精品解析:2023年广东省深圳市南山区下学期中考三模数学试题
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1. ﹣3的相反数是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相反数的定义是:如果两个数只有符号不同,我们称其中一个数为另一个数的相反数,特别地,0的相反数还是0.
【详解】根据相反数的定义可得:-3的相反数是3,
故选D.
【点睛】本题考查相反数,题目简单,熟记定义是关键.
2. 万!梅西卡塔尔世界杯夺冠后的个人动态点赞数打破吉尼斯纪录,成历史第一.万用科学记数法表示( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时,一般形式为,其中,为整数.
【详解】解:万.
故选:B.
【点睛】本题考查了科学记数法,科学记数法的表示形式为的形式,其中,为整数.确定的值时,要看把原来的数,变成时,小数点移动了多少位,的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,是正数;当原数的绝对值时,是负数,确定与的值是解题的关键.
3. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方,完全平方公式进行计算即可求解.
【详解】解:A. ,故该选项正确,符合题意;
B. ,故该选项不正确,不符合题意;
C. ,故该选项不正确,不符合题意;
D. ,故该选项不正确,不符合题意;
故选:A.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方,完全平方公式,熟练掌握同底数幂的乘法,同底数幂的除法,积的乘方,完全平方公式是解题的关键.
4. 如图是由五个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的主视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】找到从正面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中.
【详解】解:从正面看可得上面第一层有3个正方形,第二层左边和有一个正方形,如图所示:
故选:B.
【点睛】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
5. 年月日,杨倩以环的成绩获得年东京奥运会射击女子米气步枪项目金牌,为中国队收获东京奥运会的首枚金牌.她的其中个成绩(单位:环)分别是:、、、、;关于这组数据,以下结论错误的是( )
A. 众数为9B. 中位数为9C. 平均数为9D. 方差为2
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数,中位数,平均数,方差的定义,分别求解即可.
【详解】解:数据、、、、
从小到大重新排列为:、、、、,
众数为,中位数为,平均数为,
方差为:,
故选:D.
【点睛】本题考查了众数,中位数,平均数,方差的定义,熟练掌握众数,中位数,平均数,方差的定义是解题的关键.
6. 将不等式组的解集在数轴上表示,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到,确定不等式组的解集.
【详解】解不等式,得:,
∴不等式组的解集为,
∴不等式组的解集在数轴上表示出来如图所示:
故选:B.
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组,正确求出每一个不等式解集是基础,熟知“同大取大;同小取小;大小小大中间找;大大小小找不到”的方法是解答此题的关键.
7. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出,,根据异分母分式的加法进行计算即可求解.
【详解】解:∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根、,
∴,,
∴,
故选:C.
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数关系:若是一元二次方程的两根,,,掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键.
8. 下列说法正确的是( )
A. 两点之间,直线最短
B. 线段垂直平分线上点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形
D. 圆周角的度数等于圆心角度数的一半
【答案】B
【解析】
【分析】根据两点之间线段最短,垂直平分线的性质,平行四边形的判定定理,圆周角定理逐项分析判定即可求解.
【详解】解:A. 两点之间,线段最短,
B. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
C. 一组对边平行,另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形
D.同弧或等弧所对圆周角的度数等于圆心角度数的一半
故选:B.
【点睛】本题考查了两点之间线段最短,垂直平分线的性质,平行四边形的判定定理,圆周角定理,熟练掌握以上性质定理是解题的关键.
9. 南山文体中心打算购买李宁、安踏两种不同品牌的篮球,已知李宁篮球的单价是安踏篮球的单价的倍,且用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个,设安踏篮球的单价为元,则下列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设安踏篮球的单价为元,则李宁篮球的单价是,根据用元购买的李宁篮球的数量比用元购买安踏篮球的数量少个,列出分式方程,即可求解.
【详解】解:设安踏篮球的单价为元,则李宁篮球的单价是,根据题意得,
,
故选:C.
【点睛】本题考查了列分式方程,根据题意找到等量关系,列出方程是解题的关键.
10. 如图,四边形中,,以为直径的经过点C,连接、交于点.连接交于点,连接,若,,则以下结论:①;②为的切线;③;④;则正确的结论个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】①连接,证得,又知;
②、则、,证为中位线知、,进一步求得,再在中利用勾股定理逆定理证即可得出结论;
③连接,证明四点共圆,进而根据通弧所对的圆周角相等,即可得证;
④先证得,再证得,联立得,即,结合知,据此可得,结合可得相关线段的长,代入计算可得.
【详解】解:①连接,
在和中,
,
,
②由①得,
,
,
为的直径,
,
,即,
,
,,
,
,且,
,,
在中,,
在中,,
,
,
,
则与相切;
③连接,
,是圆的切线,
为等腰直角三角形,
为直径,
,,
,
四点共圆,
,故③正确
④是的直径,
,
,
,
,即,
又,,
,
,即,
由可得,即,
又,
,
,
,,,,,
,即,
解得:,故④正确;
故选:D.
【点睛】本题主要考查圆的综合问题,解题的关键是掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理逆定理等知识点.
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11. 分解因式:_________.
【答案】2(a+1)2
【解析】
【分析】
【详解】2(a+1)2.
故答案为2(a+1)2
考点:因式分解
12. 从1~9这9个自然数中,任取一个,是3的倍数的概率是_____.
【答案】
【解析】
【分析】根据概率的求法,找准两点:①全部等可能情况的总数;②符合条件的情况数目;二者的比值就是其发生的概率.
【详解】解: ∵1~9这9个自然数中,是3的倍数的有3,6,9,共3个,
∴从1~9这9个自然数中,任取一个,是3的倍数的概率是.
故答案为:.
13. 如图,已知直线,的顶点在直线上,,,则的度数是______.
【答案】##度
【解析】
【分析】过点作,则,根据平行线性质得出,进而根据,即可求解.
【详解】解:如图所示,过点作,则
∴
∵,,
∴
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了平行线的性质与判定,熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键.
14. 如图,点在反比例函数的图象上,点在轴上,轴,点为轴上一点,过点作,交轴于点,若,则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】设,根据证明得出,根据三角形的面积公式得出,则,进而即可求解.
【详解】解:设,
则,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了反比例函数的几何意义,相似三角形的判定和性质,根据三角形相似得到是解题的关键.
15. 如图所示,,,以为底边向上构造等腰直角三角形,连接并延长至点P,使,则长的取值范围为 ____.
【答案】
【解析】
【分析】以为斜边作等腰直角三角形,延长至点E.使,连接.利用等腰直角三角形的性质得出利用相似三角形的性质求出,再利用三角形中位线的性质求出,由是等腰直角三角形,,得出垂直平分,进而求出,继而利用三角形的三边关系即可求出答案.
【详解】解:如图,以为斜边作等腰直角三角形,延长至点E.使,连接、.
∵和都是等腰直角三角形,
∴,,
∴,,
∴,即,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,,
∴是的中位线,
∴,
∵是等腰直角三角形,,
∴垂直平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
故答案为:.
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质,相似三角形的判定与性质,三角形中位线的性质,线段垂直平分线的判定与性质,三角形的三边关系等知识,正确作出辅助线是解决问题的关键.
三、解答题(本题共7小题,其中第16题5分,第17题6分,第18题8分,第19题9分,第20题8分,第21题9分,第22题10分,共55分)
16. 计算:.
【答案】
【解析】
【分析】根据零指数幂,化简绝对值,负整数指数幂,特殊角的三角函数值,进行计算即可求解.
【详解】解:
.
【点睛】本题考查了实数的混合运算,熟练掌握零指数幂,化简绝对值,负整数指数幂,特殊角的三角函数值是解题的关键.
17. 先化简,再求值:,从,,,,中取一个合适的数作为的值代入求值.
【答案】;当时,原式;当时,原式
【解析】
【分析】根据分式的加减计算括号内的,同时将除法转化为乘法,再根据分式的性质化简,最后根据分式有意义的条件确定x的值,将字母的值代入求解.
【详解】
,
∵
∴当时,原式,
当时,原式.
【点睛】本题考查了分式的化简求值,熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.
18. 某校校园文化节中组织全校学生进行知识竞赛,参赛学生均获奖.为了解本次竞赛获奖的分布情况,中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析,获奖结果分为四个等级:级为特等奖,级为一等奖,级为二等奖,级为三等奖,将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图,根据统计图中的信息解答下列问题:
(1)本次被抽取的部分人数是______名,并把条形统计图补充完整;
(2)扇形统计图中表示级的扇形圆心角的度数是______;
(3)根据抽样结果,请估计该校1800名学生获得特等奖的人数是______名;
(4)调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙,要从中随机选择两名同学进行经验分享,利用列表法或画树状图,求丙被选中的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】(1)根据级的人数与占比求得总人数,进而求得级的人数,补全统计图;
(2)根据级的占比乘以,即可求解;
(3)用乘以等级的占比即可求解;
(4)根据树状图求解概率即可;
【小问1详解】
解:本次抽样测试的人数是(名),
故答案为:;
条形图中,级的人数为: (名),
把条形统计图补充完整如图:
【小问2详解】
扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是,
故答案为:,
【小问3详解】
估计该校获得特等奖人数为:(名)
故答案为:,
【小问4详解】
画树状图如图:
共有6个等可能的结果,丙被选中的结果有4个,
∴丙被选中的概率为:.
【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图、画树状图求概率,从统计图中获取信息是解题的关键.
19. 开学季,某文具店购进甲、乙两种笔记本共本,总成本为元,两种笔记本的成本和售价如下表:
(1)文具批发店购进甲、乙两种笔记本各多少本?
(2)该文具店觉得这两种笔记本很物销,准备再购进本,但是成本不能超过元,则文具店第二次进货的最大利润是多少?
【答案】(1)文具批发店购进甲种笔记本本,乙种笔记本本
(2)文具店第二次进货的最大利润是元
【解析】
【分析】(1)设文具批发店购进甲种笔记本本,乙种笔记本本,根据题意列出二元一次方程组,解方程组即可求解;
(2)设购进甲种笔记本本,则购进乙种笔记本本,根据题意得出,设文具店第二次进货的利润为,则,根据一次函数的性质求最值即可求解.
【小问1详解】
解:设文具批发店购进甲种笔记本本,乙种笔记本本,根据题意得,
解得:
答:文具批发店购进甲种笔记本本,乙种笔记本本;
【小问2详解】
解:设购进甲种笔记本本,则购进乙种笔记本本,
解得:,
设文具店第二次进货的利润为,则,
∵,
∴当时,取得最大值,最大值为
答:文具店第二次进货的最大利润是元.
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用,一元一次不等式的应用,一次函数的应用,根据题意列出方程组,不等式,以及一次函数的性质是解题的关键.
20. 如图,抛物线经过点,点,且.
(1)求抛物线的表达式;
(2)如图,点是抛物线的顶点,求的面积.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)根据已知得出点,进而待定系数法求解析式即可求解.
(2)根据解析式化为顶点式求得,待定系数法求得直线的解析式,过点作轴于点,交于点,则,进而根据三角形的面积公式即可求解.
【小问1详解】
解:∵抛物线经过点,点,且.
∴,
即,
设抛物线解析式为,将代入得,
解得:,
∴抛物线解析式为
【小问2详解】
解:∵,
∴,
如图所示,过点作轴于点,交于点,
设直线的解析式为,将代入得,
解得:,
∴直线的解析式为,
当时,,
∴,
∴,
∴.
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,面积问题,熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.
21. 如图,在△ACE中,CA=CE,∠CAE=30°,⊙O经过点C,且圆直径AB在线段AE上.
(1)试说明CE是⊙O的切线;
(2)若△ACE中AE边上的高为h,试用含h的代数式表示⊙O的直径AB;
(3)设点D是线段AC上任意一点(不含端点),连接OD,当CD+OD的最小值为6时,求⊙O的直径AB的长.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)AB=;(3).
【解析】
【详解】解:(1)连接OC,如图1,∵CA=CE,∠CAE=30°,
∴∠E=∠CAE=30°,∠COE=2∠A=60°,
∴∠OCE=90°,
∴CE是⊙O的切线;
(2)过点C作CH⊥AB于H,连接OC,
如图2,由题可得CH=h,在Rt△OHC中,CH=OC•sin∠COH,
∴h=OC•sin60°=OC,∴OC==,
∴AB=2OC=;
(3)作OF平分∠AOC,交⊙O于F,连接AF、CF、DF,
如图3,则∠AOF=∠COF=∠AOC=(180°﹣60°)=60°,
∵OA=OF=OC,∴△AOF、△COF是等边三角形,
∴AF=AO=OC=FC,∴四边形AOCF是菱形,
∴根据对称性可得DF=DO,过点D作DH⊥OC于H,∵OA=OC,∴∠OCA=∠OAC=30°,
∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=DC,
∴CD+OD=DH+FD.
根据两点之间线段最短可得:当F、D、H三点共线时,DH+FD(即CD+OD)最小,此时FH=OF•sin∠FOH=OF=6,则OF=,AB=2OF=,
∴当CD+OD的最小值为6时,⊙O的直径AB的长为.
考点:1.圆的综合题;2.等腰三角形的性质;3.等边三角形的判定与性质;4.菱形的判定与性质;5.锐角三角函数的定义;6.特殊角的三角函数值.
22. 某数学兴趣小组在数学课外活动中,对多边形内两条互相垂直的线段进行了如下探究:
(1)【观察与猜想】如图1,在正方形中,点,分别是,上的两点,连接,,,则的值为______;
(2)如图2,在矩形中,,,点是上的一点,连接,,,则的值为______;
(3)【证明与理解】如图3,在矩形中,,,,求的值;
(4)【知识点应用】如图4,在中,,,,将沿翻折后得到,点在边上,点在边上,,求的值.
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【解析】
【分析】(1)根据正方形的性质,互余的性质,证明即可;
(2)根据矩形的性质,互余的性质,证明即可;
(3)如图3,过点作,垂足为,根据矩形的性质,互余的性质,证明即可;
(4)过点作于点,连接交于点,根据正切的定义得到,根据勾股定理分别求出、,根据三角形的面积公式求出,计算即可.
【小问1详解】
解:如图1,四边形是正方形,
,,
,
,,
,
,
,
,
故答案为:.
【小问2详解】
如图,四边形是矩形,
,
,
,,
,
,
,
,
,
故答案为:.
【小问3详解】
如图,过点作,垂足为,
四边形是矩形,
,,
,
,
,
,
,
,
,
四边形是矩形,
,,,
,
四边形是矩形,
,
,
,
故答案为:.
【小问4详解】
解:过点作于点,连接交于点,如图所示:
,,
,
,
,
,
,
在中,,
,即,设,则,
,
,
(负值舍去),
,,
,
,
,
,
【点睛】本题考查了正方形的性质,矩形的性质与判定,三角形全等的判定和性质,三角形相似的判定和性质,方程组,三角函数,熟练掌握三角形的相似,三角函数是解题的关键.
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甲
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