解直角三角形之实际应用模型（解析版）

这是一份解直角三角形之实际应用模型（解析版），共34页。
【重要模型】
模型1、背靠背模型

图1 图2 图3
【模型解读】若三角形中有已知角时，则通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边（高）CD是解题的关键.
【重要关系】如图1，CD为公共边，AD+BD=AB；
如图2，CE=DA，CD=EA，CE+BD=AB；
如图3，CD=EF，CE=DF，AD+CE+BF=AB。
例1．（2023年西藏自治区中考数学真题）如图，轮船甲和轮船乙同时离开海港O，轮船甲沿北偏东的方向航行，轮船乙沿东南方向航行，2小时后，轮船甲到达A处，轮船乙到达B处，此时轮船甲正好在轮船乙的正北方向．已知轮船甲的速度为每小时25海里，求轮船乙的速度．（结果保留根号）
【答案】海里小时．
【分析】过作于，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：过作于，
在中，，（海里），
（海里），
在中，，（海里），
轮船乙的速度为海里小时．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，作出辅助线是解题的关键．
例2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为 米；

【答案】
【分析】在中，由可求，再由，即可求解．
【详解】解：如图，

由题意得：米，米，，
在中，，，
，甲楼的高为（）米；故答案：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握解法是解题的关键．
例3．（2023年湖北中考数学真题）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）

【答案】斜坡的长约为10米
【分析】过点作于点，在中，利用正弦函数求得，在中，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．∴．
∵，∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【点睛】此题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
例4．（2023年四川省达州市中考数学真题）莲花湖湿地公园是当地人民喜爱的休闲景区之一，里面的秋千深受孩子们喜爱．如图所示，秋千链子的长度为，当摆角恰为时，座板离地面的高度为，当摆动至最高位置时，摆角为，求座板距地面的最大高度为多少？（结果精确到；参考数据：，，，，，）

【答案】座板距地面的最大高度为．
【分析】过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，利用和的余弦值求出，，然后利用线段的和差和矩形的性质求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D，过点A作于点E，过点B作于点F，

由题意可得，四边形和四边形是矩形，∴，，
∵秋千链子的长度为，∴，∵，，
∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴．
∴座板距地面的最大高度为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
模型2、母子模型

图1 图2 图3 图4
【模型解读】若三角形中有已知角，通过在三角形外作高BC，构造有公共直角的两个三角形求解，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】
如图1，BC为公共边，AD+DC=AC；
如图2，BC为公共边，DC- BC= DB；
如图3，DF=EC，DE=FC，BF+DE=BC，AE+DF=AC；
如图4，AF=CE，AC=FE，BC+AF= BE。

图5 图6 图7 图8 图9
如图5，BE+EC= BC；
如图6，EC- BC= BE；
如图7，AC=FG，AF=CG，AD+DC=FG，BC+AF= BG；
如图8，BC=FG，BF=CG，AC+BF=AG，EF+ BC= EG；
如图9，BC=FG，BF=CG，EF+BC=EG，BD+DF= BF，AC+ BD+ DF=AG。
例1.（2023年山东省威海市中考数学真题）如图，某育苗基地为了能够最大限度地遮挡夏季炎热的阳光和充分利用冬天的光照，计划在苗圃正上方搭建一个平行于地面的遮阳蓬．已知苗圃的（南北）宽米，该地区一年中正午时刻太阳光与地平面的最大夹角是，最小夹角是．求遮阳蓬的宽和到地面的距离．
参考数据：，，，，，．

【答案】米，米．
【分析】过点D作于F，解，得，解，得，所以，解得米，从而得米，再由矩形的性质求解即可．
【详解】解：如图，过点D作于F，

在中，，∴，
在中，，∴，
∴，解得：(米)，∴(米)，∴(米)，
∵∴矩形，∴米，米．
答：遮阳蓬的宽为7.5米，到地面的距离为4.2米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键．
例2．（2023年内蒙古数学真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度．如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得河流左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行12米至处，测得河流右岸处的俯角为，线段米为无人机距地面的铅直高度，点，，在同一条直线上，其中．求河流的宽度（结果精确到1米，参考数据：）．

【答案】河流的宽度约为64米
【分析】过点作于点，分别解、即可．
【详解】解：过点作于点．则四边形是矩形．

∴， ∵∴
在中，∴，∴∴
在中，，
∴，∴，∴
∴米
答：河流的宽度约为64米．
【点睛】本题考查了关于俯仰角的解直角三角形的问题．作垂线构造直角三角形是解题关键．
例3．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）春节期间，小明发现远处大楼的大屏幕时出现了“新年快乐”几个大字，小明想利用刚学过的知识测量“新”字的高度：如图，小明先在A处，测得“新”字底端D的仰角为，再沿着坡面向上走到B处，测得“新”字顶端C的仰角为，坡面的坡度，，(假设A、B、C、D、E在同一平面内)．

(1)求点B的高度；(2)求“新”字的高度．(长保留一位小数，参考数据)
【答案】(1) (2)米
【分析】（1）根据坡面的坡度可得，再根据含角的直角三角形的性质即可求解；
（2）过点B作于点G，可得四边形是矩形，通过解直角三角形求出和，即可解决问题．
【详解】（1）解：坡面的坡度，，，
，即点B的高度为；
（2）解：如图，过点B作于点G，

由题意得，，四边形是矩形，
在中，由勾股定理得，
，
在中，，，
，是等腰直角三角形，，
，，
即“新”字的高度约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形．
例4．（2023年辽宁中考数学真题）暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山，需要登顶高的山峰，由山底A处先步行到达处，再由处乘坐登山缆车到达山顶处．已知点A，B．D，E，F在同一平面内，山坡的坡角为，缆车行驶路线与水平面的夹角为（换乘登山缆车的时间忽略不计）

(1)求登山缆车上升的高度；(2)若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底A处到达山顶处大约需要多少分钟（结果精确到）（参考数据：）
【答案】(1)登山缆车上升的高度；(2)从山底A处到达山顶处大约需要.
【分析】（1）过B点作于C，于E，则四边形是矩形，在中，利用含30度的直角三角形的性质求得的长，据此求解即可；
（2）在中，求得的长，再计算得出答案．
【详解】（1）解：如图，过B点作于C，于E，则四边形是矩形，
在中，，，
∴，∴，
答：登山缆车上升的高度；
（2）解：在中，，，
∴，
∴从山底A处到达山顶处大约需要：，
答：从山底A处到达山顶处大约需要.
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确掌握直角三角形的边角关系是解题关键．
模型3、拥抱模型

图1 图2 图3 图4
【模型解读】分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键。
【重要等量关系】如图1，BC为公共边；如图2，BF+ FC+CE=BE；如图3，BC+ CE= BE；
如图4，AB=GE，AG=BE，BC+CE=AG, DG+AB= DE。
例1．（2022•淮滨县三模）由绿地集团耗资22亿建设的“大玉米”位于河南省省会郑州市郑东新区，因为其是圆柱塔式建筑，夜晚其布景灯采用黄色设计，因此得名，如今已经成为CBD的一座新地标建筑．某数学兴趣小组为测量其高度，一人先在附近一楼房的底端A点处观测“大玉米”顶端C处的仰角是45°，然后爬到该楼房顶端B点处观测“大玉米”底部D处的俯角是30°．已知楼房AB高约是162m，根据以上观测数据求“大玉米”的高．（结果保留整数，参考数据：≈1.41，≈1.73）
【解答】解：由题意可知，∠CAD＝45°，∠EBD＝30°＝∠ADB，AB＝DE＝162米，
在Rt△ABD中，∵tan30°＝，∴AD＝＝162（米），
在Rt△ACD中，∠CAD＝45°，∴CD＝AD＝162≈280（米），
答：“大玉米”的高约为280米．
例2．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732）（1）求楼AB的高度；（2）求楼CD的高度．
【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m，∴BG＝BE+EG＝21m，
在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°，
∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m），∴楼AB的高度约为12.1m；
（2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°，
∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m），在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°，
∴HE＝＝＝2（m），∴HC＝HE+EC＝2+14＝16（m），
在Rt△DCH中，∠DCH＝90°，∠DHC＝60°，
∴DC＝HC•tan60°＝16≈27.7（m）．∴楼CD的高度约为27.7m．
例3．（2023·江苏苏州·校考二模）如图，某中学数学课题学习小组在“测量物体高度”的活动中，欲测量一棵古树的高度，他们在这棵古树的正前方一平房顶点处测得古树顶端的仰角为，在这棵古树的正前方处，测得古树顶端的仰角为，在点处测得点的俯角为，已知为米，且、、三点在同一条直线上．(1)求平房的高度；(2)请求出古树的高度．（根据以上条件求解时测角器的高度忽略不计）

【答案】(1)(2)
【分析】（）在中，已知 ， ，利用角的正切可得出结果（）在中，由正切函数的定义求出的长，最后解，即可求出的长，即古树的高度．
【详解】（1）由题意知，，，
（2），，∴，
，，，
，，，
在中，．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用仰角、俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．
例4．（2023年天津市中考数学真题）综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度．
如图，塔前有一座高为的观景台，已知，点E，C，A在同一条水平直线上．
某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．(1)求的长；(2)设塔的高度为h（单位：m）．①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）；②求塔的高度（取0.5，取1.7，结果取整数）．

【答案】(1)(2)①；②
【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；
（2）①分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，进而可求解；
②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．
【详解】（1）解：在中，，∴．即的长为．
（2）解：①在中，，∴．
在中，由，，，
则.∴．即的长为．
②如图，过点作，垂足为．
根据题意，，∴四边形是矩形．
∴，．可得．
在中，，，∴．即．
∴．答：塔的高度约为．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．
课后专项训练
1．（2023·山东泰安·模拟预测）为测量此塔顶的高度，在地面选取了与塔底共线的两点、，、在的同侧，在处测量塔顶的仰角为，在处测量塔顶的仰角为，到的距离是米．设的长为米，则下列关系式正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先解求出米，则米，再解即可得到．
【详解】解：由题意得，，
在中，米，∴米，
在中，，∴，故选A．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，正确求出米是解题的关键．
2．（2022·湖北十堰·中考真题）如图，坡角为α的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB，当太阳光线与水平线成45°角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为m，则大树AB的高为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】应充分利用所给的α和45°在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求解．
【详解】解：如图，过点C作水平线与AB的延长线交于点D，则AD⊥CD，
∴∠BCD=α，∠ACD=45°．在Rt△CDB中，CD=mcsα，BD=msinα，
在Rt△CDA中，AD=CD×tan45°=m×csα×tan45°=mcsα，
∴AB=AD-BD=（mcsα-msinα）=m（csα-sinα）．故选：A．
【点睛】本题考查锐角三角函数的应用．需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另外，利用三角函数时要注意各边相对．
3．（2023·山东济南·一模）如图，为了测量某建筑物 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡行走100米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米到点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为59°，建筑物底端B的俯角为，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡的坡度 ．根据以上数据，计算出建筑物BC的高度约为（结果精确到1．参考数据：，，）（ ）
A．158米B．161米C．159米D．160米
【答案】D
【分析】先利用斜坡的坡度求出，再利用矩形的性质和等腰三角形的性质求出，之后利用正切求出的值，最后通过求和即可得到建筑物BC的高度．
【详解】解：如图：过点D作于点F，过点E作于点G，过点E作于点H
∵斜坡的坡度∴可设，
∵在中，，∴
∵在中，
∵在中，
故选：D．
【点睛】本题考查坡度的意义，等腰直角三角形的性质和解直角三角形，选取恰当的方法正确求出线段长度是解题关键．
4．（2023·广东广州·校考模拟预测）如图，某人在山坡坡脚C处测得一座建筑物顶点A的仰角为，沿山坡向上走到P处再测得该建筑物顶点A的仰角为．已知BC=90米，且B、C、D在同一条直线上，山坡坡度i=5：12，求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程（ ）米.（结果精确到0.1米）（测倾器的高度忽略不计，参考数据：，）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】首先过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，由题意可知i=PH：CH=5：12，然后设PH=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，，BC=90米，则可得，利用正切函数的知识可求AB，在Rt△AEP中，，利用正切函数可得关于x的方程，从而得出PH，在Rt△PHC中，利用勾股定理可求CP的长度，进一步可求此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程．
【详解】解：如图：过点P作PE⊥AB于E，PH⊥BD于H，
设PH=BE=5x米，CH=12x米，在Rt△ABC中，
，BC=90米，则，即，∴AB=180(米)，
在Rt△AEP中，，AE=AB-BE=180-5x，BH=EP=BC+CH=90+12x，
∴，解得，经检验是原方程的解，且符合题意，
∴(米)，在Rt△PHC中，(米)，
故此人从所在位置点P走到建筑物底部B点的路程是：(米)，故选：D．
【点睛】本题考查了仰角的定义，以及解直角三角形的实际应用问题，解题的关键是要能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
5．（2022·广西贵港·中考真题）如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，可得CD=AD=x，BD=16-x，在Rt△BCD中，用∠B的正切函数值即可求解．
【详解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°，∴CD=AD=x，∴BD=16-x，
在Rt△BCD中，∠B=60°，∴，即：， 解得，故选A．
【点睛】本题考查三角函数，根据直角三角形的边的关系，建立三角函数模型是解题的关键．
6．（2022·湖北黄冈·中考真题）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离．已知乙建筑物的高度为，则甲建筑物的高度为________．（，，，结果保留整数）．
【答案】
【分析】过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
【详解】解：如图，过点作于点，设，根据题意可得：，，
∴，∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，∴，，，
在中，，∴，∴，
∴，∴，∴，
在中，即，
∴解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，∴．故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到锐角三角函数，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，分式方程等知识．熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题关键．
7．（2023年湖北省荆州市中考数学真题）如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为 ．（，结果精确到0.1）

【答案】13.8//
【分析】解直角三角形，求得和的长，即可解答．
【详解】解：根据题意可得，
在中，，，
在中，，，
，故答案为：．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用-俯角仰角，含有30度角的直角三角形的边长特征，熟练解直角三角形是解题的关键．
8．（2023年山东省枣庄市中考数学真题）如图所示，桔棒是一种原始的汲水工具，它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆，末端悬挂一重物，前端悬挂水桶．当人把水桶放入水中打满水以后，由于杠杆末端的重力作用，便能轻易把水提升至所需处，若已知：杠杆米，，支架米，可以绕着点O自由旋转，当点A旋转到如图所示位置时，此时点B到水平地面的距离为 米．（结果保留根号）

【答案】/
【分析】过点作于点，过点作交于点，交于点，易得四边形为矩形，分别解，，求出的长，利用进行求解即可．
【详解】解：过点作于点，过点作交于点，交于点，

∵，∴，∴，∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，在中，，，
∴；∴，
在中，，，∴；
∴（米）；故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形实际应用，矩形的性质与判定．解题关键是添加辅助线，构造直角三角形．
9．（2022·四川达州·中考真题）某老年活动中心欲在一房前3m高的前墙（）上安装一遮阳篷，使正午时刻房前能有2m宽的阴影处（）以供纳凉，假设此地某日正午时刻太阳光与水平地面的夹角为63.4°，遮阳篷与水平面的夹角为10°，如图为侧面示意图，请你求出此遮阳篷的长度（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，；，，）
【答案】遮阳篷的长度约为3.4米
【分析】过点作于点，则四边形是矩形，则，设，则，，解直角三角形求得，进而求得，解，求得，进而求得的长，根据即可求解．
【详解】如图，过点作于点，则四边形是矩形，
设，则，，
在中，，，
在中，，，
解得：，经检验，x是方程的解，且符合题意，，
，．
答：遮阳篷的长度约为3.4米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握三角形的三边关系是解题的关键．
10．（2022·贵州遵义·中考真题）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为60°，在点处测得灯管支架顶部的仰角为30°，测得m，m（，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题：
(1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
(2)求灯管支架的长度（结果精确到0.1m，参考数据：）．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）解即可求解；（2）延长交于点，证明是等边三角形，解，根据即可求解．
(1)在中，
(2)如图，延长交于点，
中， 是等边三角形
答：灯管支架的长度约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
11．（2022·山西·中考真题）随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产和生活，如代替人们在高空测量距离和角度．某校“综合与实践”活动小组的同学要测星AB，CD两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在AB，CD两楼之间上方的点O处，点O距地面AC的高度为60m，此时观测到楼AB底部点A处的俯角为70°，楼CD上点E处的俯角为30°，沿水平方向由点O飞行24到达点F，测得点E处俯角为60°，其中点A，B，C，D，E，F，O均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼AB与CD之间的距离AC的长（结果精确到1m．参考数据：）．
【答案】58m
【分析】延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则，再根据图形应用三角函数即可求解．
【详解】解：延长AB和CD分别与直线OF交于点G和点H，则．
又∵，∴四边形ACHG是矩形．∴．
由题意，得．
在中，，∴﹒
∵是的外角，∴．
∴．∴．在中，
∴．∴．
答：楼AB与CD之间的距离AC的长约为58m．
【点睛】本题主要考查三角函数的综合应用，正确构造直角三角形并应用三角函数进行求解是解题的关键．
12．（2022·四川宜宾·中考真题）宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1米．参考数据：，）
【答案】
【分析】根据，，设，则，根据勾股定理求得，又设，则，，求出DE，根据列出方程，解方程进而根据即可求解．
【详解】解：在中，，，
设，则，由，得，解得：，
∴，又设，则，
在中，，则，∴，
在中，，则，∴，
∴，解得：，∴．∴东楼的高度约为40m．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．
13．（2023·湖南衡阳·校考一模）第24届冬季奥林匹克运动会于今年2月4日至20日在北京举行，我国冬奥选手取得了9块金牌、4块银牌、2块铜牌，为祖国赢得了荣誉，激起了国人对冰雪运动的热情．某地模仿北京首钢大跳台建了一个滑雪大跳台（如图），它由助滑坡道、弧形跳台、着陆坡、终点区四部分组成．图是其示意图，已知：助滑坡道米，弧形跳台的跨度米，顶端到的距离为40米，，，，．求此大跳台最高点距地面的距离是多少米（结果保留整数）．（参考数据：，，，，，，，，）
【答案】70
【分析】过点作，交于点，则四边形是矩形，可得，在中，求得，根据，，求得，进而求得，根据即可求解．
【详解】如图，过点作，交于点，则四边形是矩形，
，
，，在中，（米），
，，，米
，解得，
顶端到的距离为40米，即米
（米）．（米）．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．
14．（2023年湖南省张家界市中考数学真题）“游张家界山水，逛七十二奇楼”成为今年旅游新特色．某数学兴趣小组用无人机测量奇楼的高度，测量方案如图：先将无人机垂直上升至距水平地面225m的P点，测得奇楼顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行200m到达点Q，测得奇楼底端B的俯角为，求奇楼的高度．（结果精确到1m，参考数据：，，）

【答案】
【分析】延长，交的延长线于点C，根据题意得出，，再由等腰直角三角形得出，然后解直角三角形即可．
【详解】解：延长，交的延长线于点C，则

由题意得，，，
在中，，则∴，
在中，，解得，
∴奇楼的高度约为．
【点睛】题目主要考查解三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．
15．（2023年湖北省随州市中考数学真题）某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

(1)求点D到地面的距离；(2)求该建筑物的高度．
【答案】(1)5米(2)米
【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后解直角三角形分析求解．
【详解】（1）解：过点D作，

由题意可得，∴在Rt中，，即点D到地面的距离为5米；
（2）如图，由题意可得，，∴，
又∵，∴，∴
∴在Rt中，，即，解得，
在Rt中，，即，解得，
答：该建筑物的高度为15米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
16．（2023年安徽中考数学真题）如图，是同一水平线上的两点，无人机从点竖直上升到点时，测得到点的距离为点的俯角为，无人机继续竖直上升到点，测得点的俯角为．求无人机从点到点的上升高度（精确到）．参考数据：，．

【答案】无人机从点到点的上升高度约为米
【分析】解，求得，，在中，求得，根据，即可求解．
【详解】解：依题意，，，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴（米）
答：无人机从点到点的上升高度约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键．
17.（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距海里，船C在船A的北偏东方向上，船C在船B的东南方向上，上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东方向上．
(1)求出A与C之间的距离．(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：，）

【答案】(1)200海里 (2)无触暗礁危险
【分析】（1）作于点E，设海里，则海里，根据可列出方程求得的值后即可求得的长；（2）根据（1）中结论得出的长，再与100比较即可得到答案．
【详解】（1）解：作于点E，由题意得：，，

设海里，在中，，
在中，，，解得：，
，与C之间的距离等于（海里）；
（2）解：由（1）知，（海里），
，所以巡逻船A沿直线去营救船C，在去营救的途中无触暗礁危险．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用—方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题关键．
18．（2023春·海南·九年级统考期中）某校举办以“测量”为主题的数学实践活动，该校数学兴趣小组准备借助无人机来测量小区内的一座大楼高度．如图所示，无人机从地面点A处沿着与地面垂直的方向上升，至点B处时，测得大楼底部C的俯角为30°，E测得大楼顶部D的仰角为45°．无人机保持航向不变继续上升50米到达点E处，此时测得大楼顶部D的俯角为60°．已知A、C两点在同一水平线上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C两点间的距离：（结果保留根号）
(3)求这座大楼的高度．（结果保留根号）
【答案】(1)；(2)米(3)米
【分析】（1）根据俯角和仰角的定义求解即可；（2）设，在中可得，在中可得，在中可得，最后由列方程求解即可；（3）由求解即可．
【详解】（1）如图，

由题意可得，，，，，，，
∴,，故答案为：；；
（2）设，则，在中可得，
在中可得，在中可得，
∴解得：，∴；
（3）由（2）可得，，
∴
【点睛】本题考查解直角三角形-仰角俯角问题，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
19．（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．
(1)点坐标为______，段关于的函数解析式为______；
(2)小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；
(3)若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：，，）
【答案】(1)，(2)，(3)9秒
【分析】（1）通过三角函数值和已知题意信息可以解出A点坐标，再通过A点坐标和原点进而确定段的函数解析式．（2）通过段对应的无人机飞行的路程和速度求出小明所花的时间，再由三角函数和（1）问得到小明所走的路程，进而解出小明在段的速度，由A，点确定段解析式．
（3）通过段和段的函数解析式分别求出无人机与小明之间距离为时所用的时长，进而计算出无人机与小明之间距离不超过的时长．
【详解】（1）解：如图，过A点作于点，

，，
，斜坡的坡度：：，
，，点A坐标为，
设段关于的函数解析式为，代入，，解得：，
段关于的函数解析式，故答案为：；．
（2）解：在中，，，
，，
，，
在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，
小明在斜坡上跑步的时间为：，
小明在斜坡上的跑步速度是：，
，，，，
设段关于的函数解析式为：代入，，
得：，解得：，
段关于的函数解析式为；故答案为：．
（3）解：在段上无人机与小明之间的距离为时，则有：，解得：，
无人机飞行的时间为；
在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，解得：，
无人机飞行的时间为，
无人机与小明之间距离不超过的时长为：．
【点睛】本题主要考查一次函数应用和解直角三角形，关键在于一次函数的应用和对题意的推断能力．
20．（2023年山西省中考数学真题）2023年3月，水利部印发《母亲河复苏行动河湖名单（2022－2025年）》，我省境内有汾河、桑干河、洋河、清漳河、浊漳河、沁河六条河流入选．在推进实施母亲河复苏行动中，需要砌筑各种驳岸（也叫护坡）．某校“综合与实践”小组的同学把“母亲河驳岸的调研与计算”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告．请根据活动报告计算和的长度（结果精确到．参考数据：，）．
【答案】的长约为的长约为．
【分析】过点作于点，延长交于点，首先根据的三角函数值求出，，然后得到四边形是矩形，进而得到，然后在中利用的三角函数值求出，进而求解即可．
【详解】解：过点作于点，延长交于点，

∴．
由题意得，在中，．
∴．
∴．
由题意得，，四边形是矩形．
∴．
∵，
∴．
∴在中，．
∵．
∴．
∴，
∴．
答：的长约为的长约为．
【点睛】本题是解直角三角形的应用，考查了矩形的判定与性质，解直角三角形，关键是理解坡度的含义，构造适当的辅助线便于在直角三角形中求得相关线段．课题
母亲河驳岸的调研与计算
调查方式
资料查阅、水利部门走访、实地查看了解
功能
驳岸是用来保护河岸，阻止河岸崩塌或冲刷的构筑物
驳岸剖面图

相关数据及说明，图中，点A，B，C，D，E在同一竖直平面内，与均与地面平行，岸墙于点A，，，，，
计算结果
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