新高考数学一轮复习讲义+分层练习 4.1《任意角、弧度制及任意角的三角函数》教案 (2份打包，原卷版+教师版)

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1.了解任意角的概念和弧度制的概念.
2.能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
(2)分类eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.
2.弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
3.任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
拓展：任意角的三角函数的定义(推广).
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0).
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦.
(3)几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.
eq \a\vs4\al([常用结论])
1.单位圆上任意一点可设为(cs θ，sin θ)(θ∈R).
2.若α∈(0,eq \f(π,2))，则sin α＜α＜tan α.
一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角.( )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( )
(3)不相等的角终边一定不相同.( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α＞1.( )
二、教材改编
1.若θ满足sin θ＜0，cs θ＞0，则θ的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.下列与eq \f(9π,4)的终边相同的角的表达式中正确的是( )
A.2kπ＋45°(k∈Z) B.k·360°＋eq \f(9,4)π(k∈Z)
C.k·360°﹣315°(k∈Z) D.kπ＋eq \f(5π,4)(k∈Z)
3.角﹣225°＝________弧度，这个角的终边落在第________象限.
4.设角θ的终边经过点P(4，﹣3)，那么2cs θ﹣sin θ＝________.
5.一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.
考点1 象限角及终边相同的角
1.表示区间角的三个步骤
(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.
(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的﹣360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间.
(3)起始、终止边界对应角α，β，再加上360°的整数倍，即得区间角集合.
2.象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
1.设集合M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°,k∈Z}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°,k∈Z}，那么( )
A.M＝N B.M⊆N C.N⊆M D.M∩N＝∅
2.设θ是第三象限角，且|cs eq \f(θ,2)|＝﹣cs eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
3.与﹣2 020°终边相同的最小正角是________.
4.终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合是________.
(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角.
(2)确定kα，eq \f(α,k)(k∈Z*)的终边位置的方法
先写出kα或eq \f(α,k)的范围，然后根据k的可能取值确定kα或eq \f(α,k)的终边所在位置.
考点2 扇形的弧长、面积公式
弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略
(1)明确弧度制下弧长及扇形面积公式，在使用公式时，要注意角的单位必须是弧度.
(2)分析题目已知哪些量、要求哪些量，然后灵活地运用弧长公式、扇形面积公式直接求解，或合理地利用圆心角所在三角形列方程(组)求解.
已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；
(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
1.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3) C.3 D.eq \r(3)
2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )
A.2 B.sin 2 C.eq \f(2,sin 1) D.2sin 1
3.已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100°，则该扇形的面积为________cm2.
考点3 三角函数的概念及应用
三角函数定义问题的常见类型及解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值：先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的某三角函数值，求角α终边上一点P的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值.
(3)三角函数值的符号及角的终边位置的判断.已知一角的三角函数值(sin α，cs α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角终边的位置，注意终边在坐标轴上的特殊情况.
三角函数定义的应用
(1)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点(eq \f(12,13),eq \f(5,13))和(﹣eq \f(3,5)，eq \f(4,5))，则sin(α＋β)＝( )
A.﹣eq \f(36,65) B.eq \f(48,65) C.﹣eq \f(3,13) D.eq \f(33,65)
(2)角α终边上一点P(4m，﹣3m)(m≠0)，则2sin α＋cs α＝________.
(3)角α的终边在直线y＝﹣eq \f(4,3)x，求sin α，cs α，tan α.
三角函数值的符号判断
(1)若tan α＞0，则( )
A.sin α＞0 B.cs α＞0 C.sin 2α＞0 D.cs 2α＞0
(2)若sin αtan α＜0，且eq \f(cs α,tan α)＜0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
判断三角函数值的符号，关键是确定角的终边所在的象限，然后结合三角函数值在各象限的符号确定所求三角函数值的符号，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况和三角函数的定义域.
三角函数线的应用
函数y＝eq \r(sin x－cs x)的定义域为________.
利用三角函数线比较大小或解三角不等式，通常采用数形结合的方法，一般来说sin x≥b，cs x≥a，只需作直线y＝b，x＝a与单位圆相交，连接原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的x的范围.
1.已知点P(tan α，cs α)在第三象限，则角α的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知角α的终边过点P(﹣8m，﹣6sin 30°)，且cs α＝﹣eq \f(4,5)，则m的值为( )
A.﹣eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C.﹣eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
3.若﹣eq \f(3π,4)＜α＜﹣eq \f(π,2)，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cs α，tan α的大小是( )
A.sin α＜tan α＜cs α B.cs α＜sin α＜tan α
C.sin α＜cs α＜tan α D.tan α＜sin α＜cs α
任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1.角﹣870°的终边所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为eq \r(2)，若α＝eq \f(π,4)，则点P的坐标为( )
A.(1，eq \r(2)) B.(eq \r(2)，1)
C.(eq \r(2)，eq \r(2)) D.(1，1)
3.已知角θ的终边经过点P(4，m)，且sin θ＝eq \f(3,5)，则m等于( )
A.﹣3 B.3 C.eq \f(16,3) D.±3
4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
5.sin 2·cs 3·tan 4的值( )
A.小于0 B.大于0 C.等于0 D.不存在
二、填空题
6.若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且﹣360°＜θ＜360°，则θ＝________.
7.已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________.
8.函数y＝eq \r(sin x－\f(\r(3),2))的定义域为________.
三、解答题
9.若角θ的终边过点P(﹣4a，3a)(a≠0).
(1)求sin θ＋cs θ的值；
(2)试判断cs(sin θ)·sin(cs θ)的符号.
10.已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号.
1.点P的坐标为(2，0)，射线OP顺时针旋转2 010°后与圆x2＋y2＝4相交于点Q，则点Q的坐标为( )
A.(﹣eq \r(2)，eq \r(2)) B.(﹣eq \r(3)，1)
C.(﹣1，eq \r(3)) D.(1，﹣eq \r(3))
2.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝eq \f(1,2)(弦×矢＋矢2)，弧田由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”指半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为eq \f(2π,3)，半径长为4的弧田(如图所示)，按照上述公式计算出弧田的面积为________.
3.已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是________.
4.已知eq \f(1,|sin α|)＝﹣eq \f(1,sin α)，且lg(cs α)有意义.
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点M(eq \f(3,5)，m)，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值.
1.已知sin α＞sin β，那么下列命题成立的是( )
A.若α，β是第一象限的角，则cs α＞cs β
B.若α，β是第二象限的角，则tan α＞tan β
C.若α，β是第三象限的角，则cs α＞cs β
D.若α，β是第四象限的角，则tan α＞tan β
2.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动.
(1)若点B的横坐标为﹣eq \f(4,5)，求tan α的值；
(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合；
(3)若α∈(0,eq \f(2π,3)]，请写出弓形AB的面积S与α的函数关系式.
角α的弧度数公式
|α|＝eq \f(l,r)(弧长用l表示)
角度与弧度的换算
①1°＝eq \f(π,180) rad；②1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°
弧长公式
弧长l＝|α|r
扇形面积公式
S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|r2