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    江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题
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    江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题

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    这是一份江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题,文件包含江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题教师版含解析docx、江苏省南京市2022-2023学年高二上学期10月学情调研数学试题学生版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共24页, 欢迎下载使用。

    1. 已知双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,离心率为 ,则双曲线的标准方程为( )
    A. -=1B. x2-=1
    C. -=1D. x2-=1
    【答案】A
    【解析】
    【分析】利用待定系数法即可求解.
    【详解】因为双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为4,所以a=2,
    由离心率为,可得=,c=2,
    所以b===4,
    则双曲线的标准方程为-=1.
    故选:A
    2. 已知圆的圆心在直线上,则该圆的面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】配方得出圆心坐标,代入直线方程求得参数值,然后可得圆半径、面积.
    【详解】圆的方程可化为,其圆心为.依题意得,,解得,圆的半径为,面积为,
    故选:A.
    3. 若平面内两条平行线:,:间的距离为,则实数( )
    A. B. 或C. D. 或
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据平行关系得出或,再由距离公式得出满足条件.
    【详解】∵,∴,解得或
    当时,当时
    故选:C
    4. 已知从点发出的一束光线,经x轴反射后,反射光线恰好平分圆:的圆周,则反射光线所在的直线方程为( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】A
    【解析】
    【分析】根据反射性质,结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.
    【详解】设点的坐标为,圆的圆心坐标为,
    设是x轴上一点,因为反射光线恰好平分圆的圆周,
    所以反射光线经过点,
    由反射的性质可知:,
    于是,所以反射光线所在的直线方程为:

    故选:A
    5. 设点P为椭圆上一点,,分别为C的左、右焦点,且,则的面积为( )
    A. B. C. D.
    【答案】C
    【解析】
    【分析】结合余弦定理、椭圆的定义求得,从而求得的面积.
    【详解】设,
    根据椭圆的定义以及余弦定理得

    整理得,即,
    所以的面积为.
    故选:C
    6. 已知直线与圆相交于,两点,则“”是“”的( )
    A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
    C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
    【答案】A
    【解析】
    【分析】设,联立,化为由可得,根据韦达定理解出,进而可得结果.
    【详解】设,联立,化为,
    ,解得,

    因为,所以,


    ,解得,符合,
    则“”是“”的充分不必要条件,
    故选:A.
    7. 设分别是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线经过点,若和的离心率分别为,则的值为( ).
    A. 3B. 2C. D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意设出椭圆的长轴长以及双曲线的实轴长,再根据椭圆和双曲线的定义得到的关系,由此可求解出的值.
    【详解】设椭圆的长轴长为,双曲线的实轴长为,焦距长为,
    因为,所以在双曲线的左支上,如下图所示(不妨设在第二象限),
    因为线段的垂直平分线经过点,所以,
    所以,所以,
    所以,
    故选:B
    8. 已知圆,圆,点M、N分别是圆、圆上的动点,点P为x轴上的动点,则的最大值是( )
    A. B. 9C. 7D.
    【答案】B
    【解析】
    【分析】分析可知,设点关于轴的对称点为,可得出,求出的最大值,即可得解.
    【详解】圆的圆心为,半径为,
    圆的圆心为,半径为.

    又,,

    点关于轴的对称点为,

    所以,,
    故选:B.
    二、多选题(本大题共4小题,共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)
    9. 已知为4,为8或,则下列对曲线描述正确的是( )
    A. 曲线可表示为焦点在轴的椭圆B. 曲线可表示焦距是4的双曲线
    C. 曲线可表示为离心率是的椭圆D. 曲线可表示渐近线方程是的双曲线
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】利用椭圆、双曲线的定义及标准方程即可判断.
    【详解】由题意得,当时,方程表示焦点在轴的椭圆,
    所以A选项正确;
    当时,方程表示焦点在轴的双曲线,
    此时,则,,则焦距,
    所以B选项错误;
    当时,方程表示焦点在轴的椭圆,
    此时,则,,
    则离心率为,
    所以C选项正确;
    当时,方程表示焦点在轴的双曲线,
    此时,则,
    则,,则渐近线方程为,
    即,
    所以D选项正确;
    故选:ACD.
    10. 下列结论错误的是( )
    A. 直线恒过定点
    B. 直线的倾斜角为150°
    C. 圆上有且仅有3个点到直线:的距离都等于1
    D. 与圆相切,且在轴、轴上的截距相等的直线有两条
    【答案】ABD
    【解析】
    【分析】A.将化为,得到即可求出结果判断;B. 将直线的方程转化为斜截式得到斜率即可求出倾斜角;C. 求出圆心到直线的距离,进而分别判断优弧及劣弧上存在点的个数即可得出结论;D.分截距不为0,和截距为0两种情况,结合圆心到直线的距离等于半径即可求出结果.
    【详解】A. 因为,即,则,解得,所以直线恒过定点,故A错误;
    B. 因为,即,设直线的倾斜角为,则,因为,则,所以直线的倾斜角为120°,故B错误;
    C. 圆的圆心为,半径为2,则圆心到直线的距离为,所以劣弧上到直线的距离等于1的点有1个,而优弧上到直线的距离等于1的点有2个,所以圆上有且仅有3个点到直线:的距离都等于1,故C正确;
    D.因为圆的圆心为,半径为,
    当截距不为0,故设切线方程为,即,所以,解得(舍)或,即;当截距为0时,故设切线方程为,即,所以,解得,即,则与圆相切,且在轴、轴上的截距相等的直线有三条,故D错误;
    故选:ABD.
    11. 已知平面上一点,若直线上存在点使,则称该直线为“切割型直线”,下列直线中是“切割型直线”的是( )
    A. B. C. D.
    【答案】BC
    【解析】
    【分析】所给直线上的点到定点距离能否取,可通过求各直线上的点到点的最小距离,即点到直线的距离来分析,分别求出定点到各选项的直线的距离,判断是否小于或等于4,即可得出答案.
    【详解】所给直线上的点到定点距离能否取,可通过求各直线上的点到点的最小距离,即点到直线的距离来分析.
    A.因为,故直线上不存在点到距离等于,不是“切割型直线”;B.因为,所以在直线上可以找到两个不同的点,使之到点距离等于,是“切割型直线”;
    C.因为,直线上存在一点,使之到点距离等于,是“切割型直线”;D.因为,故直线上不存在点到距离等于,不是“切割型直线”.
    故选:BC.
    12. 设有一组圆,下列命题正确是( )
    A. 不论如何变化,圆心始终在一条直线上
    B. 存在圆经过点
    C. 存在定直线始终与圆相切
    D. 若圆上总存在两点到原点的距离为,则
    【答案】ACD
    【解析】
    【分析】对于A,考查圆心的横纵坐标关系即可判断;
    对于B,把, 代入圆方程,由关于的方程根的情况作出判断;
    对于C,判断圆心到直线 距离与半径的关系即可;
    对于D,圆与以原点为圆心的单位圆相交即可判断作答.
    【详解】对于A,圆心为,其圆心在直线上,A正确;
    对于B,圆,将代入圆的方程可得,化简得,,方程无解,所以不存在圆经过点,B错误;
    对于C,存在直线,即或,圆心到直线或的距离,这两条直线始终与圆相切,C正确,
    对于D,若圆上总存在两点到原点的距离为1,问题转化为圆与圆有两个交点,圆心距为,则有,解可得:或,D正确.
    故选:ACD.
    三、填空题(本大题共4小题,共20.0分)
    13. 过A(1,4)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线共有________条.
    【答案】3
    【解析】
    【分析】根据题意可得有三种情况.
    【详解】解析:一条是截距为0,一条是截距相等(不为0),一条是截距互为相反数(不为0),共3条.
    故答案为:3.
    14. 已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且,则双曲线的离心率e的最大值为________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】结合已知条件与双曲线的定义可得,再利用余弦定理得到,求出的范围,即可求出结果.
    【详解】设,由,得,由余弦定理得,因为,所以,即,又,所以,所以离心率e的最大值为.
    故答案为:.
    15. 设,分别是椭圆的左、右焦点,离心率为,是椭圆上一点且与轴垂直,则直线的斜率为_______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由已知可得各点坐标,利用两点间斜率公式,结合离心率可得解.
    【详解】由已知可设,,
    因为是椭圆上一点且与轴垂直,
    令,则,则,
    所以,
    故答案为:.
    16. 若实数x,y满足,则的取值范围为___________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】由题得,它表示以点为圆心,以1为半径的圆,表示圆上的动点和点所在直线的斜率,数形结合求出的取值范围.
    【详解】由题得,它表示以点为圆心,以1为半径的圆,
    表示圆上的动点和点所在直线的斜率,
    当直线和圆相切时,斜率最小,
    设此时斜率为,直线方程为,即,
    所以,
    所以的取值范围为.
    故答案为:
    四、解答题(本大题共6小题,共70.0分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
    17. 已知直线:,直线:.
    (1)若直线在两坐标轴上的截距相等,求直线的方程;
    (2)若,求直线的方程.
    【答案】(1)或;(2).
    【解析】
    【分析】
    (1)分直线过原点和直线不过原点两种情况讨论,分别求解即可.
    (2) 若,则解得或,再验证从而得出答案.
    【详解】(1)①若直线过原点,则在坐标轴的截距都为,显然满足题意,
    此时则,解得,
    ②若直线不过原点,则斜率为,解得.
    因此所求直线方程为或
    (2)①若,则解得或.
    当时,直线:,直线:,两直线重合,不满足,故舍去;
    当时,直线:,直线:,满足题意;
    因此所求直线:
    【点睛】易错点睛:本题考查直线的截距概念和根据两直线的位置关系求参数,在解决这类问题时,直线在两坐标轴上的截距相等(或互为相反数)时,要注意直线过原点时也满足条件,这是在解题中容易漏掉的情况,在由直线平行求参数时,求出参数时要代回检验,对重合的情况要舍去,这个也是容易出错的地方,要注意,属于中档题.
    18. 已知双曲线:的两条渐近线所成的锐角为且点是上一点.
    (1)求双曲线的标准方程;
    (2)若过点的直线与交于,两点,点能否为线段的中点?并说明理由.
    【答案】(1);(2)点不能为线段的中点,理由见解析.
    【解析】
    【分析】(1)由渐近线夹角求得一个斜率,再代入点的坐标,然后可解得得双曲线方程;
    (2)设直线方程为(斜率不存在时另说明),与双曲线方程联立,消元后应用韦达定理,结合中点坐标公式求得,然后难验证直线与双曲线是否相交即可得.
    【详解】解:(1)由题意知,双曲线的渐近线的倾斜角为30°或60°,即或.
    当时,的标准方程为,代入,无解.
    当时,的标准方程为,代入,解得.
    故的标准方程为.
    (2)不能是线段的中点
    设交点,,
    当直线的斜率不存在时,直线与双曲线只有一个交点,不符合题意.
    当直线的斜率存在时,设直线方程为,联立方程组
    ,整理得,
    则,由得,
    将代入判别式,
    所以满足题意的直线也不存在.
    所以点不能为线段的中点.
    19. 已知圆的圆心在直线上,且与直线:相切于点.
    (1)求圆的方程;
    (2)求过点与圆相切的直线方程.
    【答案】(1);(2)或.
    【解析】
    【分析】(1)先得到过点且与直线:垂直的直线方程,与联立求得圆心即可;
    (2)若过点的直线斜率不存在,即直线是判断,若过点的直线斜率存在,设直线方程为,再根据直线与圆相切求解.
    【详解】(1)过点与直线:垂直的直线的斜率为,
    所以直线的方程为,即.
    由,解得.
    所以.
    故圆的方程为:.
    (2)①若过点的直线斜率不存在,即直线是,与圆相切,符合题意;
    ②若过点的直线斜率存在,设直线方程为,
    即,
    若直线与圆相切,则有,
    解得.
    此时直线的方程为,即.
    综上,切线的方程为或.
    20. 已知直线.
    (1)求证:无论为何实数,直线恒过一定点;
    (2)若直线过点,且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小,求直线方程.
    【答案】(1)证明见解析;(2).
    【解析】
    【分析】(1)解方程组,可得定点的坐标;
    (2)设直线的方程为,分析可得,求出该直线与两坐标轴的交点坐标,可得出三角形面积关于的关系式,结合基本不等式可求得的最小值,利用等号成立可求得的值,即可得出直线的方程.
    【详解】(1)证明:将直线的方程化为,
    解方程组,解得,故直线恒过定点;
    (2)由题意可知,直线的斜率存在且不为零,
    设直线的方程为,
    令,可得,令,可得,
    由已知可得,解得,
    所以,三角形面积为,
    当且仅当时,等号成立,此时直线的方程为,即.
    21. 已知圆C:(x﹣3)2+y2=1与直线m:3x﹣y+6=0,动直线l过定点A(0,1).
    (1)若直线l与圆C相切,求直线l的方程;
    (2)若直线l与圆C相交于P、Q两点,点M是PQ的中点,直线l与直线m相交于点N.探索是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
    【答案】(1)y=1或;(2)是,-5.
    【解析】
    【分析】(1)由题意可得直线的斜率存在,所以设直线l的方程为,然后利用点到直线的距离公式可得求出的值,从而可求出切线方程,
    (2)设l的方程为y=kx+1,M(x0,y0),将直线方程与圆方程联立方程组消去y,解方程可求出点的坐标,再将两直线方程联立可求出点的坐标,从而可表示出 ,化简可得结论
    【详解】解:(1)1°当直线l的斜率不存在时,
    l的方程为x=0,与圆C不相切;
    2°当直线l的斜率存在时,
    设直线l的方程为,即,
    ∴,解得或,
    ∴直线l的方程为y=1或;
    (2)由题意可知直线l的斜率存在,
    设l的方程为y=kx+1,M(x0,y0),
    由消去y得,(1+k2)x2﹣(6﹣2k)x+9=0,
    ∴,
    ∴,∴,
    由得,,
    ∴,∴,
    ∴,
    ∴为定值.
    22. 平面直角坐标系中,过椭圆 :( )右焦点的直线交 于,两点,为的中点,且 的斜率为.
    (Ⅰ)求椭圆的方程;
    (Ⅱ), 为上的两点,若四边形的对角线 ,求四边形面积的最大值.
    【答案】(Ι) (Ⅱ)
    【解析】
    【分析】(1)把右焦点代入直线方程可求出c,设 ,线段AB的中点,利用“点差法”即可得出a,b的关系式,再与联立即可求出a,b,进而可得椭圆方程;
    (2)由,可设直线CD方程为,与椭圆方程联立可得根与系数关系,即可得到弦长,把直线,利用即可得到关于m的表达式,利用二次函数的单调性即可求出其最大值.
    【详解】(Ι)设 则,,(1)-(2)得:
    ,因为,设,因为P为AB的中点,且OP的斜率为,所以,即,所以可以解得,即,即,又因为,所以,所以M的方程为.
    (Ⅱ)因为,直线AB方程为,所以设直线CD方程为,
    将代入得:,即、,所以可得;将代入得:,设 则=,又因为,即,所以当时,|CD|取得最大值4,所以四边形ACBD面积的最大值为 .
    【点睛】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系,考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ,考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.
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