2022-2023学年福建省厦门外国语学校石狮分校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

2022级厦门外国语学校石狮分校高一数学上学期期中考试试卷

一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知，若集合，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】考虑两者之间的推出关系，结合充分条件和必要条件的定义可得正确的选项.

【详解】若，则或，故“”推不出“”，

反之，若，则，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

2. 已知函数是幂函数，且在上单调递增，则（    ）

A. 3 B. －1 C. 1或－3 D. －1或3

【答案】A

【解析】

【分析】根据幂函数的概念及性质即得.

【详解】因为是幂函数，

所以，解得或3；

又在上单调递增，

当时，，不符合题意，

当时，，符合题意，

故．

故选：A．

3. 三个数，，之间的大小关系是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合中间量法即可得解.

【详解】解：函数是R上的减函数，而，则，

函数是R上的增函数，而，则，

函数是上增函数，而，则，

于是得.

故选：C.

4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．

【详解】由题意得：，解得：，

由，解得：，

故函数的定义域是，

故选：B．

5. 设函数，则=（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据给定分段函数直接计算即可得解

【详解】函数，则，，

所以.

故选：C

6. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】通过研究函数奇偶性以及单调性，以及由排除不正确的选项，从而得出答案..

【详解】详解：为奇函数，排除A,

，故排除D.

，

当时，，所以在单调递增，所以排除C；

故选：B.

7. 已知偶函数f (x)在区间 单调递增，则满足的 x 取值范围是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】由偶函数性质得函数在上的单调性，然后由单调性解不等式．

【详解】因为偶函数在区间上单调递增，

所以在区间上单调递减，故越靠近轴，函数值越小，

因为，

所以，解得：.

故选：A．

8. 已知函数在其定义域内为偶函数，且，则（    ）

A. 0 B. 2021 C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先由偶函数的性质求得，再由求得，由此得到的解析式，观察所求式子容易考虑的值，求之可解得结果.

【详解】因为是偶函数，所以，即，解得，

所以，

又因为，所以，解得，所以．

因为，

所以 ．

故选：D．

二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列函数是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】根据解析式一一判断函数的奇偶性，并判断函数的单调性，可得答案.

【详解】对于A，定义域为，不是偶函数，A错误；

对于B，满足 ,且，是偶函数，

在时，单调递增，B正确；

对于C, ,,，即不是偶函数，C错误；

对于D，为偶函数，时递增，递减，

故单调递增，D正确，

故选：BD.

10. 已知函数是上的减函数，则实数的值可以是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性，结合反比例函数与一次函数的单调性得到关于的不等式，从而得解.

【详解】由题意可知：在上单调递减，即；

上也单调递减，即；

又是上的减函数，则，

所以，解得，

显然，，，满足，不满足，故ABC正确，D错误.

故选：ABC.

11. 下列结论正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据基本不等式和对勾函数逐项分析判断.

【详解】对于A选项，若，则，因为（当且仅当时，等号成立），故A正确；

对于B选项，因为（当且仅当时，等号成立），所以B正确；

对于C选项，因为，

令，，

对，则，

，则，即，

∴函数在上单调递增，则，故C正确；

对于D选项，若，则，因为，所以（当且仅当时，等号成立），故D错误．

故选：ABC．

12. 两位同学解关于的方程，其中一个人写错了常数，得到的根为或，另一人写错了常数，得到的根为或，则下列是原方程的根的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】BD

【解析】

【分析】将原方程转化为()，由韦达定理可解得，，进而得方程为，解得的值，即可得原方程的根.

【详解】解：令，则方程即为：，

则一人写错了常数，得到的根为或，由两根之和得：，

另一人写错了常数，得到的根为或，由两根之积得：，

所以方程为，解得：或，即或，

解得：或.

故选：BD.

三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数的单调递减区间为___________．

【答案】

【解析】

【分析】先求出函数的定义域，然后再利用复合函数法可求得函数的单调递减区间.

【详解】由题意，函数是一个复合函数，外层函数是，内层函数是，

令解得或，即函数的定义域是，

由于外层函数是增函数，内层函数在上是减函数，在上是增函数，

故函数在上是减函数，在上是增函数，

综上知，函数的单调递减区间为．

故答案为：﹒

14. 若集合中只有一个元素，则_________.

【答案】0或1##1或0

【解析】

【分析】根据给定条件结合方程类型及其根的特征列式计算作答.

【详解】因集合中只有一个元素，

则当时，方程为，解得，即集合，则，

当时，由，解得，集合，则，

所以或.

故答案为：0或1

15. 已知函数.若关于的方程有6个不同的实数根，则的取值范围___________.

【答案】

【解析】

【分析】先由二次函数与反比例函数的性质作出的图像，构造，得到有三个实数根时的范围，从而将问题转化为在内有两个不等实根，从而利用二次函数零点的分布即可得解.

【详解】因为，

所以当时，开口向上，对称轴为，，两零点为；

当时，，则在上单调递减，零点为，且；

由此作出的图像如图，

.

令，则当时，有三个实数根，

因为有6个不同的实数根，

所以必须有两个不等实根，且，

令，则，即，

解得，即.

故答案为：.

16. 对于区间，若函数同时满足：①在上是单调函数；②函数，的值域是，则称区间为函数的“保值”区间．（1）写出函数的一个“保值”区间为_________；（2）若函数存在“保值”区间，则实数的取值范围为_________．

【答案】    ①. ##[0,0.5]    ②.

【解析】

【分析】（1）由条件可知在区间上是单调函数，根据值域判断出，由此得到从而求解出的值；

（2）设存在的“保值”区间为，考虑两种情况：，，根据单调性得到关于等式，然后根据二次函数的性质即得.

【详解】（1）因为，所以的值域为，

所以，所以在上单调递增，

所以，所以，又，

解得，

所以一个“保值”区间为；

（2）设保值区间为，若，则在上为增函数，

所以，即，为方程的2个不等实根，

设，则，

所以；

若，则在上为减函数，

所以有，两式相减：，

代入得：，

所以方程有2个不等实根，，

从而有，

解得得；

综上所述：．

故答案为：；.

四､解答题（本大题共6小题，共70分，每题都必需写出必要的演算过程）

17.

（1）化简；

（2）化简.

【答案】（1）17；    （2）109.

【解析】

【分析】(1)根据给定式子利用对数运算、对数换底公式及指数运算法则计算即得.

(2)化根式为分数指数幂，再利用指数运算法则直接计算即可作答.

【小问1详解】

=

.

【小问2详解】

=

==109.

18. 已知集合为函数的值域，集合，则

（1）求；

（2）若集合，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据二次函数的图像,可求得在时的值域,求得集合B即可求.

（2）由可知集合为集合的子集,根据集合的包含关系即可求得实数的取值范围.

【详解】（1）函数

,

二次函数对称轴为,开口向上

所以在内单调递增

所以在时的值域为,即

集合,

解得,即

所以

（2）由可知集合为集合的子集,

即

集合,

则 ,解得

综上,的取值范围为.

【点睛】本题考查了集合交集的基本运算,集合与集合的关系,分式不等式与二次函数的值域问题,综合性较强,属于基础题.

19. 设函数.

(1)若不等式的解集为，求的值；

(2)若，，，求的最小值.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】

【详解】试题分析：（1）由不等式f（x）＞0的解集（﹣1，3）．﹣1，3是方程f（x）=0的两根，由根与系数的关系可求a，b值；

（2）由f（1）=3，得到a+b=2，将所求变形为展开，整理为基本不等式的形式求最小值．

试题解析：

(1)由的解集是知是方程的两根.

由根与系数的关系可得，解得.

(2)得，

∵，，

∴

，

当且仅当时取得等号，

∴的最小值是.

点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.

20. 已知定义域为的函数 (且)是奇函数.

（1）求函数的值；

（2）若，求不等式对任意的恒成立时的取值范围.

【答案】（1）3；    （2）.

【解析】

【分析】(1)根据给定条件利用奇函数的定义计算得解.

(2)由(1)及可得，再探讨函数的单调性，借助单调性脱去法则“f”即可推理计算作答.

【小问1详解】

因是上的奇函数，则，即，

而，则有，解得，

所以.

【小问2详解】

由(1)知，(，且)，而，即，又，且，解得，

于是有在上单调递减，在上单调递增，因此，函数在上单调递减，

原不等式化为，于是得，

依题意，对恒成立，因此有，解得，

所以的取值范围为.

21. 新冠肺炎疫情发生以后，某口罩厂日夜加班生产，为抗击疫情做贡献.生产口罩的固定成本为200万元，每生产万箱，需另投入成本万元，当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，若每箱口罩售价100元，通过市场分析，该口罩厂生产的口罩可以全部销售完.

（1）求口罩销售利润（万元）关于产量（万箱）的函数关系式；

（2）当产量为多少万箱时，该口罩生产厂在生产中所获得利润最大？最大利润多少？

【答案】（1）；（2）90万箱，1800万元.

【解析】

【分析】

（1）根据当产量不足90万箱时，；当产量不小于90万箱时，，分和两种情况，利用销售收入减固定成本再减另投入成本，建立分段函数模型.

（2）当时，利用二次函数的性质求得最大值；当时，利用基本不等式求得最大值，然后从中取最大的即可.

【详解】解：（1）当时，；

当时，，

∴.

（2）①当时，，

②当时，，

当且仅当，即时，取得最大值，最大值为1800万元.

综上，当产量为90万箱时，该口罩生产厂在生产中获得利润最大，最大利润为1800万元.

【点睛】思路点睛：

求解给定函数模型的问题，一般根据给定函数模型列出函数解析式，结合函数的性质，或基本不等式求解即可.

22. 已知函数对任意实数x，，满足条件，且当时，.

（1）求证：是R上的递增函数；

（2）解不等式；

【答案】（1）见解析；（2）见解析.

【解析】

【分析】（1）直接设，根据时，，得到，即可得到结论；

（2）根据已知条件，将不等式转化为，根据条件求得，利用函数的单调性列出不等式，对的范围进行讨论求得不等式的解.

【详解】（1）证明：任取，且，则，

因时，，所以，

所以，

即，

所以，函数为R上的单调增函数.

（2）由可得，

即，

因为，

所以，所以，

因为，所以，所以，

所以即为，

因为函数为单调增函数，

所以不等式可以转化为，

即，

解得或，

所以当时，解得或，

当时，解得或，

所以当时，不等式的解集为，

当时，不等式的解集为.

【点睛】该题考查的是有关抽象函数的问题，涉及到的知识点有根据条件，利用函数单调性的定义证明抽象函数的单调性，利用函数的单调性求解不等式，属于难题.