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专题强化训练一 椭圆的标准方程及其几何性质基础提升必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册）
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这是一份专题强化训练一 椭圆的标准方程及其几何性质基础提升必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第一册），共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2022·全国高三专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国高二课时练习）椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A．7B．5C．D．
3．（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为A，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高二课时练习）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国高二课时练习）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．－1
6．（2021·全国高二课时练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·浙江湖州·高二期中）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·威远中学校高二月考（理））已知椭圆的方程为，，分别为其左，右焦点，，两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为120°，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·四川省大竹中学高二月考（理））已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·山东菏泽市·高二期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·江苏）已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2021·江苏）已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·沙坪坝·重庆八中高二期中）已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．（2021·全国高二专题练习）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2021·全国高二单元测试）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
17．（2021·黑龙江鹤岗一中高二月考）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为4
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
18．（2021·湖南长沙·）已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为B．椭圆方程为
C．弦长D．
19．（2021·福建省厦门集美中学高二月考）如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线，对称
B．两个椭圆的离心率不相等
C．到，，，四点的距离之和为定值
D．曲线所围区域面积必小于36
20．（2021·全国高二专题练习）已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2B．面积的最大值为
C．直线的斜率为D．为钝角
21．（2021·湖北高二期中）已知椭圆：的左､右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的离心率不确定
C．的值受点，的位置影响D．的最小值为
三、填空题
22．（2020·保山第九中学（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．
23．（2021·江苏高二专题练习）已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.
24．（2021·黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
25．（2021·全国高二单元测试）已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则________．
26．（2020·徐汇·上海中学高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
27．（2020·河南高二月考（理））已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为_______.
28．（2020·江苏高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
四、解答题
29．（2021·全国高二课时练习）如图，椭圆C与x轴的两个交点分别为，，与y轴的两个交点分别为，．若四边形的面积为120，，求椭圆C的标准方程．
30．（2021·江苏省如东高级中学高二月考）已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A､B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的长.
31．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过做圆两条切线，切点分别为，求的值．
32．（2021·广州大学附属中学高二月考）已知椭圆C：过点，为椭圆的左右顶点，且直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.
33．（2021·河南高二期末（文））已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
34．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
35．（2020·江苏高二期中）已知椭圆的离心率是分别为椭圆的左右顶点，为上顶点，的面积为2，直线过点且与椭圆交于两点（异于）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积最大值；
（3）设直线与直线的斜率分别为求证: 为常数，并求出这个常数.
36．（2020·四川成都·石室中学高二期中（文））已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点.当的面积等于1时，求的方程.
37．（2021·江苏如皋·高二月考）已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.
（1）求点的轨迹.
（2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由
（3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围
38．（2021·全国高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标.
参考答案
1．D
方程表示焦点在y轴上的椭圆,
，解得.
故选：D.
2．A
【详解】
由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：A.
3．A
【详解】
由题可知，根据题意可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，，不妨设，如图，
由得，，
∴，
由可得，∴
∴解得
∴
∴，即，
∴.
故选：A.
4．A
【详解】
由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.
故选：A.
5．D
【详解】
设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，，四个不同的点，
则，，．
根据椭圆定义，得，
所以.
故选：D．
6．C
【详解】
由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：C.
7．C
【详解】
解：如图，
由，得△为直角三角形，则，
又，，
由，可得，
则，即，
，又，解得．
故选：C．
8．D
【详解】
设，又
由原点是的重心，得，
即，
又是椭圆上的点，
，
作差可得：，
即，即，
，
故选：D
9．D
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形，
所以直线经过坐标原点，
因为四边形的面积为，且直线是倾斜角为，
所以由四边形的面积公式，可得，
化简可得，所以，
所以，不妨令在轴上方，故，
所以，，
由椭圆的定义可得，所以．
故选：D
10．B
【详解】
解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，
所以，，从而有，
所以,，，
由题意，三角形的面积为1，
设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．
设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点重合，如图：
则点N为线段的中点，故N，
把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点之间，如图：
此时，点N在点和点之间，
由题意可得三角形的面积等于，即，
即，可得a，求得，
故有．
③若点M在点的左侧，
则，由点M的横坐标，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时b＞a＞0，所以 ．
两边开方可得 ，所以，化简可得，
故有．
综上，b的取值范围应是.
故选：B.
11．D
设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，
外层椭圆可设成 ，
设切线A C的方程为, 与联立得：
，由, 则,
同理可得,, 则,
因此．
故选：D.
12．D
【详解】
由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，
故选：D.
13．B
【详解】
依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
14．D
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
15．C
【详解】
因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，
则，因为，所以，所以，．
故选：C.
16．AD
【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；
由椭圆，可得，则，
因为，所以的取值范围是，
所以的周长为，其取值范围是，故B错误；
联立方程组，解得，，
又由，所以，
所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
联立方程组，解得，，
可得，所以，
又由，，可得，故D正确.
故选：AD.
17．BD
【详解】
对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．
对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B正确．
对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．
对于选项D，设，则点到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．
故选：BD．
18．BC
【详解】
因为的周长为8，所以，得，
因为过右焦点F2，所以，所以，
所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确；
设，
由得，解得，
，故C正确；
原点到直线的距离为，
所以，故D错误.
故选：BC.
19．AD
解：对于A，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故A正确；
对于B，椭圆的离心率，椭圆的离心率，所以，故B错误；
对于C，易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点，若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故C错误；
对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的左、右顶点分别为，所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36.
故选：AD
20．BC
【详解】
对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，
，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，
，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，
则，得，
，，D错误.
故选：BC.
21．AD
【详解】
解：设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以离心率，所以A正确，B错误；
因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；
设，由题意得，则有，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，，
，
所以，
所以D正确，
故选：AD.
22．
依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为
23．
【详解】
如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.
因为，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：.
24．
椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为．
25．3
【详解】
设，由椭圆的定义可得，
又由，可得，
可得，即，
所以的面积为，
又因为的面积为9，即，解得.
故答案为：
26．
【详解】
因为关于的对称点在椭圆上，
则，，
为正三角形，，
又，
所以轴，
设，则，
即，故答案为.
27．
解：由题意知，则，
又，∴，由椭圆的定义得，
又是腰长为4的等腰三角形，且点在第二象限，∴，，
过作于点，则，，
∴的面积为，
故答案为：.
28．
【详解】
在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，
即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．
29．
设椭圆的标准方程为，
则，，
，
即，①
又，②
由①②以及
解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
30．（1）；（2）.
（1）已知椭圆焦距为，短轴长为2，即，
结合a2=b2+c2，解得a=3，b=1，.
故C：.
（2）直线方程为：
直线与椭圆方程联立为
得，，
解得或.
不妨设，
所以.
31．（1）；（2）．
（1）设椭圆左焦点为，则，
又，则，
又，
则，
则，
故，
则椭圆方程为．
（2），则，
代入椭圆得，故，，
又过做圆两条切线，切点分别为，
则，
设，，
32．（1）；（2）.
【详解】
(1)依题意，，则，解得，
又，于是得，
所以椭圆C的方程为；
(2)由(1)可得，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
设点，
由消去y并整理得，
则，
于是得，
显然点P的坐标有：，，
而直线PQ方程为：y-yP=-m(x-xP)，
则，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以的得最小值.
33．（1）；（2）存在实数满足题意.
（1）设椭圆的标准方程为，因点，在椭圆上，
则有，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）显然点为椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y并整理得：，
设，，则，，
于是得，
而，则线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，则为线段的垂直平分线与轴的交点，
当时，，，则，
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，则有，于是得，
当直线的斜率不存在时，，取或能满足，
综上所述，存在实数满足题意.
34．（1）；（2）直线恒过定点.
【详解】
（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①，
若B在椭圆上，则②，
由①②可得，不存在，
所以D在椭圆上，可得③，
由①③可得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，设E上的点为：，对应的点，由题意可得，，
所以，，
所以E的方程，
设，，，
，
所以直线的方程为：，直线的方程，
联立直线与椭圆的方程整理可得，所以，，即，
联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，所以，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
整理可得，当，.
所以直线恒过定点．
35．
（1）设椭圆的焦距为（），则
，
所以，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线l：交椭圆于，，
联立，化简得，
由根与系数关系得
所以，
令，，
故，
当，单调递增，
故时，最大值为；
（3）因为，
由第（2）问知，即
将其代入上式
得为常数，即证.
36．（1）；（2）.
【详解】
（1）设椭圆的右焦点，
因为直线的斜率为，
所以，解得.
又椭圆的离心率为，
∴，可得.
故的方程为：.
（2）依题意当轴不合题意，故设直线，
设，
将代入椭圆的方程：，
得，
当，即.
，
从而，
又点到直线的距离.
所以的面积.
设，则，可得，解得，
即可得，满足，故符合题意.
直线的方程为：.
37．（1）；（2）过定点，定点为；（3）.
解：（1）、动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，化简得：，即点的轨迹为；
（2）、由已知得：直线的斜率存在，设，联立得：，
设，则由韦达定理得：，
因为,则直线，则直线，
延长线交直线于两点，，，则，，
由得，代入化简得：，解得或
当时，直线，直线经过直线,不成立.
当时，直线，检验满足，故经过定点；
（3）、由（2）得，
将，代入化简得：，
又，所以，即，故.
38．（1）；（2）最小值为；（3）或.
（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，，.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，，
则，，
，
在时取等号.
所以的最小值为.
（3）因为椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，则，，，
所以直线.
设，因为，
所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由，得，此方程无解；
由，得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或
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1．（2022·全国高三专题练习）已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2021·全国高二课时练习）椭圆的焦点为，，点P在椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（ ）
A．7B．5C．D．
3．（2021·湖北省直辖县级单位·高二月考）已知，是椭圆：的两个焦点，左顶点为A，过点的直线交椭圆于，两点，若则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·全国高二课时练习）直线x－y＋1＝0被椭圆＋y2＝1所截得的弦长|AB|等于（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·全国高二课时练习）以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．－1
6．（2021·全国高二课时练习）阿基米德既是古希腊著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆的中心为原点，焦点、在轴上，椭圆的面积为，且离心率为，则的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知点P在椭圆上，点分别为点C的左､右焦点，并满足，，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·浙江湖州·高二期中）已知点是椭圆上的三点，坐标原点是的重心，若点，直线的斜率恒为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2021·威远中学校高二月考（理））已知椭圆的方程为，，分别为其左，右焦点，，两点在椭圆上，且满足，若直线的倾斜角为120°，且四边形的面积为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·四川省大竹中学高二月考（理））已知点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，直线将三角形分割为面积相等两部分，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
11．（2021·山东菏泽市·高二期末）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点和短轴一端点分别向内层椭圆引切线，，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
12．（2021·江苏）已知△的顶点､在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则△的周长为（ ）
A．B．
C．D．
13．（2021·江苏）已知､是椭圆：()的两个焦点，为椭圆上的一点，且.若的面积为，则（ ）
A．B．C．D．
14．（2021·沙坪坝·重庆八中高二期中）已知，是椭圆的左右焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A．4B．3C．2D．1
15．（2021·全国高二专题练习）曲率半径可用来描述曲线上某点处的弯曲变化程度，曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小.已知椭圆：（）上点处的曲率半径公式为．若椭圆上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
16．（2021·全国高二单元测试）设椭圆的右焦点为，直线与椭圆交于，两点（在轴左侧），则（ ）
A．为定值
B．的周长的取值范围是
C．当时，为直角三角形
D．当时，的面积为
17．（2021·黑龙江鹤岗一中高二月考）（多选）椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，则（ ）
A．过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为4
B．椭圆上存在点，使得
C．椭圆的离心率为
D．为椭圆上一点，为圆上一点，则点，的最大距离为3
18．（2021·湖南长沙·）已知椭圆C：（）的左、右焦点为F1，F2，O为坐标原点，直线过F2交C于A，B两点，若△AF1B的周长为8，则（ ）
A．椭圆焦距为B．椭圆方程为
C．弦长D．
19．（2021·福建省厦门集美中学高二月考）如图所示，两个椭圆，，内部重叠区域的边界记为曲线，是曲线上的任意一点，下列说法正确的是（ ）
A．曲线关于直线，对称
B．两个椭圆的离心率不相等
C．到，，，四点的距离之和为定值
D．曲线所围区域面积必小于36
20．（2021·全国高二专题练习）已知为椭圆：的左焦点，直线：与椭圆交于，两点，轴，垂足为，与椭圆的另一个交点为，则（ ）
A．的最小值为2B．面积的最大值为
C．直线的斜率为D．为钝角
21．（2021·湖北高二期中）已知椭圆：的左､右端点分别为，，点，是椭圆上关于原点对称的两点(异于左右端点)，且，则下列说法正确的有（ ）
A．椭圆的离心率为B．椭圆的离心率不确定
C．的值受点，的位置影响D．的最小值为
三、填空题
22．（2020·保山第九中学（理））在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点，在轴上，离心率为，过作直线交于两点，且的周长为，那么的方程为__________．
23．（2021·江苏高二专题练习）已知､是椭圆的左，右焦点，点为上一点，为坐标原点，为正三角形，则的离心率为__________.
24．（2021·黄梅国际育才高级中学高二月考）设是椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点，若，则的大小_____.
25．（2021·全国高二单元测试）已知F1，F2是椭圆C：的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且，若的面积为9，则________．
26．（2020·徐汇·上海中学高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
27．（2020·河南高二月考（理））已知，分别为椭圆的左、右焦点，且离心率，点是椭圆上位于第二象限内的一点，若是腰长为4的等腰三角形，则的面积为_______.
28．（2020·江苏高二期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________．
四、解答题
29．（2021·全国高二课时练习）如图，椭圆C与x轴的两个交点分别为，，与y轴的两个交点分别为，．若四边形的面积为120，，求椭圆C的标准方程．
30．（2021·江苏省如东高级中学高二月考）已知椭圆的焦距为，短轴长为2，过点且斜率为1的直线与椭圆C交于A､B两点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求弦AB的长.
31．（2021·九龙坡·重庆市育才中学高二月考）已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（一象限部分）上一点，为中点，，面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过做圆两条切线，切点分别为，求的值．
32．（2021·广州大学附属中学高二月考）已知椭圆C：过点，为椭圆的左右顶点，且直线的斜率的乘积为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F的直线与椭圆C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线交直线于点P，交直线于点Q，求的最小值.
33．（2021·河南高二期末（文））已知以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴的椭圆经过点，．
（1）求椭圆的标准方程．
（2）设过点的直线与交于，两点，点在轴上，且，是否存在常数使？如果存在，请求出；如果不存在，请说明理由．
34．（2021·黑龙江哈尔滨三中高二月考）已知椭圆T：经过以下四个不同点中的某三个点：，，，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，得到椭圆E．已知M，N两点的坐标分别为，，点F是直线上的一个动点，且直线，分别交椭圆E于G，H（G，H分别异于M，N点）两点，试判断直线是否恒过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
35．（2020·江苏高二期中）已知椭圆的离心率是分别为椭圆的左右顶点，为上顶点，的面积为2，直线过点且与椭圆交于两点（异于）.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求的面积最大值；
（3）设直线与直线的斜率分别为求证: 为常数，并求出这个常数.
36．（2020·四川成都·石室中学高二期中（文））已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.
（1）求的方程；
（2）设过点的动直线与相交于，两点.当的面积等于1时，求的方程.
37．（2021·江苏如皋·高二月考）已知动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数.
（1）求点的轨迹.
（2）若为轨迹与轴左侧的交点，直线交轨迹于两点不与重合，连接，并延长交直线于两点，且，问：直线是否经过定点？若是，请求出该定点；若不是，试说明理由
（3）在（2）的条件下，若直线斜率的取值范围是，求面积的取值范围
38．（2021·全国高二单元测试）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点.
（1）求的周长；
（2）在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值；
（3）设点在椭圆上，记与的面积分别为，，若，求点的坐标.
参考答案
1．D
方程表示焦点在y轴上的椭圆,
，解得.
故选：D.
2．A
【详解】
由＝1可知，，
所以，
所以F1(－3，0)，F2(3，0)，
∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点，
所以，所以轴，
∴可设P(3，b)，
把P(3，b)代入椭圆＝1，得.
∴|PF1|＝，|PF2|＝.
∴.
故选：A.
3．A
【详解】
由题可知，根据题意可知直线的斜率不为0，可设直线方程为，，不妨设，如图，
由得，，
∴，
由可得，∴
∴解得
∴
∴，即，
∴.
故选：A.
4．A
【详解】
由得交点为(0,1)，，则|AB|＝＝.
故选：A.
5．D
【详解】
设椭圆的两个焦点为，，圆与椭圆交于，，，四个不同的点，
则，，．
根据椭圆定义，得，
所以.
故选：D．
6．C
【详解】
由题意可知，椭圆的面积为，且、、均为正数，
即，解得，
因为椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为.
故选：C.
7．C
【详解】
解：如图，
由，得△为直角三角形，则，
又，，
由，可得，
则，即，
，又，解得．
故选：C．
8．D
【详解】
设，又
由原点是的重心，得，
即，
又是椭圆上的点，
，
作差可得：，
即，即，
，
故选：D
9．D
【详解】
因为，所以四边形为平行四边形，
所以直线经过坐标原点，
因为四边形的面积为，且直线是倾斜角为，
所以由四边形的面积公式，可得，
化简可得，所以，
所以，不妨令在轴上方，故，
所以，，
由椭圆的定义可得，所以．
故选：D
10．B
【详解】
解：因为点是椭圆的上顶点，分别是椭圆左右焦点，
所以，，从而有，
所以,，，
由题意，三角形的面积为1，
设直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的交点为，由直线y＝ax+b（a＞0）将三角形分割为面积相等的两部分，可得，所以，故点M在射线上．
设直线y＝ax+b和的交点为N，则由可得点N的坐标为．
①若点M和点重合，如图：
则点N为线段的中点，故N，
把、N两点的坐标代入直线y＝ax+b，求得a＝b．
②若点M在点O和点之间，如图：
此时，点N在点和点之间，
由题意可得三角形的面积等于，即，
即，可得a，求得，
故有．
③若点M在点的左侧，
则，由点M的横坐标，求得b＞a．
设直线y＝ax+b和的交点为P，则由求得点P的坐标为，
此时，由题意可得，三角形APN的面积等于，即，
即，化简可得．
由于此时b＞a＞0，所以 ．
两边开方可得 ，所以，化简可得，
故有．
综上，b的取值范围应是.
故选：B.
11．D
设内层椭圆方程为,因为内外椭圆离心率相同，
外层椭圆可设成 ，
设切线A C的方程为, 与联立得：
，由, 则,
同理可得,, 则,
因此．
故选：D.
12．D
【详解】
由椭圆方程知：，又，，
∴△的周长为，
故选：D.
13．B
【详解】
依题意有，所以
又，，所以，
又，可得，
即，则，
故选：B.
14．D
是焦点为、的椭圆上一点，
的外角平分线，，
设的延长线交的延长线于点，
，
，，
由题意知是的中位线，
，
点的轨迹是以为圆心，以5为半径的圆，
当点与轴重合时，
与短轴端点取最近距离，
故选：D．
15．C
【详解】
因为曲率半径越大则曲线在该点处的弯曲程度越小，
故椭圆在处曲率半径最小，则，而椭圆在处曲率半径最大，
则，因为，所以，所以，．
故选：C.
16．AD
【详解】
如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，
根据椭圆的对称性知，所以，故A正确；
由椭圆，可得，则，
因为，所以的取值范围是，
所以的周长为，其取值范围是，故B错误；
联立方程组，解得，，
又由，所以，
所以为钝角，则为钝角三角形，故C错误；
联立方程组，解得，，
可得，所以，
又由，，可得，故D正确.
故选：AD.
17．BD
【详解】
对于选项A，由椭圆定义，可得，因此的周长为，故A错误．
对于选项B，设，则，且．又，，所以，，因此，解得，故B正确．
对于选项C，因为，，所以=，即，所以离心率，故C错误．
对于选项D，设，则点到圆的圆心的距离为．因为，所以，故D正确．
故选：BD．
18．BC
【详解】
因为的周长为8，所以，得，
因为过右焦点F2，所以，所以，
所以椭圆焦距为，故A错误；所以椭圆方程为，故B正确；
设，
由得，解得，
，故C正确；
原点到直线的距离为，
所以，故D错误.
故选：BC.
19．AD
解：对于A，两个椭圆关于直线均对称，则曲线关于直线均对称，故A正确；
对于B，椭圆的离心率，椭圆的离心率，所以，故B错误；
对于C，易知分别为椭圆的两个焦点，分别为椭圆的两个焦点，若不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故C错误；
对于D，易得椭圆的上、下顶点分别为，椭圆的左、右顶点分别为，所以曲线所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36.
故选：AD
20．BC
【详解】
对于A，设椭圆的右焦点为，连接，，
则四边形为平行四边形，
，
，
当且仅当时等号成立，A错误；
对于B，由得，
，
的面积，
当且仅当时等号成立，B正确；
对于C，设，则，，
故直线的斜率，C正确；
对于D，设，直线的斜率额为，直线的斜率为，
则，
又点和点在椭圆上，①，②，
①②得，易知，
则，得，
，，D错误.
故选：BC.
21．AD
【详解】
解：设，则，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以离心率，所以A正确，B错误；
因为点，是椭圆上关于原点对称的两点，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为，所以，不受，位置影响，所以C错误；
设，由题意得，则有，
所以，
当且仅当时取等号，即当时，即当点为短轴的端点时最大，此时最小，，
，
所以，
所以D正确，
故选：AD.
22．
依题意：4a＝16，即a＝4，又e＝＝，∴c＝，∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为
23．
【详解】
如图，因为为正三角形，所以，所以是直角三角形.
因为，，所以，
所以，所以，
因为，所以，
即，所以.
故答案为：.
24．
椭圆，
可得，设，，
可得，
化简可得：，
，故答案为．
25．3
【详解】
设，由椭圆的定义可得，
又由，可得，
可得，即，
所以的面积为，
又因为的面积为9，即，解得.
故答案为：
26．
【详解】
因为关于的对称点在椭圆上，
则，，
为正三角形，，
又，
所以轴，
设，则，
即，故答案为.
27．
解：由题意知，则，
又，∴，由椭圆的定义得，
又是腰长为4的等腰三角形，且点在第二象限，∴，，
过作于点，则，，
∴的面积为，
故答案为：.
28．
【详解】
在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：，
即：a|PF1|=|cPF2|
设点（x0，y0）由焦点半径公式，
得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0）
解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a
整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1），
故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)．
29．
设椭圆的标准方程为，
则，，
，
即，①
又，②
由①②以及
解得，，
所以椭圆C的标准方程为.
30．（1）；（2）.
（1）已知椭圆焦距为，短轴长为2，即，
结合a2=b2+c2，解得a=3，b=1，.
故C：.
（2）直线方程为：
直线与椭圆方程联立为
得，，
解得或.
不妨设，
所以.
31．（1）；（2）．
（1）设椭圆左焦点为，则，
又，则，
又，
则，
则，
故，
则椭圆方程为．
（2），则，
代入椭圆得，故，，
又过做圆两条切线，切点分别为，
则，
设，，
32．（1）；（2）.
【详解】
(1)依题意，，则，解得，
又，于是得，
所以椭圆C的方程为；
(2)由(1)可得，显然直线不垂直于y轴，设其方程为，
设点，
由消去y并整理得，
则，
于是得，
显然点P的坐标有：，，
而直线PQ方程为：y-yP=-m(x-xP)，
则，
，
当且仅当，即时取“=”，
所以的得最小值.
33．（1）；（2）存在实数满足题意.
（1）设椭圆的标准方程为，因点，在椭圆上，
则有，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）显然点为椭圆的右焦点，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由消去y并整理得：，
设，，则，，
于是得，
而，则线段的中点坐标为，
因为点在轴上，且，则为线段的垂直平分线与轴的交点，
当时，，，则，
当时，线段的垂直平分线方程为，
令，得，即，则有，于是得，
当直线的斜率不存在时，，取或能满足，
综上所述，存在实数满足题意.
34．（1）；（2）直线恒过定点.
【详解】
（1）由题意可得A，C一定在椭圆上，即①，
若B在椭圆上，则②，
由①②可得，不存在，
所以D在椭圆上，可得③，
由①③可得，，
所以椭圆的方程为：；
（2）将椭圆T上所有点的纵坐标缩短为原来的倍，横坐标不变，设E上的点为：，对应的点，由题意可得，，
所以，，
所以E的方程，
设，，，
，
所以直线的方程为：，直线的方程，
联立直线与椭圆的方程整理可得，所以，，即，
联立直线NF与椭圆的方程：整理可得，所以，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，
整理可得，当，.
所以直线恒过定点．
35．
（1）设椭圆的焦距为（），则
，
所以，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）设直线l：交椭圆于，，
联立，化简得，
由根与系数关系得
所以，
令，，
故，
当，单调递增，
故时，最大值为；
（3）因为，
由第（2）问知，即
将其代入上式
得为常数，即证.
36．（1）；（2）.
【详解】
（1）设椭圆的右焦点，
因为直线的斜率为，
所以，解得.
又椭圆的离心率为，
∴，可得.
故的方程为：.
（2）依题意当轴不合题意，故设直线，
设，
将代入椭圆的方程：，
得，
当，即.
，
从而，
又点到直线的距离.
所以的面积.
设，则，可得，解得，
即可得，满足，故符合题意.
直线的方程为：.
37．（1）；（2）过定点，定点为；（3）.
解：（1）、动点到定点的距离和到直线的距离的比是常数，化简得：，即点的轨迹为；
（2）、由已知得：直线的斜率存在，设，联立得：，
设，则由韦达定理得：，
因为,则直线，则直线，
延长线交直线于两点，，，则，，
由得，代入化简得：，解得或
当时，直线，直线经过直线,不成立.
当时，直线，检验满足，故经过定点；
（3）、由（2）得，
将，代入化简得：，
又，所以，即，故.
38．（1）；（2）最小值为；（3）或.
（1）设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，
则，，.
所以的周长为.
（2）椭圆的右准线为.
设，，
则，，
，
在时取等号.
所以的最小值为.
（3）因为椭圆的左､右焦点分别为，，点在椭圆上且在第一象限内，，则，，，
所以直线.
设，因为，
所以点到直线距离等于点到直线距离的3倍.
由此得，
则或.
由，得，此方程无解；
由，得，所以或.
代入直线，对应分别得或.
因此点的坐标为或
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