2023-2024学年吉林省吉林市吉化第一高级中学校高一上学期第一次月考数学试题含答案

2023-2024学年吉林省吉林市吉化第一高级中学校高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集，集合和的关系如图所示，则阴影部分表示的集合的元素共有（    ）A．2个 B．3个 C．4个 D．无穷多个【答案】A【分析】由韦恩图有阴影部分为，应用集合交补运算求集合，即可判断元素个数.【详解】由题设，，由韦恩图知：阴影部分为，共有2个元素.故选：A2．已知，则的最小值是（    ）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.【详解】由，则，当且仅当时等号成立，故最小值为.故选：C3．集合的子集的个数是（    ）A．4 B．8 C．16 D．32【答案】C【分析】列举法表示集合，根据元素个数判断子集个数.【详解】由题设，列举法表示集合为，共有4个元素，所以子集的个数是.故选：C4．若，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用基本不等式和特值法，结合充分条件与必要条件的定义可得答案.【详解】若，取，则，故充分性不成立，若，则，故必要性成立，∴若，则“”是“”的必要不充分条件.故选：B.5．设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可.【详解】因为集合，，当时，，是的真子集，当时，，因为是的真子集，所以或，解得或，故选：B6．已知集合，，则的关系（    ）A．⫋ B．⫋C．⫋⫋ D．⫋⫋【答案】B【分析】将集合化为与相同的形式，即可判断集合间的关系.【详解】由，，而为奇数，为整数，又，所以⫋.故选：B7．设，则下列说法错误的是（    ）A．的最大值为1 B．的最小值为2C．的最小值为9 D．的最大值为2【答案】C【分析】对于ABD，利用基本不等式判断即可；对于C，利用基本不等式“1”的妙用判断即可.【详解】对于A，因为，所以，当且仅当时取等号，则的最大值为1，故A正确；对于B，因为，则，当且仅当时取等号，则的最小值2，故B正确；对于C，，当且仅当且，即时取等号，所以的最小值为，故C错误；对于D，，而，则，当且仅当时取等号，故的最大值为2，故D正确.故选：C.8．关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（    ）A．或B．或C．或D．或【答案】A【分析】化简不等式为，分类讨论，求得不等式的解集，结合不等式的解集中恰有两个整数，即可求解.【详解】关于的不等式可化为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为，因为不等式的解集中恰有两个整数，所以，当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为；当时，不等式的整数解为和，所以的取值范围为，综上可得，实数的取值范围为.故选：A二、多选题9．下列四个命题中，是存在量词命题并且是真命题的是（    ）A．存在实数，使B．有一个无理数，它的立方是有理数C．存在一个实数，它的倒数是它的相反数D．每个三角形的内角和都是【答案】AB【分析】根据存在量词命题的定义，结合存在量词命题的真假判定，逐项判定，即可求解.【详解】A中，命题：存在实数，使为存在量词命题，且为真命题，所以A正确；B中，命题：有一个无理数，它的立方是有理数为存在量词命题，且为真命题，所以B正确；C中，命题：存在一个实数，它的倒数是它的相反数为存在量词命题，但为假命题，所以C不正确；D中，命题：每个三角形的内角和都是为全称量词命题，所以D不正确.故选：AB.10．下列表达式的最小值为2的有（    ）A．当时， B．当时，C． D．【答案】AC【分析】利用基本不等式，注意等号成立条件判断A、D；令判断B；由即可判断C.【详解】A：，当且仅当时等号成立，符合；B：时，，不符合；C：，当且仅当时等号成立，符合；D：，显然，故等号不成立，不符合.故选：AC11．下列叙述中正确的是（    ）A．“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件B．若，则“”的充要条件是“”C．“”是“”的充分不必要条件D．若，则“”的充要条件是“”【答案】AC【分析】A根据对应函数零点分布列不等式组求参数范围；B、C由不等式性质判断；D由恒成立，写出对应充要条件判断.【详解】A：令，则其存在两个零点分布在y轴两侧，所以，故“”是“方程有一个正根和一个负根”的充要条件，对；B：由，则，故；由，若，则；所以“”的必要不充分条件是“”，错；C：由，则成立，而时成立，故“”是“”的充分不必要条件，对；D：若恒成立，则，故不是充要条件，错.故选：AC12．关于的不等式解集的下列结论中，正确的是（    ）A．不等式的解集可以是B．不等式解集可以是C．不等式的解集不可能是D．不等式的解集可以是【答案】ABC【分析】根据给定条件，举例说明判断ABC；假定不等式解集为，导出矛盾判断D.【详解】对于A，取，原不等式化为，显然恒成立，即不等式的解集为R，A正确；对于B，取，原不等式化为，解得，即不等式的解集为，B正确；对于C，因为时，不等式成立，因此不等式的解集不可能是，C正确；对于D，假定不等式的解集是，则是方程的两个根，且，于是，解得与矛盾，因此原不等式的解集不能是，D错误.故选：ABC三、填空题13．命题“”的否定是 .【答案】【分析】利用全称命题的否定是特称命题得出结果.【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“”的否定是，故答案为：.14．若“”的一个充分不必要条件是“”，则实数的取值范围是 .【答案】【分析】利用集合的包含关系解不等式即可.【详解】因为“”是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集，故，故答案为：15．不等式的解集为 .【答案】【分析】将分式不等式化为求解集.【详解】由，所以不等式解集为.故答案为：16．已知，则的最小值为 .【答案】【分析】利用乘“”法和基本不等式求解即可.【详解】因为，所以，则当且仅当，即取等号，故答案为：四、解答题17．已知集合，全集为实数集.(1)求；(2)求.【答案】(1)；(2).【分析】（1）（2）应用集合的交、并、补运算求集合即可.【详解】（1）由，所以.（2）由题设，或或，所以.18．工厂生产某产品的总成本与年产量之间的关系为，且当年产量是60时，总成本为3000.(1)设该产品年产量为时平均成本为，求关于的表达式；(2)求当年产量为多少时，平均成本最小，并求最小值.【答案】(1)(2)年产量为30，最小值为40.【分析】（1）由已知条件求出a，根据平均成本即可得表达式；（2）根据基本不等式即可求解.【详解】（1）将代入中，可得，从而，于是，因此；所以所求表达式为：.（2）因为，当且仅当，即时，等号成立，因此当年产量为30时，平均成本最小，且最小值为40.19．已知关于的不等式.(1)若不等式的解集为，求实数的值；(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意可知和1是方程的两个实数根，由韦达定理求的值；（2）讨论是否为0，分别求得的范围，求并集即为的取值范围.【详解】（1）若关于的不等式的解集为，则和1是的两个实数根，且，由韦达定理可得，解得.（2）若关于的不等式解集为，当时，不等式化为，恒成立，满足题意；当时，则有，解得，所以，即实数的取值范围为.20．已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)命题：“，使得”是真命题，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）由，根据，分类求参数即可；（2）命题是真命题即，先求时，的取值范围或，进而可得时的取值范围.【详解】（1）若，满足，此时，即，当时，要使，则，即，即，综上实数的取值范围为.（2）命题：“，使得”是真命题，等价于，若时，当，满足，此时，即，当时，，若，则满足或，即或，综上若，得或，则当时，即实数的取值范围是.21．已知.(1)若，求实数的取值集合；(2)若，求实数的取值集合.【答案】(1)；(2)或.【分析】（1）根据题设易知是的两解，应用根与系数关系求参数，即可得集合；（2）由题设，讨论或依次求出对应参数a的范围，即可得集合.【详解】（1）因为或，则，则是的两解，则且，解得；综上，.（2）由（1），而，则，所以或满足条件，①当时，则方程无解，因此，解得；②当时，则方程有两个相等的解0，因此且，解得.③当时，则方程有两个相等的解8，因此且，无解.④当时，则方程有两解0和8，因此且，解得；综上，或，故实数的取值集合或.22．已知关于的不等式.(1)若不等式的解集为时，求实数的值；(2)当时，求不等式的解集.【答案】(1)或(2)答案见解析【分析】（1）利用根与系数之间的关系即可求出实数的值；（2）通过比较两根的大小,进行分类讨论即可.【详解】（1）若不等式的解集为，则和3是方程的两个实数根，由根与系数的关系知，，且，解得或，（2）时，不等式可化为；当时，即，解得；当时，即解得；当时，即，解得.综上知，时，不等式的解集为；时，不等式的解集为；时，不等式的解集为.