2023-2024学年广东省河源市龙川县第一中学高一上学期12月期中考试数学试题含答案

这是一份2023-2024学年广东省河源市龙川县第一中学高一上学期12月期中考试数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，应用题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合，，若，则实数（ ）
A．0B．1C．1或2D．2
【答案】D
【分析】利用集合的确定性和互异性，翻译集合相等这一条件即可.
【详解】由题意可知，解得
故选：D
2．已知幂函数的图象过点，则（ ）
A．B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】根据题意可得，求解即可.
【详解】因为幂函数的图象过点，所以，解得.
故选：C.
3．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据存在量词的否定式全称量词书写即可.
【详解】根据存在量词的否定式全称量词，
所以“”的否定式“”，
故选：D
4．下列在定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据函数特征逐一判断即可.
【详解】对于A，在和单调递减，不是定义域的减函数，故A错误；
对于B，定义域，又因为，所以在定义域内是奇函数，结合一次函数特征可知，为减函数，故B正确；
对于C，定义域，又因为，所以在定义域内是偶函数，故C错误；
对于D，定义域，为非奇非偶函数，故D错误.
故选：B
5．已知函数，则的值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】直接代入分段函数计算即可.
【详解】由已知，
.
故选：C.
6．若，则的最小值为（ ）
A．4B．5C．6D．8
【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为6，
故选：C
7．设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用的单调性判断a、b的大小，再把a、c分别与1比较，从而得到答案.
【详解】因为函数在上的增函数，且，
所以，即
又，所以，
所以.
故选：A.
【点睛】指、对数比较大小：
（1）结构相同的，构造函数，利用函数的单调性比较大小；
（2）结构不同的，寻找“中间桥梁”，通常与0、1比较.
8．若，下面有六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥.其中正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】举反例得到③⑤错误，利用不等式性质确定①②④⑥正确，得到答案.
【详解】对①：，，，故，正确；
对②：，，
，故，正确；
对③：取，，则，，，错误；
对④：，，，故，正确；
对⑤：取，，则，，，错误；
对⑥：要证，即，即，正确；
故选：D.
二、多选题
9．已知集合，则下列表示正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】利用元素与集合的关系计算即可.
【详解】易知，，，
令，
即B、C、D正确，A错误；
故选：BCD
10．下列函数中最小值为1的是（ ）
A．B．
C．D．，
【答案】BCD
【分析】分别求出函数的最小值即可得出答案.
【详解】对于A，函数的值域为，没有最小值，故A不符题意；
对于B，由，得函数的最小值为1，故B符合题意；
对于C，函数的最小值为1，故C符合题意；
对于D，函数在上单调递减，当时，，故D符合题意.
故选：BCD.
11．已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．的解集为
【答案】ABD
【分析】根据题意，由条件可得，即可判断ABC，将不等式化简可得，即可判断D.
【详解】因为不等式的解集为或，则，是方程的两根，则，解得，故A正确，C错误；
因为，故B正确；
不等式可以化简为，解得，故D正确；
故选：ABD
12．若函数在定义域内D内的某区间M是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数"，则下列说法正确的是（ ）
A．若则不存在区间M使为“弱增函数”
B．若则存在区间M使为“弱增函数”
C．若则为R上的“弱增函数’
D．若在区间上是“弱增函数”，则
【答案】ABD
【解析】A. ，不存在区间使其为减函数.
B.由双勾函数单调性可作出判断.
C. 由的奇偶性和单调性，可判断其在R上为增函数. 为偶函数，其在时为增函数，故在时为减函数，但不是R上的弱增函数
D.可结合二次函数和双勾函数单调性作出判断.
【详解】A. 在定义域内的任何区间上都是增函数，故不存在区间M使为“弱增函数”；
B. 在上为增函数，，易知它在上为减函数
故存在区间M使为“弱增函数”；
C. 为奇函数，且时，为增函数，故奇函数的对称性可知，为R上增函数；
为偶函数，其在时为增函数，故在时为减函数.故不是R上的弱增函数；
D. 若在区间上是“弱增函数”，则在上为增函数，故，故
又在上为减函数，则由双勾函数单调性可知，，则
综上有
故选：ABD
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
三、填空题
13．集合，则集合的子集的个数为 个.
【答案】4
【分析】利用，一个非空集合，如果有n个元素，其子集个数为个，即可求出结果.
【详解】由题知，集合有2个元素，故集合的子集的个数为个，
故答案为：.
14．求值： .
【答案】8
【分析】根据根式的运算可得解.
【详解】.
故答案为：8.
15．函数的定义域是 .
【答案】
【分析】根据分式中分母不为0，二次根式下大于等于0，及函数中，建立不等式组求解即可.
【详解】由题意可得，解得或.
所以函数的定义域是.
故答案为：
16．已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.则的解析式为 .
【答案】
【分析】根据奇函数的性质可求解.
【详解】因为定义域为R的函数是奇函数，所以，
当时，，所以，
又因为函数是奇函数，所以，
所以，
综上，函数的解析式为.
故答案为：.
四、解答题
17．已知全集，，
(1)求，；
(2)求，．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）（2）应用集合的交、并、补运算求对应集合即可.
【详解】（1）由，，则，；
（2）全集，则，，
所以，．
18．计算下列各式：
(1)；
(2)，其中，.
【答案】(1)
(2)
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】（1）由；
（2）由.
19．已知函数，（a为常数，且），若．
(1)求a的值；
(2)解不等式．
【答案】(1)3；
(2).
【分析】（1）由即得；
（2）利用指数函数的单调性即求.
【详解】（1）∵函数，，
∴，
∴.
（2）由（1）知，
由，得
∴，即，
∴的解集为.
20．已知集合,．
(1)若，求；
(2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由已知确定集合，再根据集合的并集运算即可；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，则B是A的真子集，列不等式求解，即可得实数a的取值范围．
【详解】（1）解：若，则，又
所以；
（2）解：，
因为“”是“”的必要不充分条件，所以B是A的真子集，
所以，解得，所以实数a的取值范围是．
五、应用题
21．佗城位于龙川县最南端，内有百岁街､越王井､赵伦故居､正相塔､越王庙､孔庙､考棚等旧址及古建筑，某开发商计划2024年在伦城景区开发新的游玩项目，全年需投入固定成本400万元，若该项目在2024年有万名游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为80元.
(1)求2024年该项目的利润（万元）关于游客数量（万人）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)当2024年游客数量为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)游客为40万人时利润最大，最大为370万.
【分析】（1）根据利润=销售额-成本，结合题目已知可得；
（2）根据一次函数和二次函数单调性，以及基本不等式即可求解.
【详解】（1）由题意可得，
，
即.
（2）当时，单调递增，所以；
当时，单调递增，；
当时，由基本不等式知，
当且仅当，即时，等号成立，故.
综上，游客为40万人时利润最大，最大为370万.
六、解答题
22．二次函数，且，
(1)求函数的解析式；
(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围；
(3)当时，求函数的最小值的解析式.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用题设条件中、，结合待定系数法，运算即可得解.
（2）利用二次函数的图象与性质分析运算即可得解.
（3）利用二次函数的图象与性质，分类讨论，运算即可得解.
【详解】（1）解：由题意，∵，∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，解得：，则，.
（2）解：由题意，关于的方程在上有解，
即在上有解，则，
∵，∴，则，
解得：，即实数的取值范围为.
（3）解：

如上图，函数的图象是以直线为对称轴，开口向上的抛物线，
当时，函数在上单调递增，则；
当即时，函数在上单调递减，则；
当即时，；
综上，.