河南省商丘市豫东综合物流产业聚集区2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题

这是一份河南省商丘市豫东综合物流产业聚集区2023-2024学年九年级上学期1月月考数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

（满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )
A.x2+ QUOTE 1x2 1x2=0B.ax2+bx+c=0
C.(x-1)(x+2)=1D.3x2-2xy-5y2=0
2．（3分）已知二次函数y=ax2+k的图象如图所示,则对应a,k的符号正确的是( )
A.a>0,k>0 B.a>0,k<0 C.a<0,k>0 D.a<0,k<0
3．（3分）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
4．（3分）如图,已知☉O是△ABD的外接圆,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD等于( )
A.16° B.32° C.58° D.64°
5．（3分）一个布袋里装有6个只有颜色不同的球,其中2个红球,4个白球.从布袋里任意摸出1个球,则摸出的球是红球的概率为( )
A. QUOTE 12 12B. QUOTE 15 15C. QUOTE 23 23D. QUOTE 13 13
6．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2cm ，以B 点为圆心、AB长为半径作，则图中阴影部分的面积为（ ）
图2
D
B
C
A
A. B. C. D.
7．（3分）将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（ ）
A．140°B．160°C．170°D．150°
8．（3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6B．7C．8D．9
9．（3分）已知a≥2，m2－2am＋2＝0，n2－2an＋2＝0，则(m－1)2＋(n－1)2的最小值是( )
A．6 B．3 C．－3 D．0
10．（3分）在物理实验课上，小明用弹簧称将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起（不考虑水的阻力），直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧称的读数y（单位N）与铁块被提起的高度x（单位cm）之间的函数关系的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）方程x2-2x-2=0的解是 .
12．（3分）如果函数y=(k-3) QUOTE xk2-3k+2 xk2-3k+2+kx+1是二次函数,那么k= .
13．（3分）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是 ．
14．（3分）一个正方形绕它的中心旋转后如果能和原来的图形重合,那么它至少要旋转 .
15．（3分）如图,AB,AC,BD是☉O的切线,P,C,D为切点,如果AB=5,AC=3,则BD的长为 .
16．（3分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠ABC＝60°，AB＝2，分别以点A、点C为圆心，以AO的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）解下列方程：
(1)2x2-7x+3=0.
(2)7x QUOTE 5x+2 5x+2=6 QUOTE 5x+2 5x+2.
18．（8分）如图,AB是☉O的直径, QUOTE AC AC= QUOTE CD CD,∠COD=60°.
(1)△AOC是等边三角形吗?请说明理由.
(2)求证:OC∥BD.

19．（8分）如图5的方格纸中，的顶点坐标分别为、 和
（1）作出关于轴对称的，并写出点、、的对称点、、的坐标；
（2）作出关于原点对称的，并写 出点、、的对称点、、的坐标；
（3）试判断：与是否关于轴对称（只需写出判断结果）.

20．（8分）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行30m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果取整数）．
参考数据：sin31°≈0.52，cs31°≈0.86，tan31°≈0.60．
21．（8分）“低碳生活,绿色出行”,自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具.某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加,据统计,该商城1月份销售自行车64辆,3月份销售了100辆.
(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同,问该商城4月份卖出多少辆自行车?
(2)考虑到自行车需求不断增加,该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车,已知A型车的进价为500元/辆,售价为700元/辆,B型车进价为1000元/辆,售价为1300元/辆.根据销售经验,A型车不少于B型车的2倍,但不超过B型车的2.8倍.假设所进车辆全部售完,为使利润最大,该商城应如何进货?
22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC于点D，点E为BC的中点，连接DE.
(1)求证：DE是半圆⊙O的切线；
(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．
23．（10分）如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).
(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标.
(2)点(x1,y1),(x2,y2)在抛物线上,若x1(3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的函数解析式.
24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现
①当α=0°时， = ；②当α=180°时， = ．
（2）拓展探究
试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）问题解决
当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．
参考答案
1D 2A 3C 4B 5C 6D 7A 8A 9D 10C
11.x1= QUOTE 3 3+1,x2=- QUOTE 3 3+1
12.0
13.9π
14. 90°
15. 2
16. 2﹣π．
17. (1)这里a=2,b=-7,c=3.Δ=b2-4ac=(-7)2-4×2×3=49-24=25>0,
所以x= QUOTE -b±b2-4ac2a -b±b2-4ac2a= QUOTE 7±254 7±254= QUOTE 7±54 7±54,
所以x1=3,x2= QUOTE 12 12.
(2)移项得,7x QUOTE 5x+2 5x+2-6 QUOTE 5x+2 5x+2=0,
所以(7x-6)(5x+2)=0,即7x-6=0或者5x+2=0,解得:x1= QUOTE 67 67,x2=- QUOTE 25 25.
18. (1)△AOC是等边三角形.
∵ QUOTE AC AC= QUOTE CD CD,∴∠AOC=∠COD=60°.
∵OA=OC,∴△AOC是等边三角形.
(2)∵ QUOTE AC AC= QUOTE CD CD,∴OC⊥AD,
又∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即BD⊥AD,∴OC∥BD.
19. 解：（1）如图，、、
（2）如图，、、
（3）与关于y轴对称
20. 解：在Rt△CAD中，tan∠CAD＝，
则AD＝≈CD，
在Rt△CBD中，∠CBD＝45°，
∴BD＝CD，
∵AD＝AB+BD，
∴CD＝CD+30，
解得，CD＝45，
答：这座灯塔的高度CD约为45m．
21. (1)设月平均增长率为x,根据题意得:
64(1+x)2=100,解得:x=0.25=25%或x=-2.25,
四月份的销量为:100(1+25%)=125(辆).
答:四月份的销量为125辆.
(2)设A型车购进x辆,根据题意得:
2× QUOTE 30 000-500x1 000 30 000-500x1 000≤x≤2.8× QUOTE 30 000-500x1 000 30 000-500x1 000,
解得30≤x≤35,
∵B型车的利润大于A型车的利润,
∴当A型车进货量最小时有最大利润,
即A型车购进30辆,B型车购进15辆.
22. (1)连接OD，OE，BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，∴DE＝BE.从而由SSS可证△OBE≌△ODE，∴∠ODE＝∠ABC＝90°，则DE为⊙O的切线 (2)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∴BC＝eq \f(1,2)AC.∵BC＝2DE＝4，∴AC＝8.又∵∠C＝60°，DE＝EC，∴△DEC为等边三角形，即DC＝DE＝2，则AD＝AC－DC＝6 23. (1)∵抛物线y=ax2+bx经过原点O和点A(2,0),而OA的中点为(1,0),
∴抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).
(2)∵该抛物线开口向上,对称轴为直线x=1,
∴当x<1时,y随x的增大而减小,而x1y2.
(3)∵点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,∴C(3,2).
设直线AC的函数解析式为y=kx+m,则 QUOTE 2k+m=0,3k+m=2, 2k+m=0,3k+m=2,解得 QUOTE k=2,m=-4, k=2,m=-4,
∴直线AC的函数解析式为y=2x-4.[来源:学&科&网]
24. 解：（1）①当α=0°时，
∵Rt△ABC中，∠B=90°，
∴AC=，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴，
∴．
②如图1，，
当α=180°时，
可得AB∥DE，
∵，
∴=．
故答案为：．
（2）如图2，，
当0°≤α＜360°时，的大小没有变化，
∵∠ECD=∠ACB，
∴∠ECA=∠DCB，
又∵，
∴△ECA∽△DCB，
∴．
（3）①如图3，，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵AD=BC，AB=DC，∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴．
②如图4，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，，
∵AC=4，CD=4，CD⊥AD，
∴AD==，
∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE==2，
∴AE=AD﹣DE=8﹣2=6，
由（2），可得
，
∴BD==．
综上所述，BD的长为4或．