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专题强化训练四 等比数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册）
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这是一份专题强化训练四 等比数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题-高二数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破（人教A版2019选择性必修第二册），共24页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题强化训练四：等比数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
2．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
3．（2021·全国·高二课时练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为.
A．24里B．12里C．6里.D．3里
4．（2020·全国·高二课时练习）数列中，，，则（ ）
A．32B．62C．63D．64
5．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则
A．B．C．D．
6．（2020·广东·卓雅外国语学校高二月考）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国·高二课时练习）设是数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
8．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．10D．15
9．（2021·全国·高二课时练习）数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国·高二单元测试）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为
A．B．C．D．或
11．（2021·全国·高二单元测试）设数列满足，，则数列的通项公式为（ ）．
A．B．
C．D．
12．（2021·全国·高二单元测试）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为
A．B．C．2D．3
二、多选题
13．（2021·江苏·高二单元测试）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
14．（2021·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
15．（2021·辽宁锦州·高二期末）已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·河北·正定中学高二期末）若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．
C．数列的前项和为D．数列的前项和为，则
17．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）设数列前项和，且，，则（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．
18．（2021·全国·高二课时练习）将个数排成行列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
19．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
20．（2021·全国·高二课时练习）记为数列的前项和，若，则_____________．
21．（2018·陕西·宝鸡市烽火中学高二期中）等比数列的各项均为正数，且，则_____.
22．（2019·云南省玉溪第一中学高二月考（文））设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．
23．（2021·全国·高二单元测试）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的颜率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为_____________.
24．（2021·全国·高二课时练习）设，，，，则数列的通项公式=___________．
四、解答题
25．（2021·全国·高二课时练习）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
26．（2021·全国·高二课时练习）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
27．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
28．（2021·全国·高二课时练习）数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，证明：.
29．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记，求证：数列的前项和.
30．（2021·甘肃·西北师大附中高二期中（理））已知数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
31．（2021·浙江·高二课时练习）已知数列的前项和为，且，，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.
32．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）已知在每一项均不为0的数列中，，且（、为常数，），记数列的前项和为.
（1）当时，求；
（2）当、时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
2．D
【分析】
根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
3．C
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【详解】
解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选C．
4．C
【分析】
把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】
数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
5．C
【详解】
试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．
6．B
【分析】
根据等比数列下标和性质，求得，再结合对数运算，即可求得结果.
【详解】
由等比数列的性质可得：，所以.
.
则，
故选：B.
7．B
【分析】
推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.
【详解】
在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.
8．C
解：因为等比数列的各项均为正数，且
所以
.
故选：C．
9．B
【详解】
∵a1+a2+a3+…+an＝3n﹣1，①，∴a1+a2+a3+…+an+1＝3n+1﹣1，②
②﹣①得：an+1＝3n+1﹣3n＝2×3n，∴an＝2×3n﹣1.
当n＝1时，a1＝31﹣1＝2，符合上式，∴an＝2×3n﹣1．
∴，∴是以4为首项，9为公比的等比数列，
∴a12+a22+a32+…+an2=．
故选B．
10．D
【分析】
利用等比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.
【详解】
由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，
所以，解得，，，
则数列为等差数列，，
，，
因此，当或时，取最大值，故选D.
11．B
【分析】
利用累加法可求得结果.
【详解】
，
所以当时，，，，，
将上式累加得：，
，即，
又时，也适合，
．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.
12．D
【分析】
先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.
【详解】
设等比数列公比为
当时，，不符合题意，
当时，，
得，又，
由，得，
，故选D.
13．AD
【分析】
由已知可得，结合等比数列的定义可判断A；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断B；由可判断C；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.
【详解】
因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．
当时，，但，故B错误；
由可得，即，故C错；
因为，所以
所以数列的前项和为，故D正确．
故选:AD．
14．BD
【分析】
由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.
【详解】
由得，所以是以为首项，2为公比的
等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；
因为，，所以
，故，
故C错误；因为，所以的前项和，
故D正确.
故选：BD
15．ABC
【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出范围；求出数列的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.
【详解】
因为数列为递增数列，
所以，
所以，即，
又，即，
所以，即，故A正确；
因为为递增数列，
所以，
所以，即，
又，即，
所以，即，故B正确；
的前2n项和为
= ，
因为，则，所以，
则的2n项和为
=
，
当n=1时，，所以，故D错误；
当时
假设当n=k时，，即，
则当n=k+1时，
所以对于任意，都有，即，故C正确
故选：ABC
16．BD
【分析】
根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.
【详解】
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：，
又，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，，数列的前项和为，
则，
所以，
所以 ，
故选：BD
17．BCD
【详解】
对任意的，.
当时，，可得；
当时，由可得，
上述两式作差得，可得，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，A选项错误，B选项正确；
，所以，，C选项正确；
，，
所以，，
D选项正确.
故选：BCD.
18．ACD
【分析】
根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案.
【详解】
由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
可得，，所以，
解得或（舍去），所以选项A是正确的；
又由，所以选项B不正确；
又由，所以选项C是正确的；
又由这个数的和为，
则
，所以选项D是正确的，
故选ACD.
19．.
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
20．
【分析】
首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
【详解】
根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
21．.
【详解】
试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，
，
．
考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．
22．
【详解】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
23．
【分析】
设第个单音的频率为，根据题意可知数列为等比数列，由题意可知该等比数列的公比和首项的值，由此可计算出第八个单音的频率.
【详解】
设第个单音的频率为，根据题意可知数列为等比数列，且公比为，首项为，
所以，第八个单音的频率为.
故答案为：.
24．
【详解】
由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．
25．（1）或 .
（2）.
【详解】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
26．（1）见解析；（2），．
【分析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
27．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
28．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）当时，.检验，当时符合，即可得解；
（2）当时，根据，即可得证；
（3）利用错位相减法可得：，即可得证.
【详解】
（1）当时，.
当时，.
检验，当时符合.
所以.
（2）当时，，
而，
所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3.
（3）由（1）（2）得，
，
所以
①
②
由①-②得
，
所以.
因为，
所以.
29．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)由得,作差得,进而得,故数列是等比数列；
（2）由（1）得，故，再根据裂项求和证明即可.
【详解】
解：（1）因为①，
所以②
由①②得，.
两边同时加1得，
所以，故数列是公比为2的等比数列.
（2）令，，则.
由，得.
因为，
所以
.
因为，所以
所以.
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
30．（1）；（2）.
【分析】
（1）将，变形为，再利用等比数列的定义求解.
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求得，将不等式对一切恒成立，转化为，对一切恒成立，分为偶数和奇数讨论求解.
【详解】
（1）由，
得，
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
所以，即.
（2）
,
，
两式相减得:
，
∴，
因为不等式对一切恒成立，
所以，对一切恒成立，
因为单调递增，
若为偶数，则，对一切恒成立，∴；
若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴
综上：.
31．（1），；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据得出，然后两式相减，得出，再根据即可得出，最后根据题意得出，通过累加法即可求出；
（2）本题首先可根据得出，然后通过裂项相消法求出数列的前项和，再然后将对任意恒成立转化为，最后令，，取，即可求出的最大值以及取值范围.
【详解】
（1）因为，，所以，
则，即，，
因为，，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，
因为，所以，即，
则
.
（2），
令，
则
，
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
即，
令，，
则，当时，即当时取到最小值，
故，实数的取值范围为.
32．（1）；（2）①证明见解析；②存在，2.
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出，然后根据得出数列是首项为、公比为的等比数列，最后通过等比数列前项和公式即可得出结果；
（2）①本题首先可根据题意得出，通过转化得出以及，然后通过判断得出，最后通过以及即可证得；
②本题首先可根据①得出以及，然后通过计算得出，最后通过放缩法以及等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，
因为，所以，数列是首项为、公比为的等比数列，
当时，；当时，，
故.
（2）①证明：当，时，，
则，，
若存在且，使得，
则，这与矛盾，
故，，
则，
因为，
所以数列是首项为、公比为2的等比数列.
②因为数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，，，，
因为，
所以，即，
当时，，
则
（当且仅当时取“”），
故，
因为，
所以存在且的最小值为2.
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专题强化训练四：等比数列性质和求和常考重难点强化精选必刷题
一、单选题
1．（2021·全国·高二课时练习）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16B．8C．4D．2
2．（2021·西藏·拉萨中学高二月考）设是等比数列，且，，则（ ）
A．12B．24C．30D．32
3．（2021·全国·高二课时练习）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人最后一天走的路程为.
A．24里B．12里C．6里.D．3里
4．（2020·全国·高二课时练习）数列中，，，则（ ）
A．32B．62C．63D．64
5．（2021·全国·高二课时练习）已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则
A．B．C．D．
6．（2020·广东·卓雅外国语学校高二月考）等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．D．
7．（2021·全国·高二课时练习）设是数列的前项和，若，，则
A．B．C．D．
8．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）已知等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．B．C．10D．15
9．（2021·全国·高二课时练习）数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1+a2+a3+…+an=3n﹣1，则a12+a22+a32+…+an2等于（ ）
A．B．C．D．
10．（2021·全国·高二单元测试）在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为
A．B．C．D．或
11．（2021·全国·高二单元测试）设数列满足，，则数列的通项公式为（ ）．
A．B．
C．D．
12．（2021·全国·高二单元测试）已知是等比数列的前项和，若存在，满足，，则数列的公比为
A．B．C．2D．3
二、多选题
13．（2021·江苏·高二单元测试）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（ ）
A．数列为等比数列
B．数列的通项公式为
C．数列为等比数列
D．数列的前项和为
14．（2021·全国·高二单元测试）已知数列的首项为4，且满足，则（ ）
A．为等差数列
B．为递增数列
C．的前项和
D．的前项和
15．（2021·辽宁锦州·高二期末）已知数列均为递增数列，的前n项和为的前n项和为且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
16．（2021·河北·正定中学高二期末）若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（ ）
A．数列是等差数列B．
C．数列的前项和为D．数列的前项和为，则
17．（2021·河北省唐县第一中学高二月考）设数列前项和，且，，则（ ）
A．数列是等差数列B．
C．D．
18．（2021·全国·高二课时练习）将个数排成行列的一个数阵，如下图：
该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
19．（2021·全国·高二课时练习）记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
20．（2021·全国·高二课时练习）记为数列的前项和，若，则_____________．
21．（2018·陕西·宝鸡市烽火中学高二期中）等比数列的各项均为正数，且，则_____.
22．（2019·云南省玉溪第一中学高二月考（文））设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为___________．
23．（2021·全国·高二单元测试）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的颜率的比都等于，若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为_____________.
24．（2021·全国·高二课时练习）设，，，，则数列的通项公式=___________．
四、解答题
25．（2021·全国·高二课时练习）等比数列中，．
（1）求的通项公式；
（2）记为的前项和．若，求．
26．（2021·全国·高二课时练习）
已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0， ，.
（1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（2）求{an}和{bn}的通项公式.
27．（2021·全国·高二专题练习）已知数列的前n项和为，，且.
（1）求数列的通项；
（2）设数列满足，记的前n项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
28．（2021·全国·高二课时练习）数列的前项和为，且，数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：数列是等比数列；
（3）设数列满足，其前项和为，证明：.
29．（2021·宁夏·银川三沙源上游学校高二期中（文））已知数列的前项和为，且满足.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）记，求证：数列的前项和.
30．（2021·甘肃·西北师大附中高二期中（理））已知数列中，，.
（1）求的通项公式；
（2）数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.
31．（2021·浙江·高二课时练习）已知数列的前项和为，且，，数列满足，.
（1）求数列、的通项公式；
（2）若数列满足且对任意恒成立，求实数的取值范围.
32．（2021·江苏·海安高级中学高二期中）已知在每一项均不为0的数列中，，且（、为常数，），记数列的前项和为.
（1）当时，求；
（2）当、时，
①求证：数列为等比数列；
②是否存在正整数，使得不等式对任意恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．C
【分析】
利用方程思想列出关于的方程组，求出，再利用通项公式即可求得的值．
【详解】
设正数的等比数列{an}的公比为，则，
解得，，故选C．
2．D
【分析】
根据已知条件求得的值，再由可求得结果.
【详解】
设等比数列的公比为，则，
，
因此，.
故选：D.
3．C
【分析】
由题意可知，每天走的路程里数构成以为公比的等比数列，由求得首项，再由等比数列的通项公式求得该人最后一天走的路程．
【详解】
解：记每天走的路程里数为，可知是公比的等比数列，
由，得，解得：，
，
故选C．
4．C
【分析】
把化成，故可得为等比数列，从而得到的值.
【详解】
数列中，，故，
因为，故，故，
所以，所以为等比数列，公比为，首项为.
所以即，故，故选C.
5．C
【详解】
试题分析：由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．
6．B
【分析】
根据等比数列下标和性质，求得，再结合对数运算，即可求得结果.
【详解】
由等比数列的性质可得：，所以.
.
则，
故选：B.
7．B
【分析】
推导出数列是以为周期的周期数列，由可得出，代值计算即可得解.
【详解】
在数列中，，，则，，，
以此类推可知，对任意的，，即数列是以为周期的周期数列，
，因此，.
故选：B.
8．C
解：因为等比数列的各项均为正数，且
所以
.
故选：C．
9．B
【详解】
∵a1+a2+a3+…+an＝3n﹣1，①，∴a1+a2+a3+…+an+1＝3n+1﹣1，②
②﹣①得：an+1＝3n+1﹣3n＝2×3n，∴an＝2×3n﹣1.
当n＝1时，a1＝31﹣1＝2，符合上式，∴an＝2×3n﹣1．
∴，∴是以4为首项，9为公比的等比数列，
∴a12+a22+a32+…+an2=．
故选B．
10．D
【分析】
利用等比数列的性质求出、的值，可求出和的值，利用等比数列的通项公式可求出，由此得出，并求出数列的前项和，然后求出，利用二次函数的性质求出当取最大值时对应的值.
【详解】
由题意可知，由等比数列的性质可得，解得，
所以，解得，，，
则数列为等差数列，，
，，
因此，当或时，取最大值，故选D.
11．B
【分析】
利用累加法可求得结果.
【详解】
，
所以当时，，，，，
将上式累加得：，
，即，
又时，也适合，
．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：利用累加法求解是解题关键.
12．D
【分析】
先判断，由，利用等比数列求和公式可得，结合可得，从而根据可得结果.
【详解】
设等比数列公比为
当时，，不符合题意，
当时，，
得，又，
由，得，
，故选D.
13．AD
【分析】
由已知可得，结合等比数列的定义可判断A；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断B；由可判断C；
由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.
【详解】
因为，所以．
又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；
所以，则．
当时，，但，故B错误；
由可得，即，故C错；
因为，所以
所以数列的前项和为，故D正确．
故选:AD．
14．BD
【分析】
由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.
【详解】
由得，所以是以为首项，2为公比的
等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；
因为，，所以
，故，
故C错误；因为，所以的前项和，
故D正确.
故选：BD
15．ABC
【分析】
利用数列单调性及题干条件，可求出范围；求出数列的前2n项和的表达式，利用数学归纳法即可证明其大小关系，即可得答案.
【详解】
因为数列为递增数列，
所以，
所以，即，
又，即，
所以，即，故A正确；
因为为递增数列，
所以，
所以，即，
又，即，
所以，即，故B正确；
的前2n项和为
= ，
因为，则，所以，
则的2n项和为
=
，
当n=1时，，所以，故D错误；
当时
假设当n=k时，，即，
则当n=k+1时，
所以对于任意，都有，即，故C正确
故选：ABC
16．BD
【分析】
根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.
【详解】
当时，，
当时，由，得，
两式相减得：，
又，
所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
所以，，数列的前项和为，
则，
所以，
所以 ，
故选：BD
17．BCD
【详解】
对任意的，.
当时，，可得；
当时，由可得，
上述两式作差得，可得，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，，A选项错误，B选项正确；
，所以，，C选项正确；
，，
所以，，
D选项正确.
故选：BCD.
18．ACD
【分析】
根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案.
【详解】
由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，
可得，，所以，
解得或（舍去），所以选项A是正确的；
又由，所以选项B不正确；
又由，所以选项C是正确的；
又由这个数的和为，
则
，所以选项D是正确的，
故选ACD.
19．.
【分析】
本题根据已知条件，列出关于等比数列公比的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查．
【详解】
设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
20．
【分析】
首先根据题中所给的，类比着写出，两式相减，整理得到，从而确定出数列为等比数列，再令，结合的关系，求得，之后应用等比数列的求和公式求得的值.
【详解】
根据，可得，
两式相减得，即，
当时，，解得，
所以数列是以-1为首项，以2为公比的等比数列，
所以，故答案是.
21．.
【详解】
试题分析：由题意知，且数列的各项均为正数，所以，
，
．
考点：1．考查等比数列的基本性质；2．对数的基本运算．
22．
【详解】
试题分析：设等比数列的公比为，由得，，解得.所以，于是当或时，取得最大值.
考点：等比数列及其应用
23．
【分析】
设第个单音的频率为，根据题意可知数列为等比数列，由题意可知该等比数列的公比和首项的值，由此可计算出第八个单音的频率.
【详解】
设第个单音的频率为，根据题意可知数列为等比数列，且公比为，首项为，
所以，第八个单音的频率为.
故答案为：.
24．
【详解】
由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．
25．（1）或 .
（2）.
【详解】
分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．
详解：（1）设的公比为，由题设得．
由已知得，解得（舍去），或．
故或．
（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．
若，则．由得，解得．
综上，．
26．（1）见解析；（2），．
【分析】
(1)可通过题意中的以及对两式进行相加和相减即可推导出数列是等比数列以及数列是等差数列；
(2)可通过(1)中的结果推导出数列以及数列的通项公式，然后利用数列以及数列的通项公式即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，，，，
所以，即，
所以数列是首项为、公比为的等比数列，，
因为，
所以，数列是首项、公差为的等差数列，．
(2)由(1)可知，，，
所以，．
27．（1）；（2）.
【分析】
（1）由，结合与的关系，分讨论，得到数列为等比数列，即可得出结论；
（2）由结合的结论，利用错位相减法求出，对任意恒成立，分类讨论分离参数，转化为与关于的函数的范围关系，即可求解.
【详解】
（1）当时，，
，
当时，由①，
得②，①②得
，
又是首项为，公比为的等比数列，
；
（2）由，得，
所以，
，
两式相减得
，
所以，
由得恒成立，
即恒成立，
时不等式恒成立；
时，，得；
时，，得；
所以.
28．（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【分析】
（1）当时，.检验，当时符合，即可得解；
（2）当时，根据，即可得证；
（3）利用错位相减法可得：，即可得证.
【详解】
（1）当时，.
当时，.
检验，当时符合.
所以.
（2）当时，，
而，
所以数列是等比数列，且首项为3，公比为3.
（3）由（1）（2）得，
，
所以
①
②
由①-②得
，
所以.
因为，
所以.
29．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
(1)由得,作差得,进而得,故数列是等比数列；
（2）由（1）得，故，再根据裂项求和证明即可.
【详解】
解：（1）因为①，
所以②
由①②得，.
两边同时加1得，
所以，故数列是公比为2的等比数列.
（2）令，，则.
由，得.
因为，
所以
.
因为，所以
所以.
【点睛】
裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误．
30．（1）；（2）.
【分析】
（1）将，变形为，再利用等比数列的定义求解.
（2）由（1）得，然后利用错位相减法求得，将不等式对一切恒成立，转化为，对一切恒成立，分为偶数和奇数讨论求解.
【详解】
（1）由，
得，
∴，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
所以，即.
（2）
,
，
两式相减得:
，
∴，
因为不等式对一切恒成立，
所以，对一切恒成立，
因为单调递增，
若为偶数，则，对一切恒成立，∴；
若为奇数，则，对一切恒成立，∴，∴
综上：.
31．（1），；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据得出，然后两式相减，得出，再根据即可得出，最后根据题意得出，通过累加法即可求出；
（2）本题首先可根据得出，然后通过裂项相消法求出数列的前项和，再然后将对任意恒成立转化为，最后令，，取，即可求出的最大值以及取值范围.
【详解】
（1）因为，，所以，
则，即，，
因为，，
所以数列是以为首项、为公比的等比数列，，
因为，所以，即，
则
.
（2），
令，
则
，
因为对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
即，
令，，
则，当时，即当时取到最小值，
故，实数的取值范围为.
32．（1）；（2）①证明见解析；②存在，2.
【分析】
（1）本题首先可根据题意得出，然后根据得出数列是首项为、公比为的等比数列，最后通过等比数列前项和公式即可得出结果；
（2）①本题首先可根据题意得出，通过转化得出以及，然后通过判断得出，最后通过以及即可证得；
②本题首先可根据①得出以及，然后通过计算得出，最后通过放缩法以及等比数列前项和公式即可得出结果.
【详解】
（1）当时，，
因为，所以，数列是首项为、公比为的等比数列，
当时，；当时，，
故.
（2）①证明：当，时，，
则，，
若存在且，使得，
则，这与矛盾，
故，，
则，
因为，
所以数列是首项为、公比为2的等比数列.
②因为数列是首项为、公比为2的等比数列，
所以，，，，
因为，
所以，即，
当时，，
则
（当且仅当时取“”），
故，
因为，
所以存在且的最小值为2.
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