专题04 恒成立与存在性求参（选填题6种考法）专练-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考）

这是一份专题04 恒成立与存在性求参（选填题6种考法）专练-2024届高三数学二轮复习《考法分类》专题训练（新高考），文件包含专题04恒成立与存在性求参选填题6种考法专练原卷版docx、专题04恒成立与存在性求参选填题6种考法专练解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共28页， 欢迎下载使用。

一．单选题
1．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）命题“”为假命题，则命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为命题“”为假命题，所以，对，恒成立，
当时，在上恒成立，所以满足条件，
当时，令，对称轴，且，所以，当时，恒成立，
当时，显然有不恒成立，
故对，恒成立时，，所以则命题成立的充分不必要条件是选项C.
故选：C.
2（2023·重庆·统考模拟预测）命题“”是真命题的一个必要不充分条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】若命题“”是真命题，则，
可知当时，取到最大值，解得，
所以命题“”是真命题等价于“”.
因为，故“”是“”的必要不充分条件，故A正确；
因为，故“”是“”的充要条件，故B错误；
因为，故“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
因为与不存在包含关系，故“”是“”的即不充分也不必要条件，故D错误；
故选：A.
3．（2023·江苏淮安·江苏省盱眙中学校考模拟预测）已知．若p为假命题，则a的取值范围为( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为p为假命题，所以，为真命题，
故当时，恒成立．
因为当时，的最小值为，
所以，即a的取值范围为．
故选：A.
4．（2023·四川绵阳·绵阳南山中学实验学校校考一模）若“，使成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若“，使成立”是假命题，则“，使成立”是真命题，即，；
令，则，则在上单增，，则.
故选：C.
5．（2023秋·广西河池·高三校考开学考试）若命题“，使得成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】命题“，使得成立”的否定为：，，
依题意，命题“，”为真命题，
当时，，而，
当且仅当，即时取等号，因此，
所以实数的取值范围是.
故选：D
6．（2022秋·河南洛阳·高三洛阳市第一高级中学校考阶段练习）已知函数，若存在，使得有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】若存在，使得有解，
由函数，即，即在有解，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，也为最大值，即，
所以，即实数a的取值范围是.
故选：C.
7．（2023·江西上饶·高三校联考阶段练习）已知向量、满足，与的夹角为，若存在实数，有解，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】对不等式两边同时平方，
得，即，
因为,
所以，
整理得有解，
所以得，
解得，又因为，所以，
故选:C.
8．（2023·全国·模拟预测）已知.若存在，使不等式有解，则实数m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
，
若存在，使不等式有解，
则问题转化为在上
因为，所以，
所以，
所以，
解得：或
即实数m的取值范围为：，
故选：B.
9．（2020·黑龙江绥化·统考模拟预测）已知函数，存在，使得不等式有解，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．C．1D．2
【答案】A
【解析】.
由，得，设，则，
当时，；当时，，从而在上递增，在上递减，∴，
当时，，即，
在上，，.递减；在上，，，递增，
，设，
∴，，∴在上递减，，∴m的最小值为0.
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）设函数（其中为自然对数的底数），若存在实数a使得恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】函数的定义域为，
由，得，所以，
令，
由题意知，函数和函数的图象，一个在直线上方，一个在直下方，等价于一个函数的最小值大于另一个函数的最大值，
由，得，
所以当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，没有最小值，
由，得，
当时，在上单调递增，
在上单调递减，
所以有最大值，无最小值，不合题意，
当时，在上单调递减，
在上单调递增，
所以，
所以即，
所以，即m的取值范围为．
故选：A．
11．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若存在，使得)恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】存在，使得恒成立，
是函数的最小值点，
若，当时，；当时，，此时不存在，使得，不合题意；
若，的对称轴为，函数在，上单调递增，；
在上，，则没有最小值，不符合题意；
若，的对称轴为，函数在，上；
函数在上，，要使存在，使得恒成立，
则，即，解得或，
又，，即实数的取值范围是，．
故选：A．
12．（2023·安徽滁州）若存在实数，对任意实数，使不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A．B．m＜1C．D．
【答案】D
【解析】由，得，
时，不等式不可能对恒成立，∴．
作函数和的图象，如图，
时，不等式对不可能恒成立，
在不全为0时，对，的图象是一条线段，这条线段只能是或在其下方（其中），线段的方程是，
要使得原命题成立，只要函数的图象在线段下方即可，即，，
当时，，∴．故选：D．
二、多选题
13．（2023·重庆九龙坡）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A．当时，B．函数有四个零点
C．若关于的方程有解，则实数的取值范围是D．对，恒成立
【答案】AD
【解析】对于A选项：当x＞0时，﹣x＜0，
所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣e﹣x（﹣x+2）＝e﹣x（x﹣2），故A正确；
对于B选项：当x＜0时，f（x）＝ex（x+2），令f（x）＝0⇒x＝﹣2，即小于0的零点只有1个，根据奇函数对称性可知大于0的零点也只有一个，
又因为f（x）是定义在R上的奇函数，故0也是函数f（x）的零点，于是函数f（x）的零点共有3个，故B不正确；
对于C选项：当x＜0时，f′（x）＝ex（x+3），
∴x＜﹣3时，f′（x）＜0，﹣3＜x＜0时，f′（x）＞0，
∴f（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递减，在（﹣3，0）上单调递增，
∴x＝﹣3时，f（x）取最小值﹣e﹣3，且x＜﹣3时，f（x）＜0，
﹣3＜x＜0时，f（x）＜2，即﹣e﹣3≤f（x）＜2；
当x＞0时，f′（x）＝e﹣x（3﹣x），
∴f（x）在（0，3）上单调递增，在（3，+∞）上单调递减，
x＝3时，f（x）取最大值e﹣3，且x＞3时，f（x）＞0，
0＜x＜3时，f（x）＞﹣2，∴﹣2＜f（x）≤e﹣3，且f（0）＝0，
∴﹣2＜f（x）＜2，∴f（x）的值域为（﹣2，2），故C不正确；
对于D选项：结合C的结论可知∴∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜4，故D正确．
故选：AD．
14．（2023·湖北武汉 ）定义在上的函数满足：，，则关于不等式的表述正确的为（ ）
A．解集为B．解集为
C．在上有解D．在上恒成立
【答案】AC
【解析】令，，则，
∵，
∴恒成立，即在上单调递增.
∵，
∴.
不等式可化为，等价于，
∴，即不等式式的解集为，
则在上有解，故选项AC正确.
故选：AC.
15．（2023·广东惠州）函数为定义在R上的奇函数，当时，，下列结论正确的有（ ）
A．当时，
B．函数有且仅有2个零点
C．若，则方程在上有解
D．，恒成立
【答案】AD
【解析】A．函数为定义在R上的奇函数，当时，，，A正确；
B．当时，，解得，时，，解得，又，所以有和0三个零点，B错误；
C．当时，，，当时，，递减，时，，递增，
∴时，极小值＝，
时，，，，
由是奇函数，∴时，极大值＝，，的值域是，若时，方程在时无解，C错误；
D．由C的讨论知，因此对任意的实数有，，∴，即．D正确．
故选：AD．
16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）若函数，则存在（其中，且），使下列式子对任意的恒成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABC
【解析】，当时，，则在上单调递增，又，
∴，∴A正确；此时，，则，
∴，∴B正确；
由，则
当时C式子成立，∴C正确；
若任意满足，则函数关于点对称，但是的唯一对称中心为，∴D错误，
故选：ABC
17．（2022·湖南岳阳·岳阳一中校考一模）已知函数，，若存在，使得对任意，恒成立，则下列结论正确的是（ ）
A．对任意，
B．存在，使得
C．存在，使得在上有且仅有1个零点
D．存在，使得在上单调递减
【答案】AD
【解析】，其中，，为锐角，
恒成立，则是的最大值，是其函数图象的一条对称轴，因此，A正确；
的周期是，因此是最小值点，B错；
，则时，，时，，
所以时，，，在上恒为0，有无数个零点，C错；
由的定义知其在上递减，在上递增，
所以当时，，D正确．
故选：AD．
三、填空题
18．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）若“使”为假命题，则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】因为“使”为假命题，
所以“，”为真命题，
其等价于在上恒成立，
又因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
而，所以，
所以，即实数的取值范围为.
故答案为：.
19．（2023·宁夏银川·校考模拟预测）若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】“，”是假命题，
则它的否定命题：“，”是真命题；
所以,，恒成立，所以，
即实数的取值范围是．
故答案为：．
20．（2023·陕西宝鸡·统考一模）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】命题“”的否定为：“，”.
因为原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.综上有故答案为：.
21．（2022秋·上海浦东新·高三上海市洋泾中学校考阶段练习）若存在，使得不等式有解，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设，
则，
当且仅当，即，即时，等号成立，
又，所以，显然存在.
所以，最小值为9.
要使不等式有解，只需要即可，即，去绝对值可得或，所以或.
故答案为：.
22．（2022秋·上海虹口·高三统考阶段练习）设，若存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，则a的取值范围是 .
【答案】
【解析】依题意，，由不等式有解知，，而，因此，
因存在唯一的m使得关于x的不等式组有解，
则当且仅当时，不等式组有解，且当时不等式组无解，
由有解得有解，于是得，解得，
由无解得无解，于是得，解得，因此，
所以a的取值范围是.故答案为：
23．（2022秋·广东汕头·高三金山中学校考阶段练习）已知，若存在常数，使恒成立，则的取值范围是 .
【答案】
【解析】使恒成立，则，
化简整理得，
由于存在常数，使恒成立，
可知，
因此，解得.
故答案为：
24．（2022秋·河南·高三校联考开学考试）已知数列的首项，且满足.若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则的最小值是 .
【答案】3
【解析】数列满足，且，即，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
以上各式相加，得
又，，
，，
若对于任意的正整数，存在，使得恒成立，则有，
的最小值是3.
故答案为：.
25．（2023·全国·高三专题练习）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ．
【答案】
【解析】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
26．（2022秋·天津南开·高三南开中学校考阶段练习）已知，函数若存在实数，使得恒成立，则的最大值是 ．
【答案】/0.625
【解析】由题意得：，①当，即时，；
②当，即时，，
当即时，；
当即时，，
当即时，；
③当时，，此时.
则当时，；
当时，，画出在的图象，
令，解得，此时相切，可得；
当时，；则，
即当时，，又，则；
当时，，又，则；
当时，，又，则；
综上可得，即的最大值是.
故答案为：.
27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若对任意，存在使得恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】根据题意可得只需即可，由题可知a为对数底数且或.当时，此时在各自定义域内都有意义，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递减，所以，，所以，即，可得；当时，由复合函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以，即，可得.综上：.
故答案为：.
28．（2023秋·江苏镇江·高三江苏省镇江中学校考阶段练习）已知，若存在，使不等式，对于恒成立，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【解析】时，不等式可化为，
因为存在使不等式恒成立，
所以只需，
设，，
则，，
所以在上为增函数，
所以，所以，，
所以整理可得，
设，
所以，令，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以，则在上单调递增，
所以，
所以，即实数的取值范围是
293．（2022春·安徽淮南·高三寿县第一中学校考阶段练习）对，存在实数使得不等式恒成立，则的取值范围为
【答案】
【解析】由题意可知，对，存在实数使得不等式恒成立，转化为在恒成立，
即，即可.
设，则.
令，即，解得，
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，取得极大值，也为函数的最大值，
.
设，则.
令，即，解得，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，，所以函数在上单调递减；
当时，取得极小值，也为函数的最小值，
.
即，解得
所以的取值范围为.
故答案为：
30．（2022·全国·高三专题练习）已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 .
【答案】6
【解析】由题意，
设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分，
当，即时，，；
当，即时，，；
若要对于任意，均成立，则即，所以b的最小值为6.
故答案为：6
31．（2022·全国·高三专题练习）定义在R上的函数，若存在实数x使不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【解析】因为存在实数x使不等式对任意恒成立，
所以，
而，则，
令，则，所以在上单调递增，且，
所以时，，即，故单调递减；时，，即，故单调递增；所以在处取得极小值也是最小值，故
，
因为不等式对任意恒成立，
时，不等式恒成立；
时，不等式等价于；令，则，故在上单调递增，故，所以，因此实数a的取值范围为.
故答案为：.
32．（2022·全国·高三专题练习）已知，存在实数，，使得恒成立，则的最大值与的最小值的积为 ．
【答案】
【解析】如图过点时，最大，即
与相切时，最小，即
故
故答案为：
33．（2023·全国·高三专题练习）若关于x的不等式，对任意的实数，总存在实数使不等式恒成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】，即，即恒成立.
即，设，则.
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，故，
故.
故答案为：.
34．（2022·全国·高三专题练习）存在使对任意的恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【解析】存在使对任意的恒成立，
则等价于等价于存在，，在的上方.
直线过定点，即定点在直线上，
设直线与相切于点，
，所以，
由得，
化简得，故.
构造函数，
则，
所以当时，，函数递减，
当时，，函数递增，
所以.所以的最小值为.
故答案为：
35．（2023·全国·高三专题练习）设数列满足，若存在常数，使得恒成立，则的最小值是 .
【答案】-2
【解析】由题意即可，
,
若,则且,即该数列单增，且,
此时若存在常数,使得恒成立，则必有.
若,则,该数列为常数列,即.
当时，显然有
综上所述,.
故答案为：