2023-2024学年河南省洛阳市孟津区白鹤中学九年级（上）期末数学练习试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河南省洛阳市孟津区白鹤中学九年级（上）期末数学练习试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若二次根式 x−3有意义，则x的取值范围是( )
A. x32B. k>1C. k−32
6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，若点P从点B出发以2cm/s的速度向点A运动，点Q从点A出发以1cm/s的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A同时出发，运动的时间为s时，△APQ是直角三角形．( )
A. 2.4B. 3C. 2.4或3D. 3或4.8
7.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”.下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是( )
A. 1，2，3B. 1，1， 2C. 1，1， 3D. 1，2， 3
8.如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数y=kx的图象与大正方形的一边交于第一象限的点A(1,n)，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是( )
A. 4n2−nB. 4(n2−n)C. n2−nD. 4n2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.化简： 18= ______ ．
10.某射手在相同条件下进行射击训练，结果如下：
该射手击中靶心的概率的估计值是______(精确到0.01)．
11.某花圃用花盆培育花苗，经试验发现，每盆的盈利与每盆种植的株数构成一定的关系.每盆植入4株时，平均每株盈利4元，以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆盈利达到最大，则每盆应植______ 株.
12.如图，A、B分别是反比例函数y=10x，y=6x图象上的点，过A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连接OB、OA，OA交BD于E点，△BOE的面积为S1，四边形ACDE的面积为S2，则S2−S1= ______ ．
13.如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB的坡度为______．
14.如图，在平面直角坐标系中，点A、B在函数y=kx(k>0,x>0)的图象上，过点A作x轴的垂线，与函数y=−kx(x>0)的图象交于点C，连接BC交x轴于点D.若点A的横坐标为1，BC=3BD，则点B的横坐标为______．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
计算：
(1) 32−2sin45°+| 2−1|；
(2) 2sin45°+20230×tan60°−2cs60°．
16.(本小题8分)
已知关于x的方程(c+b)x2+2ax+c−b=0，其中a，b，c是△ABC的三边．
(1)若x=−1是方程的一个根，则△ABC的形状是______ ；
(2)若方程有两个相等的实数根，则△ABC的形状是______ ；
(3)若△ABC是等边三角形，试求方程(c+b)x2+2ax+c−b=0的根．
17.(本小题8分)
为了促进海口主城区与江东新区联动发展，文明东越江通道将于今年底竣工通车．某校数学实践活动小组利用无人机测算该越江通道的隧道长度．如图，隧道AB在水平直线上，且无人机和隧道在同一个铅垂面内，无人机在距离隧道450米的高度上水平飞行，到达点P处测得点A的俯角为30°，继续飞行1500米到达点Q处，测得点B的俯角为45°．
(1)填空：∠A=______度，∠B=______度；
(2)求隧道AB的长度(结果精确到1米)．
(参考数据： 2≈1.414， 3≈1.732)
18.(本小题8分)
如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=14DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若正方形的边长为4，求FG的长．
19.(本小题8分)
有A，B，C三种款式的帽子，E，F两种款式的围巾，小赵任意选一顶帽子和一条围巾．
(1)用恰当的方法列举出所有可能选中的结果；
(2)求小赵恰好选中她所喜欢的B款帽子和F款围巾的概率．
20.(本小题8分)
某汽车4S店销售某种型号的汽车，每辆进货价为15万元，该店经过一段时间的调研发现：当销售价为25万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低1万元时，平均每周能多售出2辆.该4S店要想平均每周的销售利润为96万元，并且使成本尽可能的低，则每辆汽车的定价应为多少万元？
21.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别交x轴于点B，交y轴于点A，已知B(−2,0)，C是线段AB的中点，tan∠ABO= 3，P是y轴上的一动点．
(1)求点A的坐标；
(2)如果以点A，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，求点P的坐标；
(3)平面上是否存在点M，使得以A，B，P，M为顶点的四边形是菱形？如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
22.(本小题8分)
如图所示，将矩形ABCD沿AE折叠得到△AFE，且点B恰好与DC上的点F重合．
(1)求证：△ADF∽△FCE；
(2)若tan∠CEF=2，求tan∠AEB的值．
23.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程：x2−2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若原方程的两个实数根为x1、x2.且满足x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2，求m的值．
24.(本小题8分)
在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB=xm．
(1)若花园的面积为192m2，求x的值；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积S的最大值．
25.(本小题8分)
已知，在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，动点M从点A出发沿边AD向点D运动．
(1)如图1，当b=2a，点M运动到边AD的中点时，请证明∠BMC=90°；
(2)如图2，当b>2a时，点M在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由；
(3)如图3，当b0，从而③正确；
在④中，左边两个不是同类二次根式，不能合并，故错误．
故选：D．
①②③④分别利用二次根式的性质及其运算法则计算即可判定．
此题主要考查了二次根式的性质及其简单的计算，注意二次公式的性质： a2=|a|.同时二次根式的加减运算实质上是合并同类二次根式．
5.【答案】D
【解析】解：原方程整理得：x2−4x+1−2k=0，
∵一元二次方程x2−4x+1=2k有两个不相等的实数根，
∴Δ>0，
即(−4)2−4(1−2k)>0，
解得：k>−32，
故选：D．
先整理，再利用一元二次方程根的判别式，即可求解．
本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2−4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=b2−4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ=b2−4ac0)的图象交于点C，
∴−k=1×(−2b)=−2b，
∴k=2b，
∴B的横坐标为kb=2bb=2，
故答案为：2．
作BE⊥x轴于E，则AC/​/BE，即可得到△CDF∽△BDE，由题意得出CFBE=DFDE=21，即可得出CF=2BE，DF=2DE，设B(kb,b)，则C(1,−2b)，代入y=−kx(x>0)即可求得k=2b，从而求得B的坐标为2．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形相似的判定和性质，表示出点的坐标是解题的关键．
15.【答案】解：(1) 32−2sin45°+| 2−1|
=4 2−2× 22+ 2−1
=4 2− 2+ 2−1
=4 2−1；
(2) 2sin45°+20230×tan60°−2cs60°
= 2× 22+1× 3−2×12
=1+ 3−1
= 3．
【解析】(1)将各特殊角的三角函数代入，然后计算即可；
(2)将各特殊角的三角函数代入，然后计算即可．
本题主要考查特殊角的三角函数的运算，掌握各个特殊角的三角函数是解题关键．
16.【答案】等腰三角形 直角三角形
【解析】解：(1)把x=−1代入方程得c+b−2a+c−b=0，
∴a=c，
∴△ABC为等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；
(2)根据题意得Δ=4a2−4(c+b)(c−b)=0，
∴a2+b2=c2，
∴△ABC为直角三角形；
故答案为：直角三角形；
(3)∵△ABC是等边三角形，
∴a=b=c，
∴方程(c+b)x2+2ax+c−b=0化为2ax2+2ax=0，
整理得x2+x=0，
x(x+1)=0，
x=0或x+1=0，
所以x1=0，x2=−1．
(1)把x=−1代入方程得c+b−2a+c−b=0，整理得到a=c，从而可判断△ABC的现状；
(2)利用根的判别式的意义得到Δ=4a2−4(c+b)(c−b)=0，整理得到a2+b2=c2，然后根据勾股定理的逆定理可判断△ABC为直角三角形；
(3)先根据等边三角形的性质得到a=b=c，则原方程可化为x2+x=0，然后利用因式分解法解方程即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ0，
解得：m>2．
(2)∵原方程的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2=2(m+1)，x1⋅x2=m2+5．
∵m>2，
∴x1+x2=2(m+1)>0，x1⋅x2=m2+5>0，
∴x1>0、x2>0．
∵x12+x22=(x1+x2)2−2x1⋅x2=|x1|+|x2|+2x1⋅x2，
∴4(m+1)2−2(m2+5)=2(m+1)+2(m2+5)，即6m−18=0，
解得：m=3．
【解析】(1)由方程有两个不相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；
(2)根据根与系数的关系即可得出x1+x2=2(m+1)、x1⋅x2=m2+5，结合m的取值范围即可得出x1>0、x2>0，再由x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2即可得出6m−18=0，解之即可得出m的值．
本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：(1)根据方程有两个不相等的实数根找出△=8m−16>0；(2)根据根与系数的关系结合x12+x22=|x1|+|x2|+2x1x2得出6m−18=0．
24.【答案】解：(1)∵AB=x，则BC=(28−x)，
∴x(28−x)=192，
解得：x1=12，x2=16，
答：x的值为12或16；
(2)∵AB=xm，
∴BC=28−x，
∴S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，
∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，
∵28−15=13，
∴6≤x≤13，
∴当x=13时，S取到最大值为：S=−(13−14)2+196=195，
答：花园面积S的最大值为195平方米．
【解析】(1)根据题意得出长×宽=192，进而得出答案；
(2)由题意可得出：S=x(28−x)=−x2+28x=−(x−14)2+196，再利用二次函数增减性求得最值．
此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键．
25.【答案】(1)证明：∵b=2a，点M是AD的中点，
∴AB=AM=MD=DC=a，
又∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠AMB=∠DMC=45°，
∴∠BMC=90°．
(2)解：存在，
理由：若∠BMC=90°，
则∠AMB+∠DMC=90°，
又∵∠AMB+∠ABM=90°，
∴∠ABM=∠DMC，
又∵∠A=∠D=90°，
∴△ABM∽△DMC，
∴AMCD=ABDM，
设AM=x，则xa=ab−x，
整理得：x2−bx+a2=0，
∵b>2a，a>0，b>0，
∴△=b2−4a2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意，
∴当b>2a时，存在∠BMC=90°，
(3)解：不成立．
理由：若∠BMC=90°，
由(2)可知x2−bx+a2=0，
∵b0，b>0，
∴△=b2−4a20，b>0，即可判定△>0，即可确定方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意；
(3)由(2)，当b0，b>0，判定方程x2−bx+a2=0的根的情况，即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及一元二次方程的性质．此题难度较大，解此题的关键是利用相似的性质构造方程，然后利用判别式求解．射击次数n
10
20
40
50
100
200
500
1000
击中靶心的频数m
9
19
37
45
89
181
449
901
击中靶心的频率mn
0.900
0.950
0.925
0.900
0.890
0.905
0.898
0.901
围巾
帽子
E
F
A
(A,E)
(A,F)
B
(B,E)
(B,F)
C
(C,E)
(C,F)