2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰实验中学高一上学期期中数学试题含答案

这是一份2023-2024学年内蒙古赤峰市赤峰实验中学高一上学期期中数学试题含答案，共10页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，，则（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【分析】根据交集、补集的概念与运算求解即可.
【详解】解：已知集合，，则
又，所以，
故选：C.
2．命题，的否定是（ ）．
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】根据全称命题的否定为特称命题即可求解.
【详解】命题，的否定是，,
故选：C
3．已知，那么的一个充分不必要条件是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据充分不必要条件定义，结合推出关系依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，，，
是的一个充分不必要条件，A正确；
对于B，，，
是的一个既不充分也不必要条件，B错误；
对于C，，，
是的一个必要不充分条件，C错误；
对于D，，，
是的一个必要不充分条件，D错误.
故选：A.
4．已知集合，若，则实数a的值为（ ）
A．1B．1或0C．0D．或0
【答案】C
【分析】根据或，求出，保留符合元素互异性的值即可.
【详解】
若，即时，，不符合集合元素的互异性，舍去；
若，即（舍去）或时，，
故.
故选：C.
5．已知条件p：，条件q：，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用充分不必要条件的定义求出a的取值范围.
【详解】因为p是q的充分不必要条件，则，于是，
所以a的取值范围是.
故选：C
6．下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
A．每一个命题都能判断真假
B．存在一条直线与两条相交直线都平行
C．对任意实数，若，则
D．存在，使
【答案】A
【分析】根据全称量词命题以及存在量词命题的概念以及命题的真假判断，一一判断各命题，即得答案.
【详解】对于A，“每一个命题都能判断真假”是全称量词命题，命题都能判断真假，
A是真命题，符合题意；
对于B，“存在一条直线与两条相交直线都平行”是存在量词命题，不符合题意；
对于C，该命题是全称量词命题，当时，，C中命题是假命题，不符合题意；
对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意，
故选：A.
7．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．2B．C．4D．
【答案】D
【分析】利用1的代换，基本不等式求解.
【详解】,
当且仅当时，最小值为.
故选：D.
8．下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，，则
C．若，，则D．若，则
【答案】B
【分析】取特殊值可判断ACD，利用不等式的性质判断B.
【详解】对A，取，显然不成立，故A错误；
对B，由不等式性质知，，则正确，故B正确；
对C，取时，由可得，故C错误；
对D，时，显然，故D错误.
故选：B.
二、多选题
9．图中阴影部分用集合表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【分析】根据韦恩图，结合集合交补运算判断满足要求的答案.
【详解】由图可得图中阴影部分表示为，
又，，，
故符合题意的有A、B、C.
故选：ABC
10．下列命题正确的是（ ）
A．，B．，
C．，是有理数D．，
【答案】AD
【分析】根据全称命题和特称命题的含义，结合具体例子依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，当时，，A正确；
对于B，若，则，B错误；
对于C，若，则依然为无理数，C错误；
对于D，当，即，时，成立，D正确.
故选：AD.
11．已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】由题可得，进而根据根与系数的关系可得，然后逐项判断即得.
【详解】因为的解集是，
所以，且和4是方程等于0的两个解，
所以，即，
所以，
所以AC正确，BD错误.
故选：AC
12．下列表述正确的是（ ）
A．
B．“”是“”的充分不必要条件
C．
D．集合的真子集有3个
【答案】AB
【分析】对各个选项进行分析判断即可.
【详解】由 , 所以 故选项正确;
又 , 解得 或 , 所以 “”是“”的充分不必要条件, 故B选项正确;
, 所以C选项错误;
集合的真子集有个，故D选项错误；
故选：AB.
三、填空题
13．若集合满足，，且，求集合 .
【答案】
【分析】由交集结果判断元素与集合的关系，结合包含关系确定集合.
【详解】由题设，，，又，
所以.
故答案为：
14．已知，则的最小值为 .
【答案】
【分析】应用基本不等式求最小值，注意取值条件.
【详解】由，则，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
15．已知，则与的大小关系为 .
【答案】/
【分析】利用作差比较法.
【详解】因为，
所以，故.
故答案为：.
16．设命题，写出一个实数 ，使得是真命题．
【答案】（答案不唯一，只要满足即可）
【分析】由是真命题可得，即可得解.
【详解】若命题为真命题，
则，解得，
故可取，使得是真命题．
故答案为：（答案不唯一，只要满足即可）
四、解答题
17．（1）集合，写出集合的所有子集；
（2）集合.若，，，求、的值.
【答案】（1），，，，，，，
（2），
【分析】（1）先得，再写出的子集即可；
（2）先根据，得，进而可知，为方程的两个根，可得，.
【详解】（1），故的子集有：
，，，，，，，.
（2）因为，，，
故或，
根据题意可知，为方程的两个根，
故由韦达定理得，，
故，.
18．求下列不等式的解集：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）（2）（3）应用一元二次不等式的解法求各不等式的解集.
【详解】（1）由，则或，
所以或，故不等式解集为.
（2）由，可得，
所以不等式解集为.
（3）由已知，显然无解，
所以不等式解集为.
19．已知集合，．
（1）当时，求；
（2）若，求实数a的取值集合．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出集合A和B，根据补集的定义求出．
（2）由条件可得，根据子集关系可得或．
【详解】（1），
当时，，则且，．
（2），．
因为方程的两根为1和a，
当时，，符合，
当时，再由，可得，
实数a的取值集合为．
【点睛】本题主要考查了集合关系中参数的取值范围问题，两个集合的交集、并集、补集的定义和求法，属于基础题．
20．已知集合或，.
(1)若，求，；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)或，
(2)或
【分析】（1）根据交集，并集，补集的概念进行求解；
（2）根据题目条件得到是的真子集，分与两种情况，得到不等式，求出答案.
【详解】（1）时，，故或，
，或，
故；
（2）由题意得是的真子集，
若，则，解得，
若，则或，
解得，
故的取值范围是或
21．已知命题：对,都有成立；命题：关于的方程有实数根.
(1)若命题为真，求实数的取值范围；
(2)若与有且仅有一个真命题，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)或或.
【分析】（1）分讨论求出命题为真命题参数的范围；
（2）命题， 一真一假，再分真且假，和真且假两种情况分别求出参数的范围，再综合得到答案.
【详解】（1）命题为真命题：对任意实数都有恒成立，
当时，恒成立，当时，则，即，解得，
综上的取值范围为.
（2）若为真命题，则，解得或，
若真假，则，则，
若假真，则，则或，
综上，或或.
22．甲市民计划对长6米，宽2米的阳台进行改造，设计图如图所示，区域用来打造休闲区域，区域用来种植辣椒，区域用来种植青菜，区域用来种植大蒜.已知，两区域是边长为米的全等正方形，打造体闲区域每平方米需花费30元，打造辣椒区域每平方米需花费40元，打造青菜区域每平方米需花费20元，打造大蒜区域每平方米需花费25元.
(1)用（单位：平方米）表示区域的而积，求关于的函数解析式；
(2)当为何值时，阳台改造的总费用最少，最少为多少？
【答案】(1)，
(2)当时，阳台改造的总费用最少，最少为324元
【分析】（1）根据长方形面积公式即可求解，
（2）根据二次函数的性质即可求解最值.
【详解】（1）由题意得区域为长宽分别为的长方形，所以，.
（2）设阳台改造的总费用为（单位：元），
则，，
当时，有最小值，
.
所以当时，阳台改造的总费用最少，最少为324元.