江苏省连云港市新海高级中学2023-2024学年高一上册一月学情检测数学试题（含解析）

江苏省新海高级中学2023-2024学年第一学期一月学情检测高一年级数学试卷 命题人 章莹莹 陈虎 时间120分钟一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）1．已知集合，则（    ）A． B．C． D．2．（    ）A． B． C． D．3．命题：的否定是A． B．C． D．4．无论取何值时，不等式恒成立，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．已知都为锐角，，，则等于（    ）A． B． C． D．6．中，是的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．把函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度，得到一个最小正周期为的奇函数，则和的值分别为（    ）A．， B．， C．， D．，8．已知定义域为R的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列结论错误的是（    ）A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称C． D．的一个周期为8二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9．若，，则下列各式中，恒等的是（    ）A． B．C． D．10．设正实数a，b满足，则（    ）A．有最大值4 B．有最大值C． D．11．已知函数，且，是函数相邻的两个最大值点，，，则（    ）A． B．C． D．12．已知函数，若方程有四个不等的实根，，，，且，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．已知幂函数的图像过点，函数的解析式为 .14．函数的最小值为 .15．已知方程的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数的取值范围 .16．已知函数的图象与的图象有四个不同交点，其横坐标从小到大依次为，，，，则 .四、解答题：本题共6题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知集合.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.18．已知为第三象限角，且．(1)化简；(2)若，求的值．19．已知函数(1)求在区间上的最大值和最小值;(2)指出图象可由的图象经怎样的变换得到？并求在区间 上的单调递减区间.20．已知定义域为的函数是奇函数.(1)判断的单调性，并证明；(2)解关于的不等式.21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢的往上转，可以从高处俯瞰四周的景色（如图1）.某摩天轮的最高点距离地面的高度为45米，最低点距离地面5米，摩天轮上均匀设置了36个座舱（如图2）.开启后摩天轮按逆时针方向匀速转动，游客在座舱离地面最近时的位置进入座舱，摩天轮转完一周后在相同的位置离开座舱.摩天轮转一周需要10分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.设经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知.（，，）.    (1)试求的解析式.(2)求游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米时的时刻.22．已知函数.(1)若，求的零点；(2)若方程恰有一个实根，求实数的取值范围；(3)设，若对任意，当时，满足，求实数的取值范围. 参考答案与解析1．B【分析】根据交集的概念和运算求解出结果.【解答】因为，所以，故选：B.2．C【分析】根据三角函数的诱导公式以及特殊角的三角函数值，即可得答案.【解答】由题意得，故选：C3．D【分析】由全称命题的否定为特称命题求解【解答】由全称命题的否定为特称命题，知命题：的否定是，故选:D．4．D【分析】由题知，再解不等式即可得答案.【解答】解：因为无论取何值时，不等式恒成立，所以，，解得，所以，的取值范围是故选：D5．A【分析】根据余弦的差角公式，结合,同角三角函数关系求解即可.【解答】解：因为都为锐角，即，所以因为，，所以，，所以.故选：A6．A【分析】在三角形中，由，从而说明充分性成立，举反例说明必要性不成立即可.【解答】解 ：在三角形中，由,则成立，即充分性成立，反之不成立，如：当时，满足，但，即中，是的充分不必要条件。故选：A.7．B【分析】利用三角函数图象变换求得函数的解析式，由函数的最小正周期为可求得的值，由函数为奇函数结合的取值范围可求得的值.【解答】将函数的图象上每一点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，可得到函数，再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，因为函数是一个最小正周期为的奇函数，则，解得，且有，可得，，，.故选：B.【点评】本题考查利用三角函数图象变换求函数解析式，同时也考查了利用余弦函数的基本性质求参数值，考查计算能力，属于中等题.8．C【分析】根据是奇函数，可得，判断B;根据是偶函数，推出，判断A;继而可得，可判断D；利用赋值法求得，根据对称性可判断C.【解答】由题意知是奇函数，即，即，即，故的图象关于点对称，B结论正确；又是偶函数，故，即，故的图象关于直线对称，A结论正确；由以上可知，即，所以，则，故的一个周期为8，D结论正确；由于，令，可得，而的图象关于直线对称，故，C结论错误，故选：C【点评】方法点评：此类抽象函数的性质的判断问题，解答时一般要注意根据函数的相关性质的定义去解答，比如奇偶性，采用整体代换的方法，往往还要结合赋值法求得特殊值，进行解决.9．BD【分析】根据对数运算法则和性质即可判断.【解答】对于A：，故选项A不正确；对于B，根据对数的运算法则得，故B正确；对于C：，故选项B不正确；对于D：，故选项D正确；故选：BD.10．BCD【分析】利用基本（均值）不等式进行判断.【解答】对于A，正实数a，b满足，即有，可得，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值4，无最大值，所以A错误；对于B，由选项A可知，，当且仅当时取等号，所以B正确；对于C，，当且仅当时等号成立，C正确；对于D，，当且仅当时等号成立，D正确.故选：BCD11．BD【分析】由相邻的两个最大值点对应，可得函数的周期，由，，可得，再由函数取得最大值苛求，进而可判断选项是否正确.【解答】A选项：因，所以，因，，故，故A错误；B选项：因，是函数相邻的两个最大值点，所以，所以，故B正确；C选项：由题意，时，即，即，因，故，故C错误；D选项：由以上选项知，，，故D正确.故选:BD.12．ACD【分析】利用对数函数与正弦函数的性质作出的图像，结合图像对选项逐一分析即可得解.【解答】对于A，当时，，则，易得在上单调递减，且，当时，，则，易得在上单调递增，且，即，当时，，则由，的图像，可知在上单调递减，在上单调递增，且，，，，，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出的图象，如图所示，因为方程有四个不等的实根，所以与的图像有四个交点，所以，故A正确；对于B，结合选项A中分析可得，所以，则，故B错误；对于C，D,由正弦函数的性质结合图像可知与关于对称，所以，又当时，，令，得，所以，，所以，得，所以，故C正确；又由图像可知同增同减，所以，故D正确.故选：ACD【点评】函数零点的求解与判断有以下方法，（1）直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；（3）利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．13．【分析】根据幂函数的定义，将点的坐标代入即可求得值，从而求得函数解析式.【解答】因为幂函数的图像过点，∴，解得；∴函数的解析式为.故答案为：.14．【分析】利用二倍角公式可得，再由余弦函数值域以及二次函数性质可得其最小值为.【解答】根据题意可得，令，则，根据二次函数性质可得，所以函数的最小值为.故答案为：15．【分析】设，结合题意，得到，即可求解.【解答】设，因为方程 的一个实根小于2，另一个实根大于2，则满足，解得，即实数的取值范围为.故答案为：.16．【分析】联立方程，两边除以得到新方程，设，通过函数的奇偶性和方程的韦达定理得到答案.【解答】函数的图象与的图象有四个不同交点则两边除以得到设原式或为偶函数有两个解互为相反数有两个解互为相反数故答案为1【点评】本题考查了零点问题，换元法，韦达定理，综合性强，属于难题.17．(1)(2)【分析】（1）时得出集合B，然后进行交集的运算即可；（2）根据得出，然后即可得出的取值范围．【解答】（1）当时，，∴；（2）因为，所以，所以，所以的取值范围为：．18．(1)(2)【分析】（1）根据诱导公式化简即可；（2）利用三角函数平方关系，结合角的象限，计算即可.【解答】（1）（2）∵，∴又为第三象限角，∴19．(1)见解答,最大值为最小值为(2)见解答.【分析】(1)根据,得的范围,从而得到的值域,再代入即可.(2)根据结合三角函数图象的平移变换规律即可得到.先求得的单调递减区间,再对进行赋值,即可得到对应区间.【解答】（1）故所以在区间上的最大值为最小值为（2）的图象可由先向左平移个单位长度,再将图象上所有的点的横坐标变为原来的纵坐标变为原来的倍得到.令解得当时,当时,所以在区间 上的单调递减区间为20．(1)在R上是递减函数，证明见解析(2)【分析】（1）利用奇函数性质求得，再由单调性定义判断函数单调性即可；（2）根据函数奇偶性、单调性可得，再由对数函数性质求解集即可.【解答】（1）因为是定义在R上的奇函数，则，即，解得，所以，故在R上是递减函数．证明：任取、，且，则，又，∴，即，故是定义在R上的递减函数；（2）∵，∴，是R上的奇函数，∴，是R上的减函数，∴，∴，解得，∴不等式的解集为．21．(1)（）(2)分钟和分钟.【分析】（1）根据题意由的最大值和最小值可求的,根据的值可求得的值，根据周期可求得的值；（2）根据题意，列出方程，解出即可.【解答】（1）且∴，由得∵，∴，又∴（）（2）令，∵，∴∴或∴或答：游客甲坐上摩天轮转第一圈的过程中离地面高度为15米的时刻为第分钟和分钟.22．(1)(2)(3)【分析】（1）代入，令求得对应的值即为的零点；（2）将原方程转化为“且”，然后分类讨论求得结果；（3）结合的单调性将问题转化为“”，从而可得“对任意恒成立”，利用二次函数的性质求得结果.【解答】（1）当时，，令，即，解得，所以的零点为；（2）因为且，化简可得且，当时，，此时满足；当时，，此时满足；当且时，，若是方程的解，不是方程的解，则，此时无解；若是方程的解，不是方程的解，则，解得；综上所述，的取值范围是；（3）令，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，又时，满足，所以，所以，即，即，所以对任意恒成立，令，对称轴，开口向上，所以在上单调递增，所以，解得，综上所述，的取值范围是.【点评】关键点点评：本题考查对数函数下的函数零点、方程根、函数不等式恒成立等问题，对学生分析转化问题的能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键在于分析函数的单调性，通过单调性将函数值不等关系转化为自变量的不等关系，从而完成计算.