，所以的偶数项是以5为首项，为公差的等差数列，
所以当时，；
∵ |，∴不是等差数列，故C错误；
因为，
所以，
设，则，
所以
，
故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．已知二面角为锐角，平面的法向量为，平面的法向量为，则 ，二面角的大小为 .
【答案】 /45°
【分析】利用空间向量夹角公式求解两个法向量的余弦值，结合二面角为锐角，得到二面角的大小.
【详解】
设二面角大小为（），因为二面角为锐角，故，解得：
故二面角的大小为
故答案为：，
14．若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
【答案】
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
15．抛物线具有以下光学性质：从焦点出发的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴．该性质在实际生产中应用非常广泛．如图所示，从抛物线的焦点F向y轴正方向发出的两条光线a，b分别经抛物线上的A，B两点反射，已知两条入射光线与x轴所成锐角均为60°，且，则 ．
【答案】
【分析】由抛物线的对称性得，然后再利用抛物线定义列式计算得，，从而代入计算.
【详解】如图所示，延长BF交抛物线C于点，由题意，，
由抛物线的对称性可得，，又因为，
，
所以，解得．
故答案为：.
【点睛】在抛物线中，若过焦点的直线的倾斜角为，则弦长.
16．已知数列中，，且点，，与直线的方向向量共线，若函数（，且），则函数的最小值是 .
【答案】
【分析】根据向量与直线方向向量共线可得，由等差数列的定义及通项公式可求解，把表示出来，做差判断单调性，利用单调性求解.
【详解】因为与直线的方向向量共线，
所以，
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列，
故，
，
，（，且）
（ ，且）是增函数，
故的最小值是
故答案为：
四、解答题
17．已知{an}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，a1＝16，2a3+3a2＝32.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝lg2an，求证：数列{bn}是等差数列；
(3)若数列{bn}的前n项和Sn，求Sn的最大值.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)10.
【分析】(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，利用a1＝16，2a3+3a2＝32求出q值后，即可得到{an}的通项公式；(2)由(1)可知bn＝lg22﹣n+5＝﹣n+5，然后利用等差数列的定义即可求解；(3)利用(2)中结论，并结合二次函数的性质即可求出Sn的最大值.
【详解】(1)设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，
由2a3+3a2＝32，得2a1q2+3a1q＝32，又a1＝16，得2q2+3q﹣2＝0，解得，
所以；
(2)证明：由(1)可知，
则当n＝1时，b1＝4，且，
所以bn+1﹣bn＝﹣n+4﹣(﹣n+5)＝﹣1，
故数列{bn}是以4为首项，﹣1为公差的等差数列；
(3)，
故当n＝4或5时，Sn有最大值，且最大值为S4＝S5＝10.
18．已知等差数列满足，前7项和为
（Ⅰ）求的通项公式
（Ⅱ）设数列满足，求的前项和.
【答案】(1)
(2) .
【详解】试题分析：（1）根据等差数列的求和公式可得，得，然后由已知可得公差，进而求出通项；（2）先明确=，为等差乘等比型通项故只需用错位相减法即可求得结论.
解析：
（Ⅰ）由，得
因为所以
（Ⅱ）
19．以抛物线的焦点弦为直径的圆与准线切于点.
(1)求这个圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设的中点为，通过相切关系求得，然后设直线的方程为，代入抛物线方程，韦达定理求得，进而求出圆心和半径，即可求解圆的方程；
（2）利用面积分割得，再结合（1）中的韦达定理求解即可.
【详解】（1）由抛物线的方程知其准线为，设焦点弦的中点为，
因为以焦点弦为直径的圆与抛物线准线相切于点，所以，
所以，所以抛物线的方程为，其焦点，
设，设直线的方程为，代入抛物线方程得，，.
所以，所以，所以直线的方程为，
，所以，
所以的中点坐标为，，
所以以为直径的圆的方程为：，
即所求圆的方程为：.
（2）
.
20．如图，长方体被经过的动平面所截，分别与棱，交于点，，得到截面，已知，.
（1）求证：；
（2）若直线与截面所成角的正弦值为，求的长.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）由于，，两两垂直，所以以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，由题可知，若设出点，则可表示出点的坐标，从而可得到向量坐标，得，所以；
（2）设，先求出平面的法向量，然后利用空间向量结合向量的夹角公式求解即可.
【详解】（1）以为原点，分别以，，，所在直线为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系.则，，，，.
依题意易得，设，则，
所以，而，所以，所以.
（2）因为，，，设平面的法向量为，则，令，则，
设直线与截面所成角为，所以，
解得，所以.
【点睛】此题考查了空间图形证明线线垂直，求线面角等，利用了空间向量证明线线垂直和求线面角，考查运算能力，属于中档题.
21．已知数列满足，.
（1）求证：数列为等差数列，并求；
（2）设，数列的前项和为，求证：.
【答案】（1）证明见解析，；（2）证明见解析.
【分析】（1）对式子，变形化简得，
根据定义即可证明数列为等差数列，求出；
（2）先化简，再用数学归纳法证明不等式，在证明从到的递推式时，可用分析法推导.
【详解】解：（1）由，得，
所以数列是以1为首项1为公差的等差数列，
即，化简得.
（2）因为，
下面用数学归纳法证明:
①当时，左边，右边，不等式成立；
②假设当，时不等式成立，即有
则当时，，
而此时不等式右为应为，
下面再证明，
即只需证明，
即只需证明，这显然成立，
即时，不等式也成立.
综合①②可得，成立.
【点睛】本题考查了等差数列的概念和通项公式，还考查了与有关的不等式，可用数学归纳法证明，属于中档题.
22．已知椭圆左焦点为，点到椭圆上的点的距离最小值是1，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，求的内切圆半径的范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求椭圆的方程；
（2）设的直线方程为，与椭圆方程联立得出韦达定理，点三点共线且斜率相等结合韦达定理得出直线过定点，设所求内切圆半径为， 结合面积公式以及对勾函数的单调性得出结果.
【详解】（1）依题意解得，
所以椭圆的方程为.
（2）因为不与坐标轴垂直，可设的直线方程为，
设点，则，
联立得，
则
因为点三点共线且斜率一定存在，
所以，所以，
将代入，化简可得，
故，解得，满足
所以直线过定点，且为椭圆右焦点，
设所求内切圆半径为，因为，所以，
令，则，所以，
因为，对勾函数在区间上单调递增，
所以，则.
所以内切圆半径的范围为.
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